專題01實(shí)數(shù)內(nèi)容導(dǎo)航考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺考點(diǎn)鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1算術(shù)平方根算術(shù)平方根的定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。例如，169的算術(shù)平方根是13.（規(guī)定0的算術(shù)平方根是0）算術(shù)平方根的表示方法：a的算術(shù)平方根記為，2是根指數(shù)，通常將這個(gè)“2”省略不寫(xiě)，記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù).【補(bǔ)充】算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0和1.性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)2平方根平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根.平方根的表示方法：非負(fù)數(shù)a的平方根記作±，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”，其中a叫做被開(kāi)方數(shù).性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.【補(bǔ)充】平方根等于本身的數(shù)只有0.知識(shí)點(diǎn)3立方根立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.如果，則x叫做a的立方根.立方根的表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“3a”表示，讀作“三次根號(hào)a”.其中a叫被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù)，注意3立方根的性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根．【補(bǔ)充】1）正數(shù)，負(fù)數(shù)，0都有立方根，所以3a中a的取值范圍是任意數(shù)2）任意數(shù)都只有一個(gè)立方根，且與這個(gè)數(shù)的符號(hào)相同(0的立方根是0).3）互為相反數(shù)的兩數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).即3?a=-4）立方根等于本身的有0和±1.知識(shí)點(diǎn)4無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：2、等；[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).如.2）含圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，π3等3）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…4）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.知識(shí)點(diǎn)5實(shí)數(shù)的分類及性質(zhì)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)的性質(zhì)1）相反數(shù)：數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù).2）絕對(duì)值：正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即a表示一個(gè)實(shí)數(shù)，則.3）倒數(shù)：實(shí)數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是.知識(shí)點(diǎn)6實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的運(yùn)算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，又增加了非負(fù)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算，任意實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)等同樣適用.1.實(shí)數(shù)的加法法則：1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.2.實(shí)數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).3.實(shí)數(shù)的乘方法則：1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；2）任何數(shù)同0相乘，都得0.4.實(shí)數(shù)的除法法則：1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.5.運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.【注意】1.有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律．2.在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．【題型1求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】高妙技法有時(shí)候題目會(huì)故意沒(méi)有去根號(hào)，這時(shí)候就要注意千萬(wàn)不要把a(bǔ)的平方根當(dāng)作a的平方根，要先把a(bǔ)去根號(hào)，再求平方根．1．（2025·浙江·三模）的平方根是．【答案】【分析】本題考查了平方根的概念，根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵，∴的平方根是．故答案為：．2．（24-25七年級(jí)下·重慶江津·期中）的算術(shù)平方根是，的立方根是．【答案】【分析】本題主要考查了平方根與立方根．根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的意義，即可解答．【詳解】解：解：∵，3的算術(shù)平方根是；∴的算術(shù)平方根是；∴的立方根是．故答案為：，．3．（24-25七年級(jí)下·天津和平·階段練習(xí)）64的立方根是；的算術(shù)平方根是；的平方根是．【答案】44【分析】本題考查了平方根和立方根的概念及其運(yùn)用．注意題中給出的數(shù)需要計(jì)算后再求其平方根或立方根．分別根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念直接計(jì)算即可求解．【詳解】解：64的立方根是4；的算術(shù)平方根是4；的平方根是，故答案為：4；4；．【題型2用計(jì)算器求平方根與立方根】4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用計(jì)算器計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：（1）；（2）．【答案】4.828.02【分析】本題考查了立方根的定義，熟練掌握該定義是本題解題的關(guān)鍵．立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根．利用立方根的定義即可得到結(jié)果．【詳解】（1）；（2）．故答案為：4.82，8.02．5．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用計(jì)算器計(jì)算（結(jié)果精確到）：（1）；（2）．【答案】【分析】本題考查了計(jì)算器運(yùn)算算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)用計(jì)算器算出，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加法，即可作答．（2）先運(yùn)用計(jì)算器算出，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減法，即可作答．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【題型3利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求解】高妙技法任意非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即≥0(a≥0).6．（24-25七年級(jí)下·廣東中山·階段練習(xí)）已知：實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式，求的平方根是．【答案】【分析】本題考查了平方和絕對(duì)值的非負(fù)性以及求一個(gè)數(shù)的平方根．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，每個(gè)非負(fù)數(shù)都必須為0，從而求出和的值，然后計(jì)算的次方，并進(jìn)一步求其平方根即可．【詳解】解：由題意得，，解得，，∴，的平方根為．故答案為：．7．