中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：專題十七考點40圖形的相似與位似

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（T,2）,B（-2,-2）,以原點為位似中心，相似比為1:2,把

△493縮小，則點A的對應(yīng)的坐標(biāo)是（）

B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,T)D.(-2,1)或(2,—1)

2.如圖，在△ABC中，DEHBC,AD=3,DB=6,AE=2,則EC的長為（）

A

匕

BC

A.2B.4C.6D.9

3.如圖，直線直線AC分別交4,4，4于點A，B,C,過點3的直線OE分別交

;4于點。，E.若AB=2,BC=3,BD'=4,則線段OE的長為（）

A.4B.6C.10D.9

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A,3的坐標(biāo)分別為（-3,1）,（-1,4）.以點。為位似中

心，在原點的另一側(cè)按2:1的相似比將鉆縮小,則點A的對應(yīng)點A，的坐標(biāo)是（）

A.（1,-3）B.f—jC.（3,-1）

5.凸透鏡成像的原理如圖所示，AD//1//BC,若物體到焦點的距離”可與焦點到凸透鏡中心線

的距離之比為3:2,則該物體縮小為原來的（）

553°?

6.如圖,點。，E分別在的AB,AC邊上，增加下列條件中的一個:

①ZAED=ZB,

?ZADE=ZC,

③些工

ABBC

4A。AE

④——=—

ACAB

使△"）￡與△ACS一定相似的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

kQ

7.如圖，點A在雙曲線y=-*（x<0）上，連接04,作。?，Q4,交雙曲線y=—（犬>0）于點

xx

)

D|

8.我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值,

實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）.劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限

增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)

密的理論和完善的算法.如圖2,六邊形ABCDEE是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以

作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點G為的中點，連結(jié)BG,CF,BG交CF于點、P,若

=則PG的長為（）

1

A百"-④

A?-----D.-----VCz.-D.------------------

2222

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=8,tanC=-,點M、N分別在AB、BC±.,且

4

A"=QV=2.點P從點“出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC

邊上隨P移動，且始終保持ZAPQ=4B.整個運動過程點Q運動的路徑長為（）

A.7B.8C.9D.10

10.如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,過點3作垂足為3,且5。=3,連接

CD,與A3相交于點過點“作肱VLCfi,垂足為N.若AC=1,則MN的長為.

11.如圖是一位同學(xué)用激光筆測量某古城墻高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點

A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，若CD±BD,測得

AB=1.5m,BP=2m,PD=6m,則該古城墻的高度CO是m.

12.如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,NB4C=54。，0。垂直平分AB,平分

ABAC,將NC沿EF(E在上，R在AC上)折疊，點C與點。恰好重合，

(1)ZAFO=；

(2)若BE=4,則0￡=.

13.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,把△BCD沿對角線5。折疊，使點C落在C'

處，6C交A￡＞于點G,E、R分別是CZ＞和3。上的點，線段口交AT＞于點H、M,把

△FDE沿EF折疊,使點。落在點A處，線段AE交6C于點則線段C,M的長為

14.小紅和小華決定利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量出一棵大樹的高度如圖，小紅在點C處，測得大樹

頂端A的仰角ZACB的度數(shù)；小華豎立一根標(biāo)桿并沿方向平移標(biāo)桿，當(dāng)恰好平移到點。

時，發(fā)現(xiàn)從標(biāo)桿頂端E處到點C的視線與標(biāo)桿DE所夾的角NCED與ZACB相等，此時地面

上的點R與標(biāo)桿頂端E、大樹頂端A在一條直線上，測得。尸=2米，標(biāo)桿。￡=1.5米，

CD=3米，已知3、C、D、R在一條直線上，AB±BF,DE±BF,請你根據(jù)測量結(jié)果求出

這棵大樹的高度AB

15.如圖，AB//CD,且AB=2CD,E是AB的中點，R是邊上的動點(R不與3,C重

合)，EF與相交于點

(1)求證：AEDMs^FBM；

(2)若R是的中點，50=18,求的長；

(3)若AD=BC,3。平分NABC,點P是線段5。上的動點，是否存在點P使

DPBP^BFCD,若存在，求出NCPb的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：?.?點A（T,2）,以。為位似中心，相似比為:，

二點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為：1-4xg,2x|J或-4x（-g）,2x1-g）

即（—2,1）或（2,—1）,

故選：D.

