重慶市南開中學(xué)高2025屆高三第七次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求.

八X-1_.

B-<x----€GA>

1.已知集合/={123,45}〔2J,則集合8的真子集個(gè)數(shù)為（

A.3B.5C.7D.15

【答案】C

【解析】

V—1

【分析】由知道x為奇數(shù)，從而求出集合3,然后由集合的真子集公式求得結(jié)果.

2

【詳解】為奇數(shù)，.?.5={1,3,5},.??集合8中有3個(gè)元素，，集合8的真子集個(gè)數(shù)為:

23-1=7.

故選：C

2.若a為第二象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【解析】

【分析】取a=——可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項(xiàng)的正誤.

4

3冗3兀

【詳解】取a=—,則。為第二象限角，cos2a=cos—=0,AB選項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

因?yàn)閍為第二象限角，，cosa<0,所以，sin2a=2sinacosa<Q,C錯(cuò)D對(duì).

故選：D.

第1頁(yè)/共18頁(yè)

3.設(shè)%B為非零向量，貝!I”存在2>0,使得萬=23”是“展6>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線定理和平面向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由題意，存在正數(shù)彳，使得￡=；1加，所以Z，B同向，

所以a?5=0?巧I-cos^,S^>0,即充分性是成立的；

反之，當(dāng)非零向量夾角為銳角時(shí)，滿足展3>0,而￡=/1區(qū)不成立，即必要性不成立，

所以“存在2>0,使得a=Xb”是“a-b>Q”的充分不必要條件.

故選：A.

4.在等比數(shù)列｛4｝中，若a3a5=16，a2+a4=5,則4=（）

A.1B,9C.1或9D.—1或9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比中項(xiàng)運(yùn)算求解，并根據(jù)為，。2同號(hào)取舍.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

貝U=。：=16，則％=土4，

又因?yàn)椤?+。4=5，所以。2=5-。4=1或9，

且。4=。2/，可知%，。2同號(hào)，所以。2=1，。4=4.

故選：A.

5.已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

X235

Pab2b-a

若￡（x）=4,則。=（)

第2頁(yè)/共18頁(yè)

1111

A.—B.—C.一D.-

181296

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及期望的計(jì)算公式列式求解即可.

【詳解】由分布列可得a+6+26—a=l,解得b=

3

1(2\131

由期望可得E(X)=2cl+3x—+5l——tzl=——3cl=4,解得ci=—

故選：C.

6.若函數(shù)/(X)=51歐+。(\)5%的圖像關(guān)于直線》=-三對(duì)稱，則函數(shù)8(力=45m%+(：05%圖像的一條對(duì)

稱軸為()

712兀5兀5兀

A.x——B.x——C.x——D.x=——

6363

【答案】C

【解析】

【分析】由輔助角公式(正弦)化簡(jiǎn)函數(shù)/(X),由函數(shù)對(duì)稱軸求出。的值.由輔助角公式(余弦)化簡(jiǎn)函

數(shù)g(x),由。的值求出函數(shù)的對(duì)稱軸.

【詳解】/(x)=sinr+acosx=y/a2+1sin(x+0)(tan°=a),

由題意可知x=-四是x+°=百+左加(keZ)的解，即一四+°=〃+E(左eZ),

332

57r7L

.,*(p----Fkit(keZ),當(dāng)左=—1時(shí)，(p——,

66

g(x)=asinx+cosx=y/a^+lcos(x-(jo)(tan(jo=a),

???令x—0=〃兀cZ),即x+￡=〃?！闦),x=一2+〃兀(〃eZ),

工函數(shù)g(%)的對(duì)稱軸為x=-^+n7i(neZ),

5兀

當(dāng)〃=1時(shí)，x=—.

6

故選：C.

222

7.已知雙曲線G卞-方=1(。＞0/〉0)的漸近線與橢圓G：\+『二1在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸，片、F?

第3頁(yè)/共18頁(yè)

是橢圓C2的左、右焦點(diǎn)，且母;，尸鳥，則雙曲線G的離心率為(

A.B.任C.73D.