（24-25七年級(jí)下·吉林·期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，，的值，進(jìn)而得出答案，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，故選：．8．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，44【分析】本題主要考查整式的加減混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值，絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性．根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性可得，將整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求解即可得．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴原式．【題型4與算術(shù)平方根/立方根有關(guān)的規(guī)律探究題】高妙技法平方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律：被開(kāi)方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)與它的平方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)存在如下規(guī)律:被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左或右移動(dòng)兩位，那么算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向左或右移動(dòng)一位.例如：由，可得.立方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左或右移動(dòng)三位，那么立方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向左或右移動(dòng)一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，則a的值為0.00528.9．（24-25七年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）有這樣一列數(shù)他們分別是，，，，，……，按照此規(guī)律，第11個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，正確得出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，，，，，則第個(gè)數(shù)是，從而求解．【詳解】解：∵，，，，，，∴第個(gè)數(shù)是，故答案為：．10．（24-25七年級(jí)下·山西大同·期中）求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)不能直接求得，如，但可以利用計(jì)算器求得，還可以通過(guò)一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得．請(qǐng)同學(xué)們觀察下表：0.04440040000…0.2220200…已知，，則．【答案】【分析】本題主要數(shù)的開(kāi)方和數(shù)字的變化規(guī)律，由表格數(shù)據(jù)得出規(guī)律：被開(kāi)方數(shù)每擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，其算術(shù)平方根相應(yīng)的擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，據(jù)此依據(jù)求解可得．解題的關(guān)鍵是得出被開(kāi)方數(shù)每擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，其算術(shù)平方根相應(yīng)的擴(kuò)大為原來(lái)的10倍的規(guī)律．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知，被開(kāi)方數(shù)每擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，其算術(shù)平方根相應(yīng)的擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，，，故答案為：．11．（22-23七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）若，，，則=．【答案】【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．依據(jù)被開(kāi)方數(shù)小數(shù)向左或向右移動(dòng)3位時(shí)，則對(duì)應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)1位求解即可．【詳解】解：∵∴故答案為：．12．（24-25七年級(jí)下·陜西延安·期中）據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：某正整數(shù)的立方是59319，求這個(gè)正整數(shù)．華羅庚脫口而出：39．華羅庚迅速求出立方根的過(guò)程如下：①由，可以確定是兩位數(shù)；②由可知，的十位上的數(shù)字是3；③考慮到1至9的立方中，只有9的立方的個(gè)位上的數(shù)字是9，所以確定的個(gè)位上的數(shù)字是9，所以．請(qǐng)你根據(jù)上述步驟求出74088的立方根是．【答案】42【分析】本題考查立方根，理解題干中的解題方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題干中求立方根的方法和步驟，推理出相應(yīng)的結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)74088的立方根是，，∴可以確定是兩位數(shù)，，∴的十位數(shù)字是4，∵至9的立方中，個(gè)位數(shù)字為8的只有2的立方，∴確定的個(gè)位數(shù)字是2，即．故答案為：42．【題型5已知一個(gè)數(shù)的平方根/立方根求這個(gè)數(shù)】13．（24-25七年級(jí)下·湖北黃石·期中）已知一個(gè)正數(shù)的平方根分別是與，則這個(gè)數(shù)為．【答案】9【分析】本題考查了正數(shù)的平方根，且正數(shù)的平方根是互為相反數(shù)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，可得出a的值，繼而得出這個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根分別是與，∴，解得：，則，∴，則這個(gè)數(shù)為9．故答案為：9．14．（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·期中）若正數(shù)m的兩個(gè)不同的平方根分別為和，則的立方根為．【答案】【分析】本題主要考查了平方根的定義和立方根的定義，根據(jù)平方根的定義可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，再根據(jù)立方根的定義求出立方根即可．【詳解】解：∵正數(shù)m的兩個(gè)不同的平方根分別為和，∴，解得：，∴，∴，，故答案為：【題型6平方根與立方根綜合】15．（24-25七年級(jí)下·江西南昌·期中）已知，則的值為【答案】或2或3【分析】本題考查立方根的性質(zhì)，根據(jù)題意得到，結(jié)合立方根等于本身的數(shù)有，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，∴或或；故答案為：或2或3．16．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）已知，且，則的平方根為．【答案】【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，平方根，先由，分別得，，結(jié)合，得，則，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵16的平方根是故答案為：．17．（24-25七年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）已知：的平方根是，的算術(shù)平方根是，求的立方根．【答案】【分析】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)開(kāi)方與平方是互逆運(yùn)算，求出的值，與的值，然后兩式聯(lián)立求出的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：的平方根是，，的算術(shù)平方根是，，解得：，，，的立方根為．18．（24-25七年級(jí)下·湖北十堰·期中）已知的算術(shù)平方根是1，的立方根是2，c是絕對(duì)值最小的數(shù)．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了立方根，平方根，算術(shù)平方根，正確理解平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義得到關(guān)于a、b的值，再由絕對(duì)值的性質(zhì)可求出c的值；（2）把（1）中a，b，c的值代入，再根據(jù)平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵的算術(shù)平方根是1，∴，∴，∵的立方根是2，∴，∴，∵c是絕對(duì)值最小的數(shù)，∴；（2）解：∵，，，∴，∴的平方根為．