/2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)12分鐘.2．用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡、草稿紙一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在中，角的對(duì)邊分別為，且，，則（）A. B. C.2 D.2.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某學(xué)習(xí)小組6名同學(xué)的成績(jī)(單位：分)分別為65，82，86，82，76，95．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.眾數(shù)是82 B.中位數(shù)是82C.極差是30 D.平均數(shù)是823.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.宋代是中國(guó)瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺(tái)的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（）A. B. C. D.5.正四棱柱中，三棱錐的體積為與底面所成角的正切值為，則此正四棱柱的表面積為（）A.10 B.12 C.14 D.186.在中，，若點(diǎn)為的垂心，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.7.在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開(kāi)始多是用算籌為工具來(lái)記數(shù)、列式和計(jì)算的．算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，如圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法，例如：47可以表示為“”，已知用算籌表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有504種等可能的結(jié)果，則這個(gè)數(shù)至少要用8根小木棍的概率為（）A. B. C. D.8.在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng)．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）A.事件M與事件N相互獨(dú)立 B.事件X與事件Y相互獨(dú)立C.事件M與事件Y相互獨(dú)立 D.事件N與事件Y相互獨(dú)立二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（）A.若，則是等腰三角形B.若，則P是三角形的垂心C.若，則鈍角三角形D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得10.已知m，n是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（

）A若，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則11.正多面體也稱柏拉圖立體（被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)），是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)都是2（如圖），則（）A.平面B.直線與平面所成的角為60°C.若點(diǎn)為棱上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為D.若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知三個(gè)復(fù)數(shù)，，，且，，，所對(duì)應(yīng)的向量，滿足；則的最大值為_(kāi)_________.13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，則它的外接球的表面積為_(kāi)_________；若E為的中點(diǎn)，則過(guò)B、D、E三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________.14.已知由小到大排列的6個(gè)數(shù)據(jù)1，2，3，5，6，m，若這6個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則m的值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，且，的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，求的值.16.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．（1）求三棱錐的體積．（2）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正切值.18.奔馳定理是一個(gè)關(guān)于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車logo相似，因此得名.如圖，P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，總有優(yōu)美等式：.（1）若P是的內(nèi)心，，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，求；（2）若P是銳角的外心，，，求的取值范圍.19.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)．其中首次增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制，假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A、B、C、D，其中A對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為．最初分組時(shí)AB同組，CD同組．（1）若，在淘汰賽賽制下，A、C獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)12分鐘.2．用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡、草稿紙一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在中，角的對(duì)邊分別為，且，，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，又所?故選：C2.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某學(xué)習(xí)小組6名同學(xué)的成績(jī)(單位：分)分別為65，82，86，82，76，95．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.眾數(shù)是82 B.中位數(shù)是82C.極差是30 D.平均數(shù)是82【答案】D【解析】【詳解】試題分析：A中，82出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是82，A正確；B中，把數(shù)據(jù)按大小排列為：65，76，82，82，86，95，中間兩個(gè)數(shù)為82，82，所以中位數(shù)是82，B正確；C中，極差是95－65=30，C正確；D中，平均數(shù)，D錯(cuò)誤，故選D．考點(diǎn)：1、眾數(shù)；2、中位數(shù)；3、極差；4、平均數(shù)．3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得復(fù)數(shù)為，得到其共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.4.宋代是中國(guó)瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺(tái)的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出上下圓臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.【詳解】上、下兩圓臺(tái)的高之比是，故上圓臺(tái)的高為厘米，下圓臺(tái)的高為厘米，故上圓臺(tái)的體積為立方厘米，下圓臺(tái)的體積為立方厘米，故該汝窯雙耳罐的體積為立方厘米.故選：D5.正四棱柱中，三棱錐的體積為與底面所成角的正切值為，則此正四棱柱的表面積為（）A.10 B.12 C.14 D.18【答案】A【解析】【分析】設(shè)此正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，根據(jù)三棱錐的體積公式和線面角建立關(guān)于a、h的方程組，解之即可求解.【詳解】設(shè)此正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則三棱錐的體積為，得，又與底面所成的角為，所以，得，得，所以此正四棱柱的表面積為．故選：A．6.