443

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓方程可知閨瑪|的長(zhǎng)，由垂直可知|。尸|=；|甲訃然后設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，得到方程組，解得點(diǎn)P

b

坐標(biāo)，然后得到雙曲線的漸近線斜率即一，然后由雙曲線離心率公式求得結(jié)果.

a

【詳解】橢圓c?中，出=2,4=1，02=荷_片=5.」Gg|=2jL

???PFJPF?,

|。尸］=；陽(yáng)閭=G,

日+,=1X0~-~(2V25

設(shè)貝上4'°，解得＜7-,即尸

_V3

Jo+70=3yo=~

V3

雙曲線的漸近線的斜率-=二尸=—

a22/64

3

故選：A.

8.已知函數(shù)/(X)，g(x)的定義域?yàn)镽,若函數(shù)/(x)=g(x)+g(2-x),/(x)是奇函數(shù),

八1)=6.記/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),則/(5)+/(6)+/<7)=()

A.-V2B.V2C.272D.372

第4頁(yè)/共18頁(yè)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性，結(jié)合方程組法，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐一求值即可.

/(x)=g(x)+g(2-x)

【詳解】由《得/(x)=/(2—x)；

/(2-x)=g(2-x)+g(x)

因?yàn)?（x）是奇函數(shù)，所以/（x）=—/（—X）,

/(x)=/(2-x)

得/(2-x)=-/(-%)，則/(2+x)=-/(x)；

/(》)=-/(-x)

〃2+x)=_/(x)

得/（x）=〃x+4）,所以/（5）=/（1）=收，/（6）=/（2）=-/（0）=0.

/(4+x)=-/(2+x)

由/(x)=/(2—x),得/〈x)=-/〈2-x),由/(x)=-/(-x),得/=,

由/（x）=/（x+4）,得/'（x）=/'（x+4）,所以/'（7）=/'（3）=/'（-1）=/'⑴=0.

因此，/（5）+/（6）+/,（7）=^.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

9.某班級(jí)的一次測(cè)驗(yàn)后，隨機(jī)抽取7名同學(xué)的成績(jī)作為樣本，這7名同學(xué)的成績(jī)分別為80,82,83,

84,85,86,88,則（）

A.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這次考試全班成績(jī)的上四分位數(shù)為86

B.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這次考試全班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為6

C.當(dāng)該樣本中加入一個(gè)84形成新樣本時(shí)，新樣本數(shù)據(jù)的方差小于原樣本數(shù)據(jù)的方差

D.若該班成績(jī)X服從正態(tài)分布N（〃，b?）,用這7名同學(xué)的成績(jī)估計(jì)總體，則有

P（X>94）=P（X<74）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷A,先計(jì)算平均數(shù)，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差可判斷B,根據(jù)方差公式可判斷C,

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?x0.75=5.25,所以上四分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，即86,故A正確；

第5頁(yè)/共18頁(yè)

--80+82+83+84+85+86+88

選項(xiàng)B：x=---------------------------------------=84,

7

_（80-84）2+（82-84）2+（83-84）2+（84-84）2+（85-84/+^6-84J+§8-84：_

2,

s—■=6

7

則標(biāo)準(zhǔn)差5=灰，故B錯(cuò)誤；

6x742

選項(xiàng)C：因?yàn)樾缕骄鶖?shù)為84,所以新方差為——=—<6,故C正確；

88

選項(xiàng)D：〃=口=84,因?yàn)?4=84+10,74=84-10,所以尸（彳/94）=?卜474）,故D正確.

故選：ACD.

10.如圖1,在V48c中，AC±BC,B=-,AB=8.D,E分別在48,ACh,且DE=-BC.將

34

VADE沿DE翻折得到圖2,其中力C_LCF.記三棱錐A-BCD外接球球心為口,球已表面積為5,

三棱錐ECD外接球球心為Q,球0表面積為尾，則在圖2中，下列說法正確的有（）

圖1圖2

A.平面40c

B.直線45與￡>￡所成角的正切值為Y5

2

C.00JICE

D.51+5,=76萬

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理和線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷A,根據(jù)確定N48C為異面

直線48與QE所成角的平面角，求解后可判斷B；確定已為48的中點(diǎn)，Q為力。的中點(diǎn)，可得

O02〃BD,又與CE不平行，從而可判斷C；根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可判斷D.