19．（24-25七年級(jí)下·吉林·期中）已知：某正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，且的算術(shù)平方根是5．(1)求，，的值．(2)求的立方根．【答案】(1)，，的值分別為25，4，13(2)4【分析】本題考查正數(shù)的平方根，算術(shù)平方根，立方根，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)整數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，相加得0，；利用算術(shù)平方根計(jì)算，即可解答；（2）將（1）中所求的值代入，再進(jìn)行立方根的定義計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：∵某正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，且的算術(shù)平方根是5，∴，，解得，．∴．答：，，的值分別為25，4，13．（2），∴．答：的立方根為4．20．（22-23七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）已知的平方根是，的立方根是，的整數(shù)部分是，求的算術(shù)平方根．【答案】的算術(shù)平方根為．【分析】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根概念，無(wú)理數(shù)的大小估算，根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義，估算無(wú)理數(shù)的大小分別求出的，，的值，然后代入計(jì)算即可求解，熟練掌握平方根，立方根概念及運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的平方根是，∴，解得，∵的立方根是，∴，∴，∵，∴的整數(shù)部分，∴，∴的算術(shù)平方根為．【題型7利用平方根/立方根解方程】高妙技法1.利用平方根的概念解方程時(shí)，先將方程轉(zhuǎn)化的形式，再利用開(kāi)平方法求解.當(dāng)a>0時(shí)，其平方根有兩個(gè)，所以對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)根.2.在解方程時(shí)，常需將方程轉(zhuǎn)化為(將x+b看作一個(gè)整體)的形式，再利用立方根的定義開(kāi)立方，從而求出未知數(shù)的值.21．（22-23七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）求下列式子中x的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查了立方根與平方根的定義解方程，熟練掌握立方根與平方根的定義是解題的關(guān)鍵；（1）先把方程變形為，然后根據(jù)平方根的定義解方程；（2）先利用立方根的定義得到，然后解一元一次方程即可．【詳解】（1）解：，∴，解得：或；（2）解：，∴，解得：．22．（24-25七年級(jí)下·湖北咸寧·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查了利用平方根解方程和立方根解方程，熟練掌握其概念是解題關(guān)鍵．（1）先將常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，最后根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】（1）解：或；（2）解：解：【題型8平方根/立方根的實(shí)際應(yīng)用】23．（24-25七年級(jí)下·吉林·期中）如圖，擺鐘的鐘擺自由擺動(dòng)，擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所用的時(shí)間（單位：s）與鐘擺的長(zhǎng)度（單位：）之間滿足．當(dāng)鐘擺的長(zhǎng)度為時(shí)，擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所用的時(shí)間是多少秒？（取，取，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）【答案】【分析】本題考查求代數(shù)式的值，把代入代數(shù)式，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即．答：當(dāng)鐘擺的長(zhǎng)度為時(shí)，擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所用的時(shí)間是秒．24．（24-25七年級(jí)下·廣西南寧·期中）在綜合實(shí)踐課上，某同學(xué)想把一個(gè)用鐵絲圍成的面積為的正方形區(qū)域修改為面積為的長(zhǎng)方形區(qū)域，且長(zhǎng)、寬之比為．(1)求原來(lái)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)；(2)求修改后長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；(3)鐵絲夠用嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的判斷．【答案】(1)(2)(3)夠用【分析】本題考查算術(shù)平方根，利用開(kāi)平方解方程，實(shí)數(shù)的估算，熟練根據(jù)題意列出等式并利用開(kāi)平方求解長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的面積公式即可得出答案；（2）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由其面積為，所以，利用開(kāi)平方求解即可；（3）比較正方形的周長(zhǎng)與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的大小關(guān)系即可．【詳解】（1）解：由題意得原來(lái)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為，（2）解：由（1）得這根鐵絲長(zhǎng)為，由修改后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之比為，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由其面積為，所以，即，解得（負(fù)值舍），長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，（3）解：，∴，∴鐵絲夠用．25．（24-25七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的杯中（杯的形狀為圓柱體），并用量筒量得從杯中溢出的水的體積為，小華又將鐵塊從杯中拿出來(lái)，量得杯中水位下降了．(1)鐵塊的棱長(zhǎng)為多少厘米？(2)杯內(nèi)部的底面直徑為多少厘米（?。俊敬鸢浮?1)(2)【分析】本題考查了立方根以及平方根的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出含平方根、立方根的式子是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，根據(jù)正方體的體積公式得，解出的值即可；（2）設(shè)直徑為，根據(jù)“用量筒量得從杯中溢出的水的體積為”得，解出的值，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，解得：，答：正方體棱長(zhǎng)；（2）解：設(shè)直徑為，則，解得：，不符合實(shí)際，直徑為，答：直徑為．26．（24-25七年級(jí)下·山西大同·期中）幼兒園門(mén)口的升降阻車樁對(duì)保障幼兒園內(nèi)兒童及教職工的安全以及提高幼兒園的安保效率都起著重要的作用．如圖是在幼兒園門(mén)口安裝的圓柱形升降阻車樁，已知每個(gè)圓柱的體積都是，圓柱的高是底面半徑的6倍，求底面半徑．（取3.14）【答案】【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，把數(shù)值代入圓柱的體積公式中即可求出結(jié)果．解題的關(guān)鍵是運(yùn)用圓柱的體積公式．【詳解】解：設(shè)底面半徑是，則高為根據(jù)題意，得．解得．答：底面半徑是．【題型9無(wú)理數(shù)的識(shí)別】高妙技法1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)指的是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；2）所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式(整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù))，而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.27．（23-24七年級(jí)下·湖北黃石·期中）在中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】解：在中是無(wú)理數(shù)的是，共個(gè)，故選：B．28．（22-23七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）在，0，，，，0.2020020002…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次多一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義．求一個(gè)數(shù)的立方根，由于無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：在，0，，，，0.2020020002…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次多一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有，，0.2020020002…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次多一個(gè)0），共3個(gè)．故選：B．【題型10無(wú)理數(shù)的大小估算】高妙技法根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算的大小例如:因?yàn)?5<a<36，則.29．（2025·天津河西·一模）估計(jì)的值在（