2.答案：B

解析：?/DEHBC,

.,.△ADE^AABC,

ADAE32

——=——，即Hn：---=——，

ABAC3+6AC

解得：AC=6,

.?.CE=AC-AE=6-2=4,

故選B.

3.答案：C

解析：M也以3

ABBD

"~BC~~BE，

24

BP-=—,

3BE

BE=6,

.-.DE=6+4=10.

故選：C.

4.答案：D

解析：以點。為位似中心，在原點的另一側(cè)按2:1的相似比將△（?/鉆縮小，將A（-3,1）的橫

縱坐標(biāo)先縮小為原來的;為再變?yōu)橄喾磾?shù)得

故選：D.

5.答案：C

解析：BC//1,CG±l,BOU,

：.四邊形OBCG為矩形，

:.OB=CG,

?.?物體到焦點的距離HFi與焦點到凸透鏡中心線DB的距離OF之比為3:2,

HFXHF,_3

..OF—OR—2'

?：AHLHO,BOA,HO,NARH=NBFQ,

:.△AHF\S4BOF\,

.AHHF】_3

AH3

-----——,

CG2

二物體被縮小到原來的4倍，

3

故選：C.

6.答案：B

解析：①添力口NAED=NB,5iZDAE=ZCAB,

：.Z\ADE^Z\ACB,成立；

②添加ZADE=NC,^.ZDAE^ZCAB,

：.Z\ADE^Z\ACB,成立；

4/7np

③添加一=——，但NAED不一定與28相等，故△ADE與△ACD不一定相似;

ABBC

4DAF

④添加把="且NZME=NC4B,

ACAB

：.Z\ADE^>Z\ACB,成立.

綜上，使△相）￡與△ACS一定相似的有①②④，

故選：B.

7.答案：D

解析：OBLOA,

ZAOB=90°,

0A3

----——,

AB5

二設(shè)CM=3a,AB=5a,

OB—4a,

過點A作AC_L尤軸，過點3作軸，則NACO=400=90。,

ZAOC+ZBOD=90°,ZAOC+Z.CAO=90°,

ZCAO=ZBOD,

Z\ACO^Z\ODB,

.ACPCOA3

"OD~BD~OB~

設(shè)點3的坐標(biāo)為I1,

Q

OD=x9BD=—9

x

OC=~,AC=-x,

x4

k

?.?點A在雙曲線丁=—勺(x<0)上，

x

,639林、生「

k=—xy=x——.D.

x42

8.答案：B

解析：如圖2,設(shè)正六邊形ABCDEF的外接圓的圓心為。，連接。4,OB,OG,OD,

（圖2）

ZAOF=ZAOB=ZLBOC=NCOD=-x360°=60°,

6

NCOF=3x60。=180°,NCGP=-ZBOC=30°,

2

二圓心。在C尸上,

???點G為CO的中點，

ZCOG=乙DOG=-/LCOD=30°,

2

?;OC=OG,

ZGCP=NOGC=|x(180°-30°)=75°,

\-OB=OC,NBOC=60。，

.?.△H9C是等邊三角形，

.?.NOCB=60。，

ZCBG=-ZCOG=15°,

2

ZGPC=ZOCB+ZCBG=75°=ZGCP,

:.PG=CG,

作P/LCF交6C于點/,則NCP/=90。，

.?.ZPZC=90°-60°=30°,CP=^^~,

2

ZIPB=ZPIC-ZCBG=15°=ZCBG,C/=2CP=2x^^=g—l,

2

BIPI=y/d2-CP2=yl(2CP)2-CP2=欣P=,

：.C0=BC=y/3-l+^^-=^^,

22

ZCGP=ZCOG,ZPCG=ZGPO,

.-.△CGP^ACOG,

.CP_CG

'^CG~'CO,

PG=CG=sJCPCO=,故選B.