第6頁(yè)/共18頁(yè)

【詳解】選項(xiàng)A：由圖1,在直角V/8C中，BC=AB-cos-=4,AC=AB-sin-=443,

33

—?3—-3

因?yàn)椤?gt;￡=—8C,所以DE〃3C,且DE=-5C=3,

44

a1a]

AE=-AC=3yf3,CE=—AC=BAD=-AB=6,BD=-AB=2,

4444

由圖2,在直角中，AC=^AE2-CE2=276-

因?yàn)镈EHBC,且NC_L8C,所以DE_LEC,

所以在直角ADEC中，DC=個(gè)DE?+EC?=2G,又40=6，

所以IC?,所以NC_LC。，

又因?yàn)镹CLCE,CDC\CE=C,所以NCL平面BCE。，

又BDu平面BCED,所以ZC1AD；

在AADC中，BD=2,DC=2拒，BC=4,所以勖？十,

即BQLCD,又/CnCD=C,所以8。1平面4。。，故A正確；

選項(xiàng)B：因?yàn)锽C/ADE,所以N48。即為所求，

因?yàn)?。_1_平面5。￡。，3Cu平面BCED,所以ZCL8C,

所以在直角V48c中，tanZABC=—=^-=—，故B正確；

BC42

選項(xiàng)C：由上可知5。1平面/DC,BD1AD,則的中點(diǎn)到4瓦。距離相等，

因?yàn)閆CL平面ADC,BDLCD,則48的中點(diǎn)到。距離相等，所以Q為4B的中點(diǎn),

同理可知Q為40的中點(diǎn)，

所以0Q2〃BD，而8。與CE不平行，所以與CE不平行，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知：球a的半徑4=《-=J10,球Q的半徑為=-y=3，

第7頁(yè)/共18頁(yè)

所以E+S2=4兀(7?；+闿)=76兀，故D正確.

故選：ABD.

11.已知正數(shù)％，Dz滿足3工=4，'=5二，則下列不等關(guān)系正確的有()

112123

A.-+B.-+—

xzyxyz

C.3x<4v<5zD.xz>y2

【答案】ACD

【解析】

【分析】令3*=4>=5'=k，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AB,利用作商法可判斷C,利用基本不等式可

判斷D.

【詳解】令3*=4〉=5,=%，則左>1，x=log3k,j=log4k,z=log5k.

112

A選項(xiàng)：一+—=log%3+logj,5=log*.15<log/16=—,故A正確；

XZy

123

B選項(xiàng)：-+-=logj3+21og4=log^48<log^125=-,故B錯(cuò)誤;

xyAz

3x3los44v4log5

c選項(xiàng)：—=—~匕■=log8i64<1,故3x<4y；-T-=—~=log1024625<1,故4”5z；從而

4y41og?35z51ogA4

3x<4y<5z,故C正確；

2112“

D選項(xiàng)：由A知一>—+—>i—，則xz>V，故D正確.

yxz7xz

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線x+2了-3=0被圓f+了2=2截得的弦長(zhǎng)為.

【答案】拽

5

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長(zhǎng).

【詳解】圓一+「=2的圓心為。(0,0),半徑尸=也，

第8頁(yè)/共18頁(yè)

(、|0+0-3|3

則圓心。(0,0)到直線x+2y-3=0的距離d==-j=,

所以所求弦長(zhǎng)為25—/=2^2-1=-

故答案為:

13.某年級(jí)將甲、乙、丙三位體育老師分配到5個(gè)不同班級(jí)指導(dǎo)學(xué)生體育活動(dòng)，要求每位體育老師至少指

導(dǎo)一個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)只有一位體育老師指導(dǎo)，則不同的分配方案有種.

【答案】150

【解析】

【分析】先將5個(gè)班級(jí)分組，再進(jìn)行分配即可.