）A．2和3之間 B．3和4之間C．4和5之間 D．5和6之間【答案】D【分析】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)的大小即可．【詳解】解：∵，∴，即估計(jì)的值在5和6之間．故選：D．30．（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖，將實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先觀察數(shù)軸，判斷各點(diǎn)表示數(shù)的大小，然后再估算的大小，最后進(jìn)行判斷即可．解題關(guān)鍵是熟練掌握如何估算無(wú)理數(shù)的大?。驹斀狻拷猓河^察數(shù)軸可知：點(diǎn)表示的數(shù)大于且小于，點(diǎn)表示的數(shù)是大于且小于，點(diǎn)表示的數(shù)是大于且小于，點(diǎn)表示的數(shù)是大于且小于，∵，∴，即，∴實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是點(diǎn)，∴A，B，C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)符合題意．故選：D．31．（24-25七年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，通過(guò)畫(huà)邊長(zhǎng)為1的正方形，就能把表示在數(shù)軸上點(diǎn)處，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，如此繼續(xù)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．先由題意可得，點(diǎn)的數(shù)為2，再整理得表示的數(shù)為，故表示的數(shù)為，，同理得，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，∴點(diǎn)的數(shù)為2，∴，則表示的數(shù)為，∵，∴，∴，表示的數(shù)為，，則表示的數(shù)為，∵，∴，表示的數(shù)為，則同理可得；；故選：D．【題型11無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】高妙技法確定一個(gè)無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法:把這個(gè)無(wú)理數(shù)夾在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間，則較小的整數(shù)就是這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分，用這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分就得到它的小數(shù)部分.32．（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（

）A．4－ B．－ C． D．4【答案】A【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估值，代數(shù)式計(jì)算等．根據(jù)題意可得，，繼而可得本題答案．【詳解】解：∵，整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，∴，，∴，故選：A．33．（24-25七年級(jí)下·云南昆明·期中）大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，而，于是可用來(lái)表示的小數(shù)部分．例如：，即，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分為是，小數(shù)部分為，的值為．(2)已知的立方根為，的算術(shù)平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】(1)4；；8(2)【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，代數(shù)式求值，算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義．掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合閱讀材料可求出m和n的值，再代入求值即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義可求出a和b的值，再結(jié)合閱讀材料可求出c的值，從而可求出的值，最后計(jì)算其平方根即可．【詳解】（1）解：∵，即，∴的整數(shù)部分為是4，小數(shù)部分為，∴．（2）解：∵的立方根為，∴，∴．∵的算術(shù)平方根是5，∴，∴，∵，即，又∵是的整數(shù)部分，∴，∴，∴的平方根為．【題型12實(shí)數(shù)的分類】高妙技法見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)534．（24-25七年級(jí)下·湖北黃石·期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)里．，…．(1)正實(shí)數(shù)：{

，…}；(2)負(fù)實(shí)數(shù)：{

，…}；(3)有理數(shù)：{

，…}；(4)無(wú)理數(shù)：{

，…}．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)．實(shí)數(shù)還可以分為正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)分為正有理數(shù)和正無(wú)理數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)分為負(fù)有理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)．（1）根據(jù)正實(shí)數(shù)包括正無(wú)理數(shù)和正有理數(shù)解答即可；（2）根據(jù)負(fù)實(shí)數(shù)包括負(fù)無(wú)理數(shù)和負(fù)有理數(shù)解答即可；（3）根據(jù)有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)解答即可；（4）根據(jù)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)解答即可．【詳解】（1）正實(shí)數(shù)：{，…}．故答案為：；（2）負(fù)實(shí)數(shù)：{，…}，故答案為：；（3）有理數(shù)：{，…}故答案為：；（4）無(wú)理數(shù)：{，…}，故答案為：．35．（2025七年級(jí)下·貴州·專題練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)（只填序號(hào)）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）．(1)正無(wú)理數(shù)集合：{____________…}；(2)負(fù)無(wú)理數(shù)集合：{____________…}；(3)整數(shù)集合：{____________…}；(4)正實(shí)數(shù)集合：{____________…}；(5)負(fù)實(shí)數(shù)集合：{____________…}．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)正無(wú)理數(shù)是大于0的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，作答即可；（2）根據(jù)負(fù)無(wú)理數(shù)是小于0的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，作答即可；（3）根據(jù)整數(shù)包括正整數(shù)，負(fù)整數(shù)和0，作答即可；（4）根據(jù)正實(shí)數(shù)包括正有理數(shù)和正無(wú)理數(shù)，作答即可；（5）根據(jù)負(fù)實(shí)數(shù)包括負(fù)有理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)，作答即可；【詳解】（1）解：正無(wú)理數(shù)集合：{…}；（2）負(fù)無(wú)理數(shù)集合：{…}（3）整數(shù)集合：{…}（4）正實(shí)數(shù)集合：{…}；（5）負(fù)實(shí)數(shù)集合：{…}．