/吉林省四平市第三高級(jí)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)（4月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則（）A．2 B． C．1 D．2．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．0 D．3．將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C．216 D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（

）A． B．C． D．6．將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種7．如圖，已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，則（

）A． B． C．1 D．28．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿(mǎn)足，則下列不等式一定成立的為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則 B．C． D．10．高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．在處取得極大值B．只有一個(gè)零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則三、填空題（本大題共3小題）12．某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有種．13．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)．14．設(shè)，，，比較，，的大小關(guān)系并用“”連接起來(lái)四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.16．已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求的方程.17．已知(1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開(kāi)式中含有x項(xiàng)的系數(shù)為112.（1）求m，n的值；（2）求展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；（3）求(1＋m)n(1－x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．18．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得，所以，則.故選A.3．【答案】D【分析】由題意，分末尾是或，末尾是，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，末尾是，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，所以共有個(gè).故選：D.4．【答案】D【詳解】，則.故選D．5．【答案】C【解析】根據(jù)原函數(shù)圖像，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，排除選項(xiàng)B和D；函數(shù)在上先遞減后遞增再遞減，所以在上應(yīng)為負(fù)、正、負(fù)的趨勢(shì)，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；故選C．6．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，去甲班實(shí)習(xí)的教師可以是1人或2人.有1人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装?，可從另?人中選1人去甲班，有種選法，再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，這是分3步完成的，故有種方案；有2人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装?，可從另?人中選2人去甲班，有種選法，再剩余3人分配到2個(gè)班的分法有種方法，所以這類(lèi)辦法有種.故不同的分配方案有:.故選D.7．【答案】C【詳解】由圖象可得，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和，切線(xiàn)斜率為，所以，又因?yàn)榍芯€(xiàn)方程為，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，有，所以.故選C.8．【答案】C【詳解】構(gòu)造函數(shù)，在時(shí)恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選C.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A(yíng)，若，則，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選AC.10．【答案】BC【分析】根據(jù)分步乘法原理判斷A、C，根據(jù)間接法判斷B，根據(jù)分類(lèi)加法原理和乘法原理判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有種選擇方案，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】AB【分析】對(duì)A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值即可判斷；對(duì)B，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的范圍即可判斷；對(duì)C，利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系即可判斷；對(duì)D，利用不等式恒成立，參數(shù)分離法即可求解．【詳解】對(duì)于A(yíng)，函數(shù)，，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在時(shí)取得極大值，故A正確；對(duì)于B，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，故有唯一零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)與D，由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，，故D錯(cuò)誤．故選AB.【方法總結(jié)】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，研究不等式恒成立問(wèn)題，要利用分離參數(shù)法處理恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.12．【答案】【詳解】原來(lái)個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友；個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友；個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有種.13．【答案】2【詳解】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，由題意知，解得．14．【答案】【詳解】由，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以?5．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；(2)最大值為2，最小值為.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則，，所以在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1），因此，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，即.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)為過(guò)，所以整理得，從而斜率，所以切線(xiàn)的方程為.17．【答案】（1）m，n的值分別為2，8；（2）128；（3）1008.【詳解】（1）因?yàn)?1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，所以2n＝256，解得n＝8，∴二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴含x項(xiàng)的系數(shù)為，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分別為2，8.（2）展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.（3）∵，∴含x2項(xiàng)的系數(shù)為.18．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)【詳解】（1）首先求的導(dǎo)數(shù)，可得.然后分情況討論：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成?所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，移項(xiàng)可得.因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以，得到恒成立.令，對(duì)求導(dǎo)，可得.令，對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)?，所以，?可知在上單調(diào)遞增.那么，即在上恒成立.令，即，因?yàn)?，，所以的解?當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，，所以，解得，即在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，，所以，解得，即在上單調(diào)