【詳解】將5個(gè)班級(jí)分成三組，有1+1+3和1+2+2兩種類型，

故有仁+上奈

xA：=150種不同的分配方案.

IA1J

故答案為：150.

14.如圖，邊長(zhǎng)為an的一組正三角形An_｛AnBn的底邊依次排列在%軸上，其中4與坐標(biāo)

原點(diǎn)。重合.若所有正三角形頂點(diǎn)Bn在第一象限，且均落在拋物線必=尤上，則第n個(gè)正三角形

【解析】

【分析】S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則紇M(S.+手，得到，結(jié)合

2

an二S「Sn?化簡(jiǎn)得到%%=w，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.

第9頁(yè)/共18頁(yè)

【詳解】記S"為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,則紇M⑸+令*％）,

即m"+?’整理得

31

當(dāng)〃22時(shí)，可得S1=7。；9—

31313

所以%=sn-sn_x=*。；+1-萬氏+1-（7。；一5%）,即5（%+1+%）（%+1一％）=%+1+%,

2

因?yàn)?。?gt;0,所以凡+1-。〃=]，

又因?yàn)?-%=4]-2==2=,即數(shù)列｛4｝是以2一為首項(xiàng)，2一為公差的等差數(shù)列，

33333

所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為為=-+（Z7-l）X-=y.

2〃

故答案為：—.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P—48CD中，AB=2CD=AD=2,PA=PB=3,AB//CD,ABVAD,二面

71

角P—ZB—C大小為一.

（1）求尸。的長(zhǎng)度；

（2）證明：PCJ_平面48CD.

【答案】（1）2（2）證明見詳解

【解析】

7T

【分析】（1）取48中點(diǎn)，證明CE1AB,求出EC,PE.由二面角的定義得到NPEC=^，由

余弦定理求出PC的長(zhǎng)；

（2）由（1）可知PC_LCE,48，平面PCE,從而得到PCLAB,然后由線面垂直的判定即可得到PC±

平面ABCD.

【小問1詳解】

取48中點(diǎn)E,則ZE=B￡=1,

第10頁(yè)/共18頁(yè)

AE=CD,又：Z8//CD且AB，/。，

二四邊形NEC。為矩形，即ECLZ5且CE=2,

又,：PA=PB,；.PE：LABnPE7PA2_AE?=20,

,/平面PABn平面ABC=AB,PEu平面PAB,CEu平面ABC,

TT

.?.二面角P—45—C為NPEC,即NPEC=—,

4

在APEC中，PC=yJPE2+EC2-2PE-CEcosAPEC=2.

由（1）可知PC?+CE?=尸石2,?.pc±CE,

又,：PELAB,ECLAB,PEu平面PCE,CEu平面尸CE,PEREC=E

48,平面PCF,

：PCu平面尸CE,ABIPC,

又CEu平面48CD,45u平面48CD,CEcAB=E,

PC,平面ABCD.

16.2025年春晚最火的節(jié)目無疑是機(jī)器人扭秧歌.其中表演的機(jī)器人出自宇樹科技，宇樹科技是一家專注

于高性能四足機(jī)器人研發(fā)和生產(chǎn)的中國(guó)科技公司.該公司以其創(chuàng)新的四足機(jī)器人在全球范圍內(nèi)廣受關(guān)注，

主要應(yīng)用于教育、科研、娛樂和工業(yè)等領(lǐng)域，其中四大產(chǎn)品之一的機(jī)器人UnitreeA1具備較強(qiáng)的負(fù)載能里

和環(huán)境適應(yīng)性，可用于巡檢與監(jiān)控、物流和運(yùn)用、安防與救援.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出機(jī)器人UnitreeA1在某地區(qū)2024

年2月到6月的銷售量如下表所示：

月份X23456

銷量了425366m109

用最小二乘法得到UnitreeA1的銷售量V關(guān)于月份尤的回歸直線方程為?=/+5.6,且相關(guān)系數(shù)尸=0.98,

銷量了的方差￡=542.

（1）求g的值（結(jié)果精確到0.1）；

第11頁(yè)/共18頁(yè)

（2）求加的值，并根據(jù)（1）的結(jié)果計(jì)算5月銷售量的殘差.