【題型13實(shí)數(shù)的性質(zhì)】高妙技法見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)536．（24-25七年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）的相反數(shù)是，的絕對(duì)值等于，比較大?。海敬鸢浮?【分析】本題主要考查相反數(shù)的定義、絕對(duì)值的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的相反數(shù)；先判斷的正負(fù)值，再根據(jù)“正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)”即可求解；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。驹斀狻竣俳猓旱南喾磾?shù)是；故答案為；②的絕對(duì)值是，故答案為；③，即．故答案為：．37．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．絕對(duì)值是的數(shù)是5 B．的相反數(shù)是C．的絕對(duì)值是 D．的相反數(shù)是【答案】C【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與相反數(shù)，與有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)的意義相同；根據(jù)絕對(duì)值與相反數(shù)的意義逐項(xiàng)解答即可．【詳解】解：A、絕對(duì)值是的數(shù)是，故說(shuō)法錯(cuò)誤；B、的相反數(shù)是，故說(shuō)法錯(cuò)誤；C、的絕對(duì)值是，故說(shuō)法正確；D、的相反數(shù)是，故說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：C．38．（24-25七年級(jí)下·安徽黃山·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是正確解答此題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)絕對(duì)值再算加減即可．【詳解】解：，故答案為：．39．（24-25七年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)．先根據(jù)數(shù)軸推出，進(jìn)而得到，據(jù)此可得，化簡(jiǎn)絕對(duì)值和求算術(shù)平方根，然后合并同類項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，．故答案為：B．【題型14比較實(shí)數(shù)的大小】高妙技法可利用數(shù)軸比較法，絕對(duì)值比較法，求差比較法，平方比較法，估算法等嘗試比較實(shí)數(shù)大小40．（2025·山東臨沂·二模）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實(shí)數(shù)大小的比較，掌握實(shí)數(shù)大小的比較法則是解題的關(guān)鍵．先分別求出各選項(xiàng)中數(shù)，再比較大小即可．【詳解】解：∵，，，，又∵，∴，∴最小的數(shù)是．故選：C．41．（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·期中）把下列實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，并將它們用“”連接起來(lái)．，，，【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】本題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)以及利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)．畫(huà)出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)表示出所有的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的總比左邊的大進(jìn)行排列．【詳解】解：，各數(shù)表示在數(shù)軸上如下：．42．（24-25七年級(jí)下·貴州黔東南·期中）“作差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，即例如：比較與6的大小．解：，即，(1)直接寫(xiě)出的整數(shù)部分(2)請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：比較與的大?。敬鸢浮?1)5(2)【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的大小估算、實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算得出，即可求解；（2）作差可得，根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算得出，則有，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分為5．（2）解：，，，，．【題型15實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】高妙技法運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.43．（24-25七年級(jí)下·湖北黃石·期中）計(jì)算：(1)；(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先求算術(shù)平方根、立方根、乘方，再計(jì)算加減即可；（2先求算術(shù)平方根、立方根，再計(jì)算加減即可；（3）先乘方、求算術(shù)平方根、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可；（4）先乘方、求立方根、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．44．（24-25七年級(jí)下·四川南充·期中）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】本題主要考查立方根、算術(shù)平方根及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根及實(shí)數(shù)的運(yùn)算可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【題型16與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題】45．（24-25七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）定義一種運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，則的值是．【答案】9【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)新定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，∴，故答案為：9．46．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）規(guī)定：用符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)．例如：，．按此規(guī)定，(1)___，___，___；(2)___．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查新定義，算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，掌握其計(jì)算方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，指的小于等于的最大整數(shù)，結(jié)合無(wú)理數(shù)的估算方法即可求解；（2）根據(jù)題意，將原式分為，，，結(jié)合新定義的計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：用符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，指的小于等于的最大整數(shù)，如圖所示，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，故答案為：；（2）解：，∴，，，∴，故答案為：．47．（24-25七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，定義一種新運(yùn)算：，例如：(1)根據(jù)定義，______．(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，算術(shù)平方根與平方根，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)新定義，列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：故答案為：．（2）解：∴的平方根為【題型17實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】48．