/江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－ B．－C． D．24．若，，則（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列，則“，，”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．某測(cè)試需測(cè)試者先后抽取三道題目回答，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則測(cè)試通過(guò)，否則就一直抽題到第三次為止，已知甲答對(duì)該測(cè)試中每道題目的概率都是，若甲最終通過(guò)測(cè)試，則甲回答兩次的概率為（）A． B． C． D．7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一直到出現(xiàn)正面向上時(shí)或拋滿100次時(shí)結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．與2的大小無(wú)法確定8．若函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則關(guān)于的說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．是的最大值C．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．把圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象10．有互不相同的7個(gè)樣本數(shù)據(jù)，去掉第25百分位數(shù)和最大的數(shù)后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A．平均數(shù)可能變小 B．中位數(shù)變大C．極差不變 D．方差可能變小11．?dāng)?shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為．從的前項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，它們之和是奇數(shù)的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知隨機(jī)變量Ⅹ服從正態(tài)分布，且，則.13．對(duì)如圖所示的5個(gè)格子進(jìn)行染色，每個(gè)格子均可從紅、綠、黃三種顏色中選一種，則沒(méi)有相鄰紅格的概率為．14．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為兩條漸近線上的點(diǎn)，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(1)求含的項(xiàng)；(2)若，求的值．16．已知在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求的值；(2)若是的中點(diǎn)，，求的值．17．某籃球夏令營(yíng)舉行超遠(yuǎn)距離投籃闖關(guān)游戲，游戲規(guī)則如下：夏令營(yíng)成員組隊(duì)參加游戲，每隊(duì)由三名隊(duì)員組成.三名隊(duì)員排好出場(chǎng)順序后，依次出場(chǎng)投籃，且每名隊(duì)員只投一次.如果一名隊(duì)員投中，則游戲停止；如果這名隊(duì)員沒(méi)有投中，則派出下一名隊(duì)員，直至有隊(duì)員投中（闖關(guān)成功）或無(wú)隊(duì)員可派出（闖關(guān)失敗）時(shí)游戲停止.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加游戲，他們投中的概率分別為、、，且每次每人投中與否相互獨(dú)立.(1)若，，，求游戲停止時(shí)小隊(duì)有人投中的概率；(2)若，現(xiàn)在小隊(duì)計(jì)劃兩種方案參加游戲.方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；（?。┤舨捎梅桨敢?，求所需派出人員數(shù)目的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪種方案，可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.18．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足．①求證：直線的斜率是定值；②若線段與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值．19．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①討論函數(shù)的單調(diào)性；②若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍；(2)當(dāng)且時(shí)，若相異的滿足，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所?故選C.2．【答案】D【詳解】.故選D.3．【答案】A【詳解】因?yàn)閳Ax2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心坐標(biāo)為(1，4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.選A.4．【答案】C【詳解】，，，，，化簡(jiǎn)得，，.故選C.5．【答案】A【詳解】充分性：若對(duì)，，都有，則令,得,即，因?yàn)闉槌?shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;必要性:等差數(shù)列不一定滿足,,,例如:當(dāng)?shù)炔顢?shù)列通項(xiàng)公式為時(shí),,,此時(shí),所以,,”是“數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件.故選A6．【答案】B【詳解】由題意甲最終通過(guò)測(cè)試包括，第一次答對(duì)，其概率為，第二次答對(duì)，其概率為，第三次答對(duì)，概率為，記事件甲最終通過(guò)測(cè)試，事件甲回答兩次，則，，由條件概率公式可得.故選B．7．【答案】B【詳解】由題意，在第次結(jié)束拋擲的概率為，第100次結(jié)束的概率為，所以，則，故，所以.故選B.8．【答案】B【詳解】，要滿足題意則，時(shí)不成立，所以，即，此時(shí)，可變形為，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，，所以不是的最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，即，故D正確.故選AD.10．【答案】AD【詳解】設(shè)7個(gè)數(shù)由小到大分別為a，b，c，d，e，f，g，則第25百分位數(shù)為b，所以去掉第25百分位數(shù)和最大的數(shù)后5個(gè)數(shù)由小到大為a，c，d，e，f，原中位數(shù)為d，現(xiàn)中位數(shù)為d，故B錯(cuò)，原極差為，現(xiàn)極差為，故C錯(cuò).設(shè)這7個(gè)數(shù)從小到大依次為1，2，3，4，5，6，7，對(duì)于A，其平均數(shù)為，去掉2和7后，余下5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：，故A正確；對(duì)于D，其方差為：，同理，去掉2和7后，余下5個(gè)數(shù)的方差為：，故D正確.故選AD.11．【答案】ACD【詳解】，，，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列.，即，，對(duì)于選項(xiàng)A：，故A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，因此要滿足兩項(xiàng)之和為奇數(shù)，則取奇偶各一個(gè)，所以，故C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，故D對(duì).故答案為：ACD.1.形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得2、形如型的遞推式遞推公式為（其中，均為常數(shù)）或（其中，，為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型1的方法解決．12．【答案】/0.25【詳解】設(shè)，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，，.所以，解得.即.13．【答案】【詳解】0個(gè)紅格，共種；1個(gè)紅格，共種；2個(gè)紅格，共種；3個(gè)紅格，共種，.14．【答案】【詳解】由條件可知，，，，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，，由向量可知三點(diǎn)共線，即，則，化簡(jiǎn)得，即，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得，所以，即，其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，令，有.（2），由（1），二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，，可知均為正，均為負(fù)，所以，令，得，又令，所以，所以．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在，，所以，由，即，所以，在中，，所以，因此，即；（2）由余弦定理得，即有①，由是中點(diǎn)得，兩邊平方有，即有②，聯(lián)立①②解得，所以．17．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見(jiàn)解析，；（ⅱ）方案一【詳解】（1）設(shè)“停止比賽時(shí)小隊(duì)有人投中”為事件，則，所以.（2）（?。┑乃锌赡苋≈禐?，2，3，，；所以的分布列為123.（ⅱ）設(shè)方案二所需派出人員數(shù)目，同理可得，因?yàn)椋?，所以，方案一可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.18．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②【詳解】（1）由題意可得，則，，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)，則直線的斜率，直線的斜率，

由可得，因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減可得，即，代入已知有，即；②由題意可知線段，聯(lián)立方程，解得或（舍去），即由①可設(shè)．聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，且，可得，且點(diǎn)到直線的距離，則，設(shè)，則，設(shè)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，所以面積的最大值為．19．【答案】(1)①答案見(jiàn)解析；②；(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）時(shí)①設(shè)1°，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以，即在上單調(diào)遞增2°，當(dāng)時(shí)，，令解得，所以+0-0+極大值極小值此時(shí)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②由①得此時(shí)且設(shè)，由韋達(dá)定理得，所以因?yàn)?，所以，解得，因此的取值范圍是；?）由得，即，當(dāng)