/黑龍江省大慶第一中2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（

）A．1 B． C．2 D．2．若，則（

）A．380 B．190 C．188 D．2403．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，其中.則使函數(shù)不存在極值的有序數(shù)對(duì)共有（

）對(duì).A．7 B．8 C．9 D．105．已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人員不相鄰，則不同排法共有（）A．48種 B．96種 C．120種 D．144種8．已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在交點(diǎn)處存在公切線，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的有（）A．若，則B．已知函數(shù)，若，則C．若，則D．曲線上點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍是10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有種B．有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是60C．從6男4女中選4人參加比賽，若4人中必須有男有女，則共有194種選法D．6本不同的書(shū)，分給甲、乙每人各2本，分給丙、丁每人各1本，有180種分法11．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立D．在上的值域?yàn)槿?、填空題（本大題共3小題）12．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬(wàn)千克，每種植1千克蓮藕，成本增加1元.種植x萬(wàn)千克蓮藕的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）是，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕萬(wàn)千克.13．函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）求函數(shù)的極值與單調(diào)增區(qū)間；（2）若曲線與軸僅有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．如圖，已知四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，，，分別為的中點(diǎn)．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)若平面經(jīng)過(guò)且與平行，求點(diǎn)到平面的距離．17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng).(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)，關(guān)于的不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)（）.(1)，求證：；(2)證明：.()

參考答案1．【答案】A【詳解】易知平均變化率為，可得，瞬時(shí)變化率為，所以，解得.故選A.2．【答案】B【詳解】由，得，所以.故選B.3．【答案】D【詳解】，定義域?yàn)?，，令，解?故答案為D.4．【答案】D【詳解】由題設(shè)，要使函數(shù)不存在極值，只需，所以，滿足的有序數(shù)對(duì)為，共10對(duì).故選D.5．【答案】B【詳解】觀察圖象知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求導(dǎo)得，則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，，，不等式，解得，所以不等式的解集為.故選B.6．【答案】A【詳解】由題意得，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上有最小值，則，即，解得.這時(shí)存在，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上有極小值，也是最小值，所以的取值范圍是.故選A.7．【答案】C【詳解】因?yàn)榧仔?人不相鄰排列，所以有以下情形的排列方式：第一類(lèi)，甲校3人分別在第一、第三、第五個(gè)位置，則有種排法；第二類(lèi)，甲校3人分別在第一、第三、第六個(gè)位置，則有種排法；第三類(lèi)，甲校3人分別在第一、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；第四類(lèi)，甲校3人分別在第二、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；因此不同排法共有種，故選C.8．【答案】C【詳解】設(shè)交點(diǎn)為，且的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，由題意，且，消去a得：，令，，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.∴處取得極小值，也為最小值為0，則，解得，代入，可得，即有，∴，則在處的切線斜率為，切點(diǎn)為∴在處的切線方程為，令，可得.故選C.9．【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，是個(gè)常數(shù)，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，令，解得，B正確；C選項(xiàng)，是常數(shù)，所以，令得，解得，C正確；D選項(xiàng)，，即，又因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】A：由每封信都有3種投法，則5封信有種投法，對(duì)；B：在5人中確定3人去參觀，沒(méi)有排序要求，故有種，錯(cuò)；C：從10人中任選4人有種，若4人全是男生有種，若4人全是女生由1種，所以共有種，對(duì)；D：先選2本有種，從余下的書(shū)再選2本有種，進(jìn)而分給甲、乙，余下的2本分給丙、丁有，所以共有種，對(duì).故選ACD.11．【答案】AC【詳解】令，則，故（為常數(shù)），，，.令，解得或，故函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；，∴令得；令得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，，∴存在，使得；又，∴存在，使得；當(dāng)時(shí)，，∴不存在使得.綜上所述，有且僅有兩個(gè)根，即有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，∴.當(dāng)時(shí)，，.令，則，故在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，也滿足不等式.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故選項(xiàng)C正確；由B知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，故函數(shù)在上的值域?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】5【詳解】由題意，利潤(rùn)且，所以，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以萬(wàn)千克，利潤(rùn)最大.13．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，所以，在有兩個(gè)零點(diǎn)且此時(shí)，而在上有一個(gè)零點(diǎn)，如圖，所以，解得，且，所以．所以.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，且此時(shí)，又在上恒成立，所以此時(shí)不合題意.綜上，，即.14．【答案】【詳解】設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，為增函數(shù).又因?yàn)?，所?所以，即為偶函數(shù).所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).因?yàn)椋?，解得?15．【答案】（1）極大值是，極小值是；單調(diào)增區(qū)間為，；（2）．【詳解】解：（1）．令，則或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：100↗極大值↘極小值↗所以的極大值是，極小值是．所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有，所以曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．由（1）知，．∵曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴或，即或，∴或，∴當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而計(jì)算出線面角；（2）設(shè)平面的法向量為，利用該法向量與，垂直，從而計(jì)算出點(diǎn)面距離.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，由四棱錐是正四棱錐易得兩兩互相垂直，在正四棱錐中，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；（2），，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列；（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,所以，18．【答案】(1)答案見(jiàn)解析．(2)；(3)．【詳解】（1），時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，時(shí)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)，綜上，時(shí)，在R上是增函數(shù)，時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2），由（1）時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，若時(shí)，則由在上遞減得，顯然足夠大時(shí)，，因此在上還有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；時(shí)，由（1）知是極小值也是最小值，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)；時(shí)，在上遞增，有一個(gè)零點(diǎn)，因此，此時(shí)，時(shí)，，因此在上也有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，綜上，的取值范圍是；（3）不等式即為，又，所以恒成立，設(shè)，，則，由（1）知，從而，且時(shí)，，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以時(shí)，，所以，．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2