（24-25八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）團(tuán)扇是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，代表著團(tuán)圓友善、吉祥如意．某社團(tuán)組織學(xué)生制作團(tuán)扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均為．完成扇面后，需對(duì)扇面邊緣用緞帶進(jìn)行包邊處理（接口處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），如圖所示．(1)圓形團(tuán)扇的半徑為（結(jié)果保留），正方形團(tuán)扇的邊長(zhǎng)為；(2)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種形狀的扇面所用的包邊長(zhǎng)度更短．【答案】(1)，(2)圓的周長(zhǎng)較小【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握?qǐng)A周長(zhǎng)，面積的計(jì)算方法以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓面積、正方形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）求出兩種形狀的扇子的周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：設(shè)圓形扇的半徑為，正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得，，，，，故答案為：，；（2）解：圓形扇的周長(zhǎng)為：，正方形扇的周長(zhǎng)為：，，∴圓的周長(zhǎng)較?。?9．（20-21七年級(jí)下·湖北武漢·期中）某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成的面積為600平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為．(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少?(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為，面積之和為500平方米，請(qǐng)問(wèn)能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎?并說(shuō)明理由．【答案】(1)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)30米，寬20米(2)不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田，見(jiàn)解析【分析】（1）按照設(shè)計(jì)的花壇長(zhǎng)寬之比為設(shè)長(zhǎng)為米，寬為米，以面積為600平方米作等量關(guān)系列方程，解得x的值即可得出答案；（2）設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為米，則小正方形的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)面積之和為500m2，列出方程求出y，得到大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為，設(shè)該長(zhǎng)方形花壇長(zhǎng)為米，寬為米，依題意得：，，∴或（不合題意，舍去），答：該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)30米，寬20米；（2）解：不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田，理由如下：兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為米，則小正方形的邊長(zhǎng)為米，依題意得：，，，或（不合題意，舍去），，所以不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用，運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是找出題目的兩個(gè)相等關(guān)系．50．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為0.2m．（取3，）(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？【答案】(1)(2)該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）用總時(shí)間除以一個(gè)周期的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，；（2）（次）．答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲．【點(diǎn)睛】本題考查求實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．51．（22-23七年級(jí)下·福建莆田·期中）虹勝?gòu)V場(chǎng)要建一個(gè)占地面積4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計(jì)者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長(zhǎng)嗎（誤差小于1米）？如果你是投資者，你會(huì)選擇哪種方案，為什么？【答案】圓形廣場(chǎng)圍墻米，正方形廣場(chǎng)圍墻米，選擇圓形廣場(chǎng)的建設(shè)方案，理由見(jiàn)詳解【分析】分別計(jì)算出圓形花園和正方形花園所需圍墻的長(zhǎng)度，比較即可作答．【詳解】當(dāng)為圓形時(shí)，設(shè)圓的半徑為，則有：，即：（負(fù)值舍去），則此時(shí)花園的圍墻為：（米）；當(dāng)廣場(chǎng)為正方形時(shí)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則有：，即：（負(fù)值舍去），則此時(shí)花園的圍墻為：（米）；∵，∴建造成圓形時(shí)，廣場(chǎng)的圍墻會(huì)更短，則建造成本更低，∴作為投資商，會(huì)選擇建圓形花園．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的大小的比較在實(shí)際生活中的應(yīng)用，所以學(xué)生在學(xué)這一部分時(shí)一定要聯(lián)系實(shí)際，不能死學(xué)．【題型18與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題】52．（23-24七年級(jí)上·重慶開(kāi)州·期末）閱讀材料，解決問(wèn)題：由，，，，，，，，．．．．．．不難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以3、9、7、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得到：因?yàn)椋詡€(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為1；因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3．（1）請(qǐng)你仿照材料，分析求出的個(gè)位數(shù)字及的個(gè)位數(shù)字；（2）請(qǐng)?zhí)剿鞒龅膫€(gè)位數(shù)字；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出的個(gè)位數(shù)字．【答案】（1）2；（2）3；（3）1；【分析】（1）仿照材料內(nèi)容，得到規(guī)律，7的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以7、9、3、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，8的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以8、4、2、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出；（2）仿照材料內(nèi)容，得到規(guī)律，發(fā)現(xiàn)2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字以2、4、8、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，即可求得；（3）仿照材料內(nèi)容，82018個(gè)位數(shù)字是4，22018的個(gè)位數(shù)字是4，32018的個(gè)位數(shù)字是9，即可求得；【詳解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…發(fā)現(xiàn)7的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以7、9、3、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出：∵799＝74×24+3∴799的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…發(fā)現(xiàn)8的