V222

9.答案:A

解析：如下圖，過點A作于點H,

\-AB=AC,BC=8,

:.BH=CH=-BC=4,

2

「AH3

tanC-=—，

CH4

33

.-.AH=-CH=-x4=3,

44

AB=AC=yjAH2+CH2=A/32+42=5,

?;AM=CN=2,

:.BM=AB-AM=3,BN=BC-CN=6,

當(dāng)點P在MB上運動時，如下圖，

ZAPQ=ZB,

PQUBC,

:.CQ=BM=3；

當(dāng)點P在BC上，且移動到BC中點時，如下圖,

-,-AB=AC,BP=CP=4,

;.NB=NC,AP±BC,

-.?ZAPQ=ZB,ZAPCZB+ZBAP=ZAPQ+ZCPQ,

ZCPQ=NBAP,

:./\ABPs^pcQ,

ABBP??54

---=---,即一=---,

PCCQ4CQ

°。當(dāng)

當(dāng)點P從BC中點移動到點N時，如下圖,

同理可得△ABPs△pcQ,

/\/\ABP^/\PCQ,

ABBP56

—=—,即Hn一=—,

PCCQ2CQ

整個運動過程點Q運動的路徑長=3+q+(?-?)=7.故選A.

3

10.答案：-

4

解析：vZACB=90°,BDLCB,MN±CB,

AC//MN//BD,ZCNM=ZCBD,

：.ZMAC=ZMBD,

ZMCA=ZMDB=ZCMN,

：./\MAC^/\MBD,Z\CMN^Z\CDB,

MCAC1MNCM

"MD~BD~3?BD~~CD'

CM1

CD4

,MN1

..——,

34

3

4

故答案為2.

4

U.答案：4.5

解析：如圖,

:.ZAPB=ZCPD,

?.?ABLBD,CDLBD,

:.ZABP=ZCDP=90°,

:./\ABP^Z\CDP,

：.AB:BP=CD:PD,

?.?AB=L5米，3P=2米，PD=6米,

,CD1.5

..----=----,

62

解得：CD=4.5米，

故答案為：4.5.

12.答案:(1)54°

(2)2垂＞-2

解析：(1)連接0C,

?.?NH4c=54。，Q4平分NR4C,

：.AOAF=Z1°,

-.-AB=AC,CM平分NB4C,

AO所在的直線垂直平分BC,

二。是△ABC的外心，

即AO=CO,

:"OCF=NOAF=T1°,

:NC沿EF（E在8C上，尸在AC上）折疊，點。與點。恰好重合,

：.OF=CF,

:"FCO=/FOC=X0,

：.ZAFO=NFCO+ZFOC=54°；

（2）連接05,

?：AB^AC,ABAC=54°,

：.ZABC=65°,

-.-OA^OB,

：./OBA=/OAB=27。,

:.ZOBE=36°,

?;OB=OC,

：.ZOCB=36°,

?：OE=CE,

：.ZBEO=NECO+ZEOC=72°,

ZBOE=72°,Z.CBO=72°+36°=108°=NCEO,

:.ZSCOE^/\CBO,

.OEPC

.OE4

"4-4+OE'

:.OE=2非-2,（負(fù)根舍去），經(jīng)檢驗符合題意.

故答案為：（1）54°；（2）275-2.

13.答案:

解析：?.?△5CZ）由△BCD翻折而成，

..ZSAG=NC'=NC=90。，C'D=AB=CD,ZAGB^ZDGC',

在和△C'DG中，

ZBAG=ZC

<ZAGB=ZC'GD,

AB=CD

:.Z\ABG^/\C'DG（AAS）,

:.GD=GB,AG=C'G,ZABG^ZADE,

:.AG+GB^AD,

設(shè)AG=x,則GS=4-x,

在RtZ\ABG中，AB2+AG2^BG2,

,-.32+X2=（4-X）2,

解得x」，

8

7725

AG=C'G=~,DG=AD-AG=4——=—,

888

7

cG7

C'D3248

cosZC'DG=cosZABG=----三-=一，sinZC'DGDG==-

25252525

DG8-

y

?.?△AEF是ADEF翻折而成,

二石尸垂直平分AD,

：.HD=-AD=2,

2

“DH225

DE=--------------=='—，

cosZC'DG2412

25

2511

C'E=C'D-DE=3—-,

1212

過點A作ANLBC'于N,

2472721

則3N=ABcosNABG=3x——=—,AN=ABsinZABG=3x—=—

25252525

C'N=BC'-BN=4——=—,

2525

ZANM=NC'=90°,ZAMN=NEMC,

:.AAMNS&EMC,

21

MNANnnMN25252

"CM~C'E'CM~~275'

12

252

:.MN=^C'M,

275

,;MN+CM