￡（七-元）（匕-刃￡（%-元）（匕-貢）

附：回歸系數(shù)石二上一------------，相關(guān)系數(shù)二“，收1=16.46.

E（X/-^）25卜廠可2fM—y）2

i=lyz=li=l

【答案】（1）6?16.1

（2）m=80；殘差為—6.1

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得￡卜-丁=io,￡（凹—歹丫=2710,￡（七-刀（匕-貢卜161.308,

1=11=11=1

代入即可求6的值；

（2）根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)求加的值，令x=5,可得j,即可得殘差.

【小問1詳解】

由表可得：x=-（2+3+4+5+6）=4,2卜二工）=4+1+0+1+4=10,

5z=i'

155

因?yàn)楦?W—田丁542，可得￡5—歹）2=2710,

3i=ii=i

55

可（弘-刃亍）（％-刃

以~I—=0.98,

又因?yàn)閞=I525710x2710

JE（X/-^）2EU-^）2

Vz=i/=1

5___

可得2（茗_元）（％_為=0.98x107271-161.308,

i=l

5

—（西一?。ǎ?刃

161.308

所以3=上，-------------?16.1.

￡（七一元『10

1=1

【小問2詳解】

_11

由表可知：y=j（42+53+66+77?+109）=j（270+m）,

由（1）可知回歸直線方程為$=16.1x+5.6,且1=4,

第12頁(yè)/共18頁(yè)

則;(270+相)=16.1x4+5.6,解得

m=80,

51(5一2、

此時(shí)亍=70,=25710,可得￡=三=542,符合題意,

Z=13\Z=1)

所以加=80，

對(duì)于回歸直線方程$=16.卜+5.6，令x=5,可得多=16.1x5+5.6=86.1，

所以5月銷售量的殘差加-多=-6.1.

17.已知函數(shù)/(x)=aeX+6(xeR),若/(0)=2,且對(duì)X/xeR都有/(x+l)—y(x)+e=1.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=x(/(x)—l),且過點(diǎn)P(l,加)(meR)有3條直線與函數(shù)g(x)的圖象相切.求加的

取值范圍.

【答案】(1)/(x)=ex+l

⑵(-之,0)

e

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程求得。力,從而求得/(X)的解析式.

(2)先求得g(x)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得小的取值范圍.

【小問1詳解】

依題意,f(O)=ae°+b=a+b=2@,

/(x+l)-e<(x)+e=l,

即aex+1+b-e依工+b)+e=1,

Z)(l-e)=l-e,所以6=1,結(jié)合①可得a=l,

所以/(x)=e*+l.

【小問2詳解】

g(x)=x(ex+l-l)=xex,設(shè)切點(diǎn)為“"e'),

g,(x)=(x+l)ex,g,(r)=(r+l)e\

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所以切線方程為V—汨=?+l)e'(x—

代入尸(L加)得加一利=?+l)e'(1-/),

m=et-t,2et+\Z4et，

設(shè)=ex-x2ex+xe”,

/z,(x)=ex-(x2+2x)ex+(x+l)ex=(-x2-x+2)ex

=_(x+2)(x-l)e”,

所以〃(x)在區(qū)間—2),(l,+oo),〃(x)<0,單調(diào)遞減,

在區(qū)間(-2,1),〃(x)>0,%⑺單調(diào)遞增,

以―2)=e-2[l-(-2)2+(-2)]=e-2(l-4-2)=-4-

e

/z(l)=e1(l-l2+l)=e,

畫出〃(x)的圖象如圖所示，

因?yàn)檫^點(diǎn)尸(1,加)有3條直線與函數(shù)g(x)的圖象相切，

即歹=機(jī)與歹=〃(幻的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以-2<加<0,

e

綜上，機(jī)的取值范圍是(-?,0).

e

18.如圖，p是拋物線r：/=2%上一點(diǎn)，過點(diǎn)p的直線/與X,＞軸分別交于A,B兩點(diǎn),

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（1）證明：直線I是拋物線r的切線;

（2）若點(diǎn)Q是拋物線r上異于點(diǎn)p的動(dòng)點(diǎn)，E,F分別在線段AQ,尸。上，且

\AE\\PF\

鬲+局=1,EF交BQ于點(diǎn)G.