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以8、4、2、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出：∵899＝84×24+3∴899的個(gè)位數(shù)字與83的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為2（2）由于21=2，22=4，23=8，24=16，25=32…，發(fā)現(xiàn)2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字以2、4、8、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可知22019=2504×4+3與23的個(gè)位數(shù)子相同，22019的個(gè)位數(shù)字是8,根據(jù)（1）可知72019的個(gè)位數(shù)字是3,82019的個(gè)位數(shù)字是2∴22019＋72019＋82019的個(gè)位數(shù)字是3；(3)據(jù)前面的分析可知82018=8504×4+2與82的個(gè)位數(shù)字相同，82018個(gè)位數(shù)字是4；22018=2504×4+2與22的個(gè)位數(shù)字相同，22018的個(gè)位數(shù)字是4；32018=3504×4+2與22的個(gè)位數(shù)字相同，32018的個(gè)位數(shù)字是9；∴82018－22018－32018的個(gè)位數(shù)字是14-4-9==1．【點(diǎn)睛】本題為仿照材料找規(guī)律的題目，主要考查了理解和觀察能力．53．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期中）先計(jì)算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________．(1)通過(guò)觀察并歸納，請(qǐng)寫(xiě)出：_____________．(2)計(jì)算：．【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算出各二次根式的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果找出其中的規(guī)律，然后用含n的式子表示；（2），，，然后找出其中的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）=1；；；…觀察上述算式可知：=n．（2），，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是探索數(shù)字的變化規(guī)律，找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．提升專練1．（2025·安徽阜陽(yáng)·三模）（數(shù)學(xué)文化）司南是中國(guó)古人利用磁鐵制作的一種指南工具．如圖，司南的形狀像一把湯匙，它的長(zhǎng)度與最大寬度之比為．若介于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)n和之間，則n的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，先估算出，即可得到，即可解答．【詳解】解：，，即，，無(wú)理數(shù)的值介于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)和之間，，故選：B．2．（2025·江西撫州·一模）的值是（

）A． B．45 C． D．5【答案】B【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，解題關(guān)鍵是熟練算術(shù)平方根定義．根據(jù)算術(shù)平方根的定義直接解答即可．【詳解】解：．故選：B．3．（24-25七年級(jí)下·福建福州·期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚有一次看到他的助手閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)數(shù)是，求它的立方根．華羅庚脫口而出．請(qǐng)你用有關(guān)立方根的知識(shí)，逐一確定的位數(shù)、各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，可知的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了數(shù)的立方根，理解一個(gè)數(shù)的立方根的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：，，是兩位數(shù)，又只有個(gè)位上是的數(shù)的立方的個(gè)位上的數(shù)是，的個(gè)位上的數(shù)是，如果劃去后面的三位得到，而，，十位上的數(shù)是，的值是，故選：D．4．（24-25七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）觀察表格并回答問(wèn)題，已知，則（

）…0.00010.01110010000……0.011100…A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245【答案】D【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左移動(dòng)兩位，那么被開(kāi)方數(shù)的結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．5．（24-25七年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·期中）定義運(yùn)算：．例如：．若，則的值是（）A．3 B． C． D．9【答案】C【分析】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，平方根的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)定義的運(yùn)算法則得到，然后整理得到，然后利用平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵∴∴∴∴∴．故選：C．6．（24-25七年級(jí)下·河北張家口·期中）下面是小明完成的線上作業(yè)，他的得分是（

）判斷題（每小題2分，共10分）①任意一個(gè)實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)．（√）②任意數(shù)的立方根都只有一個(gè)．（√）③平方根等于本身的數(shù)是1和0．（√）④如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么這個(gè)數(shù)也一定有平方根．（√）⑤立方根等于本身的數(shù)是1和0．（×）A．4分 B．6分 C．8分 D．10分【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，平方根和立方根的概念理解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)實(shí)數(shù)的分類，平方根和立方根的概念理解分別判斷即可．【詳解】解：①任意一個(gè)實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)，正確，小明判斷正確；②任意數(shù)的立方根都只有一個(gè)，正確，小明判斷正確；③平方根等于本身的數(shù)只有0，原說(shuō)法錯(cuò)誤，小明判斷錯(cuò)誤；④如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么這個(gè)數(shù)也一定有平方根，原說(shuō)法錯(cuò)誤，因?yàn)橹挥蟹秦?fù)數(shù)才有平方根，小明判斷錯(cuò)誤；⑤立方根等于本身的數(shù)是和0，原說(shuō)法錯(cuò)誤，小明判斷正確，∴小明答對(duì)3題，得分分，故選：B．7．（24-25七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）長(zhǎng)沙馬王堆漢墓出土的文物中，有一幅彩繪帛畫(huà)，其形狀近似長(zhǎng)方形．若帛畫(huà)的長(zhǎng)和寬分別為和，且滿足，則帛畫(huà)的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，，求得的值，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵，且，∴，∴，，∴∴帛畫(huà)的面積為，故選：A．8．（24-25八年級(jí)下·河北廊坊·期中）球體的體積與其半徑的關(guān)系為．如圖，該球體的體積為，那么它的半徑（

