/湖南省長(zhǎng)沙市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前演練（一）一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．-280 B．280 C．560 D．-5603．將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（

）A．19 B．20 C．21 D．224．已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值5．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．6．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．7．袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則（

）A． B． C． D．8．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的解析式可化成B．函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在上的最大值為11．如圖，在直三棱柱中，，，，是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，B，D作截面交于點(diǎn)E，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．點(diǎn)到截面的距離為三、填空題12．已知向量滿足，則.13．一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積是．14．已知函數(shù)在上連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，則的取值范圍是.四、解答題15．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16．已知拋物線，頂點(diǎn)為O，動(dòng)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（I）求證：是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)；（II）求滿足的點(diǎn)的軌跡方程．17．某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為.(1)若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋果，其中大果的單果平均質(zhì)量為240克，方差為300，小果的單果平均質(zhì)量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋果平均質(zhì)量、方差；(2)現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)“大果”是真的大果的概率.參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：，，；，，.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.18．如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．

(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知數(shù)列具有性質(zhì)：，都，使得.(1)分別判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說明理由；（?。┯懈F數(shù)列：；（ⅱ）無窮數(shù)列：；(2)若有窮數(shù)列滿足性質(zhì)，且各項(xiàng)互不相等，求項(xiàng)數(shù)的最大值.參考答案：1．C【分析】求得集合，可求得.【詳解】依題得，則．故選：C.2．B【分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】的二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，,令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.3．C【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C4．B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：B.5．D【分析】首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出．【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．6．C【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義，求得的值，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在該雙曲線上，則，，，則，所以.故選：C.7．B【分析】由題意可知，由，可得，然后根據(jù)超幾何分布的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知均服從超幾何分布，且，由，得，所以，因?yàn)?,,所以,故選：B8．C【分析】設(shè)，不妨令，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.【詳解】設(shè)，不妨令，則，整理得，又，所以，則，解得，所以存在定點(diǎn)，使得，要使最小，即最小，則，B，D三點(diǎn)共線，且DA垂直于直線時(shí)取得最小值，如圖所示，所以的最小值為．故選：C.9．ACD【分析】先將復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的概念知識(shí)求解即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)為，在第一象限，故C正確；對(duì)于D，將代入方程中，，等式成立，故D正確.故選：ACD.10．ABD【分析】由倍角公式和輔助角公式判斷A；由函數(shù)圖象判斷B和D；由對(duì)稱中心坐標(biāo)判斷C.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，此時(shí)可得方程的解為或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，，所以點(diǎn)不是對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，所以最大值為，故D正確.故答案為：ABD.11．ABD【分析】由棱柱的性質(zhì)得到平面，再由線面平行的性質(zhì)判斷A；由判斷C；首先證明平面，得到，即可證明平面，從而判斷B；設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，利用等面積法求出，即可判斷D.【詳解】如圖，在直三棱柱中，，平面，平面，則有平面，平面，平面平面，可得，故A正確；∵是的中點(diǎn)，，，∴，又，∴，∴，則，∴，∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；因?yàn)椋矫?，所以與平面不平行，故C錯(cuò)誤；設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到截面的距離等于點(diǎn)到截面的距離.在中，，由等面積法可得，所以點(diǎn)到截面的距離為，故D正確.故選：ABD.12．1【分析】對(duì)兩邊平方，結(jié)合即可運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：1.13．/【分析】先利用正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征求得該球的半徑，進(jìn)而即可求得該球的體積【詳解】設(shè)正六棱柱正六邊形的周長(zhǎng)為3，則邊長(zhǎng)為，則矩形經(jīng)過球心，就是外接球的直徑外接球的半徑，則外接球的體積為故答案為：14．【分析】首先變形等式，并構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，將不等式變形為，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解不等式.【詳解】由，可得.令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，所以，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得.故答案為：15．(1)；(2)最大值為4，,最小值為0.【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)，解方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點(diǎn)值，再比較得出最大值和最小值.【詳解】（1），由題意得，解得.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極大值.所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.16．（I）證明見解析

（II）【分析】（I）設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線，表示出向量數(shù)量積，根據(jù)韋達(dá)定理帶入即可得到的值是常數(shù)．（II）根據(jù)向量加法坐標(biāo)運(yùn)算，得到A、B點(diǎn)坐標(biāo)與M的關(guān)系，消元即可得M的軌跡方程，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系求得自變量的取值范圍即可．【詳解】（I）設(shè)，則聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得由韋達(dá)定可得所以帶入可得所以即的值與k值無關(guān)（II）設(shè)，則由即又又所以點(diǎn)的軌跡方程為17．(1)估計(jì)果園蘋果的單果平均質(zhì)量為230克，方差為704；(2)從“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，這個(gè)“大果”是真的大果的概率為.【分析】（1）先求100個(gè)蘋果的單果平均重量，再利用公式求100個(gè)蘋果的方差；（2）設(shè)事件，根據(jù)全概率公式求出以及，再根據(jù)條件概率公式求出.【詳解】（1）因?yàn)榇蠊c小果的比例為，所以100個(gè)蘋果中，大果的個(gè)數(shù)為，小果的個(gè)數(shù)為，設(shè)大果的單果平均重量為克，方差為，小果的單果平均重量為克，方差為，設(shè)100個(gè)蘋果的單果平均重量為克，方差為，則，，，，所以100個(gè)蘋果的單果平均重量克，100個(gè)蘋果的方差，故估計(jì)果園蘋果的單果平均質(zhì)量為230克，方差為704；（2）設(shè)事件“放入水果分選機(jī)的蘋果為大果”，事件“放入水果分選機(jī)的蘋果為小果”，事件“水果分選機(jī)篩選的蘋果為‘大果’”，由題知，，，，所以，由全概率公式可得，，，因此，，所以從“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，這個(gè)“大果”是真的大果的概率為.18．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）先證明，得平面，即得平面平面；（2）先由題意取中點(diǎn)，證明平面，建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，依題設(shè)，計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式列出方程，求解即得.【詳解】（1）因是正方形，則,因,故.由,則.因,則平面，又平面,故平面平面.（2）

如圖，取的中點(diǎn)，連接,易得,因，故即二面角的平面角，即，易得,取中點(diǎn)，連接,過點(diǎn)作,交于，因,故得正三角形，則,由（1）得平面平面，且平面平面，平面，故得平面.因此可分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,依題意，設(shè),，則，因，設(shè)平面的法向量為，則，故可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或，因，故，即,故當(dāng)點(diǎn)是的一個(gè)四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為,此時(shí)19．(1)（ⅰ）有窮數(shù)列不滿足性質(zhì)，理由見詳解；（ⅱ）無窮數(shù)列滿足性質(zhì)，理由見詳解(2)3【分析】（1）（ⅰ）（ⅱ）根據(jù)性質(zhì)的定義直接分析判斷即可；（2）先取有窮數(shù)列，檢驗(yàn)可知有窮數(shù)列滿足性質(zhì)，再利用反證法證明其不不存在其他項(xiàng)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）（?。┯懈F數(shù)列：，則，例如取，不存在，使得，所以有窮數(shù)列