①證明：點(diǎn)G是AAPQ的重心;

②若直線PQ過點(diǎn)M（、歷,0）,求|OG|的最小值.

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②昆生旦

3

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得直線/的方程，與拋物線的方程聯(lián)立,

消元后得一元二次方程，計(jì)算得A=0,即證明直線/是拋物線「的切線;

回+PF

（2）①由E,G,F三點(diǎn)共線，設(shè)QG=AQE+（1-A）QF,再結(jié)合=1,可得

\EQ\~FQ

__k\—7、21-2

QG=--QA+--QP,由3是線段尸/的中點(diǎn)，得,進(jìn)而得函存，即

]+〃2—4]+42—〃

可證明G是△力尸。的重心;

②設(shè)直線尸。的方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得必二二"，進(jìn)而可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式

%

可得|?？诘谋磉_(dá)式，構(gòu)造函數(shù)/（x）,利用導(dǎo)函數(shù)求/（x）的最小值，即可得的最小值.

【小問1詳解】

(,2\(,2、

設(shè)尸一,外,%H0,因?yàn)?是線段尸”的中點(diǎn)，所以Z—

22。J,

I2）\

為一01

則％二用-12\

(2、中+歹0，即

為,所以直線/的方程為歹=一x-x=yoy-^-

2<2,Vol2）

,2

X%

聯(lián)立《=%了一晝，整理得）2_2%）+）：=0,所以A=（_2yo『_4y；=0,

y=2x

因此，直線/是拋物線r的切線.

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【小問2詳解】

①因?yàn)镋,G,尸三點(diǎn)共線，所以詼=2班+(1-2)辦.

\AE\|PF|一AEI尸冏

又因?yàn)殛?yáng)+河=1'設(shè)①=〃'貝"胃=1一

EQ

所以班=4諼，存=一一?，

]+〃2—4

__?__?__>2__?]—2__?

所以的"班+(一)落為^+一0

21—A

因?yàn)?是線段尸/的中點(diǎn)，所以;一="-,即〃=3/1—1,

1+/J2一〃

--1--1--

所以。G=]0Z+gQP,所以G是A1P。的重心.

②設(shè)直線尸0:x=(y+J5,。(國(guó),乃).

聯(lián)立「2=少+號(hào)整理”—2小一2后=0,所以比乂=—2亞，貝“"二2^,

J=2xy0

<2、'4-20、/2\得/，，1叵

由p0,九,。，A-今,0

-2，l2J

\2)5%7(3%3%J

J；-4后》：+8y；+16=1J；+8y；+16小石

所以國(guó)

-竹中際貝Joy

令/⑴=:學(xué)”戶〉0,

X

(X-4)(X2+4X+8)(X-4)[(X+2)2

則/,3「38：32+4

33

XXX

因此，當(dāng)xe(0,4)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(4,+oo)時(shí)，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

所以當(dāng)x=4時(shí)，/(x)取最小值，最小值為/(4)=7,

,7-4后

所以當(dāng)只=4時(shí)，|OG|取最小值

3-

19.一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)可以寫成z=r(cos^+zsin^),其中r是復(fù)數(shù)的模,

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e是復(fù)數(shù)的輻角，我們稱r(cose+isin。)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形式.利用復(fù)數(shù)的三角形式可

以進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法、乘方等運(yùn)算.如:

ZE二4(cos6^+isinq)?弓(cos^+isin^)=rxr2(cos(4+2)+isin(4+%)),

zn=(尸(cosO+isin。))“=rn(cosn^+isinw^)

/i-\2025

(1)若復(fù)數(shù)z=(l-百i),求復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部；

⑵利用復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算：?025-C；025+C：025-----+C霆)+(C^S-^2025+^2025------+C囂)的

值；

(3)若復(fù)數(shù)z1,z2,---,zn滿足聞=1(左=