）A．，且更接近于3 B．，且更接近于3C．，且更接近于2 D．，且更接近于4【答案】C【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，由題意可得，從而得出，再根據(jù)立方的含義即可得解．【詳解】解：由題意可得：，∴，∵，，，∴，且更接近，故選：C．9．（2025·安徽合肥·二模）我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”便是利用分?jǐn)?shù)的加成性質(zhì)而設(shè)計(jì)的一種實(shí)數(shù)的有理逼近算法，使用一次“調(diào)日法”計(jì)算的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為．請(qǐng)比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查的是無(wú)理數(shù)的大小比較，先計(jì)算，，再結(jié)合，從而可得答案．【詳解】解：∵，，而，∴，故答案為：10．（24-25七年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）若和是有理數(shù)，且滿足，則．根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：（1）若，則的立方根為；（2）若，則的平方根為．【答案】2【分析】本題考查了平方根，立方根，實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根，立方根，實(shí)數(shù)的概念；（1）根據(jù)是無(wú)理數(shù)，是有理數(shù)，可得，再根據(jù)立方根的概念求解即可；（2）根據(jù)是無(wú)理數(shù)，是有理數(shù)，可得，再根據(jù)平方根的概念求解即可．【詳解】（1）由題意，得，解得，所以，所以的立方根為2，故答案為：2；（2）由題意，得，，解得，，的平方根為，故答案為：．11．（24-25七年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）美術(shù)課上老師要求每個(gè)人裁出半徑為的圓形畫(huà)紙，小芳有一張長(zhǎng)方形畫(huà)紙，長(zhǎng)方形畫(huà)紙的面積為，長(zhǎng)與寬的比為，她能裁出符合要求的圓形畫(huà)紙嗎？【答案】不能【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用以及無(wú)理數(shù)比較大小，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，求出長(zhǎng)和寬，然后和直徑比較即可．【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，則：，解得：，長(zhǎng)為，寬為，因圓形直徑為，，故無(wú)法裁出，答：小芳不能裁出符合要求的圓形畫(huà)紙．12．（24-25七年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖，將面積分別為10和5的正方形紙片放在數(shù)軸上，使正方形的一條邊恰好落在數(shù)軸上，一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其另一個(gè)頂點(diǎn)分別在數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)______；點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)______．(2)請(qǐng)你閱讀以下材料，并完成作答：，，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．根據(jù)以上材料可得點(diǎn)B所表示的數(shù)的整數(shù)部分為_(kāi)______，小數(shù)部分為_(kāi)______．(3)小星想用面積為10的正方形紙片裁出一塊面積為6的長(zhǎng)方形紙片，且它的長(zhǎng)與寬的比為，他能裁出來(lái)嗎？請(qǐng)幫他判斷并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，．）【答案】(1)，(2)2，(3)他不能裁出來(lái)，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積分別為10和5的正方形紙片，得邊長(zhǎng)為，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即可作答．（2）模仿題干過(guò)程，則，即的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，即可作答．（3）先列式，則，則長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，根據(jù)，，故，進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：∵將面積分別為10和5的正方形紙片放在數(shù)軸上，使正方形的一條邊恰好落在數(shù)軸上，一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其另一個(gè)頂點(diǎn)分別在數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處．則面積分別為10和5的正方形紙片的邊長(zhǎng)為．∴∴點(diǎn)A表示的數(shù)為；點(diǎn)B表示的數(shù)為，故答案為：，；（2）解：由（1）得點(diǎn)B表示的數(shù)為，依題意，，，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．∴點(diǎn)B所表示的數(shù)的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為；故答案為：2，；（3）解：他不能裁出來(lái)，理由如下：依題意，設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，∵一塊面積為6的長(zhǎng)方形紙片，且它的長(zhǎng)與寬的比為，∴寬為，，則，∴（負(fù)值已舍去）則長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，∵，∴，依題意，面積為10的正方形紙片的邊長(zhǎng)為，且∵即，∴他不能裁出來(lái)．13．（24-25七年級(jí)下·北京海淀·期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為3，老鼠在點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)貓?jiān)谄渥髠?cè)距離個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為．(1)_____．(2)發(fā)現(xiàn)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)來(lái)抓自己，它立刻沿?cái)?shù)軸往老鼠洞的方向逃跑，點(diǎn)所表示的數(shù)為5，則______，若的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，則從到達(dá)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脫的魔爪．【答案】(1)(2)；；能【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)比較大小，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）用點(diǎn)A表示的數(shù)減去點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離即可得到答案；（2）用電C表示的數(shù)減去點(diǎn)B表示的數(shù)即可得到的長(zhǎng)；求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可求出運(yùn)動(dòng)的路程；比較出運(yùn)動(dòng)的路程與的長(zhǎng)的大小關(guān)系即可得到最后的答案．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為3，老鼠在點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)貓?jiān)谄渥髠?cè)距離個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)，∴；（2）解：由（1）可得，點(diǎn)B表示的數(shù)為，∵點(diǎn)所表示的數(shù)為5，∴；∵的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，∴從到達(dá)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴運(yùn)動(dòng)的路程是，∵，∴，∵，∴，∴，∴能逃脫的魔爪14．（24-25七年級(jí)下·吉林·期中）創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家文明發(fā)展的不竭動(dòng)力，一個(gè)沒(méi)有創(chuàng)新力的民族難以屹立于世界民族之林．今年我國(guó)出現(xiàn)了震驚世界的具有超強(qiáng)創(chuàng)新能力的智能機(jī)器人、，其創(chuàng)始人分別為王興興、梁文鋒．在學(xué)習(xí)完實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算之后，小智猜想出了一個(gè)新的問(wèn)題：兩個(gè)數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的積可能存在相等關(guān)系？小智用自己的方法進(jìn)行了驗(yàn)證：，而，，∴，即．請(qǐng)你根據(jù)小智的猜想，解答下列問(wèn)題．(1)比較大?。篲____（填“”“”或“”）．(2)當(dāng)，時(shí)，直接寫(xiě)出和之間關(guān)系．(3)運(yùn)用（）的結(jié)論，計(jì)算：．已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．(4)