在中，，若點(diǎn)為的垂心，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量基本定理結(jié)合三角形垂心的性質(zhì)、平面向量三點(diǎn)共線的充要條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知是以A為頂角的等腰三角形，如圖所示：，，則，設(shè)，則，，所以，在直角三角形中，.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由三角形為等腰三角形，及垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量基本定理、三點(diǎn)共線的線性關(guān)系確定一腰上垂足的位置解三角形即可.7.在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開(kāi)始多是用算籌為工具來(lái)記數(shù)、列式和計(jì)算的．算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，如圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法，例如：47可以表示為“”，已知用算籌表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有504種等可能的結(jié)果，則這個(gè)數(shù)至少要用8根小木棍的概率為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有種情況，由于至少要用8根小木根的對(duì)立事件為用掉5根，6根，7根這三種情況，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有種，從而求出至少要用8根小木棍的概率.【詳解】至少要用8根小木棍的對(duì)立事件為用5根，6根，7根這三種情況．用5根小木棍為1，2，6這一種情況，組成三位數(shù)包括6個(gè)樣本點(diǎn)，用6根有1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7這四種情況，每種情況包含6個(gè)樣本點(diǎn)，共24個(gè)樣本點(diǎn)用7根有1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3這七種情況，每種情況包含6個(gè)樣本點(diǎn)，共42個(gè)樣本點(diǎn)又表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有504種情況故至少要用8根小木棍的概率為1－，故選：D．8.在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng)．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）A.事件M與事件N相互獨(dú)立 B.事件X與事件Y相互獨(dú)立C.事件M與事件Y相互獨(dú)立 D.事件N與事件Y相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥、相互獨(dú)立事件的乘法公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.詳解】依題意甲、乙兩人所選選項(xiàng)有如下情形：①有一個(gè)選項(xiàng)相同，②兩個(gè)選項(xiàng)相同，③兩個(gè)選項(xiàng)不相同，所以，，，，因?yàn)槭录c事件互斥，所以，又，所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，則事件M與事件Y相互獨(dú)立，故C正確；因?yàn)槭录﨨與事件Y互斥，所以，又，所以事件N與事件Y不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于先求出，，，，再根據(jù)互斥、相互獨(dú)立事件的乘法公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（）A.若，則是等腰三角形B.若，則P是三角形的垂心C.若，則為鈍角三角形D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】BC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合三角形判斷A；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷B；利用正弦定理、余弦定理判斷C；利用零向量與共線向量的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在中，由，得或，則或，則是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，同理，，即是三角形的垂心，B正確；對(duì)于C，由，得，由正弦定理得，則，為鈍角，為鈍角三角形，C正確；對(duì)于于D，當(dāng)，時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知m，n是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（

）A.若，，，則B.若，，，則C若，，則D.若，，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合直線與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理可以判斷.【詳解】對(duì)于A，由，，得，又，因此，A正確；對(duì)于B，由，得存在過(guò)的平面與相交，令交線為（不與重合），則，由，得存在過(guò)的平面與相交，令交線為（不與重合），則，于是，顯然，則，而，因此，，B正確；對(duì)于C，，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，得，而，則，D正確.故選：ABD11.正多面體也稱柏拉圖立體（被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)），是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)都是2（如圖），則（）A.平面B.直線與平面所成的角為60°C.若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為D.若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，由對(duì)稱性可得四邊形為菱形，故，從而得到線面平行；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到直線與平面所成的角為，求出邊長(zhǎng)，得到夾角；C選項(xiàng)，，故只需最小，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，⊥，此時(shí)最小，且，從而求出的最小值；D選項(xiàng)，等體積法得到三棱錐的體積為定值.【詳解】A選項(xiàng)，連接，由對(duì)稱性可知，⊥平面，且相交于點(diǎn)，為和的中點(diǎn)，又，故四邊形為菱形，故，又平面，平面，所以平面，正確；B選項(xiàng)，連接，則相交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎襟w，故，由A選項(xiàng)，同理可得四邊形為菱形，故，又，平面，故平面，故直線與平面所成的角為，且由題意得，，故，故，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，，故只需最小，在等邊三角形中，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，⊥，此時(shí)最小，且，故若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，正確；D選項(xiàng)，，其中到平面的距離為，設(shè)菱形的面積為，則，，若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值，錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知三個(gè)復(fù)數(shù)，，，且，，，所對(duì)應(yīng)的向量，滿足；則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依題意設(shè)，，，即可表示出，再由復(fù)數(shù)的模、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，因?yàn)榍?，所?duì)應(yīng)的向量，滿足，即，不妨令，，則，，又，設(shè)，即則，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即.故答案為：13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，則它的外接球的表面積為_(kāi)_________；若E為的中點(diǎn)，則過(guò)B、D、E三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用正方體的對(duì)角線和外接球的半徑的關(guān)系，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積，再利用直線間的平行關(guān)系和平面的基本性質(zhì)，得出截面，進(jìn)而求得截面等腰梯形的面積.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，可得其外接球的半徑為，所以,所以外接球的表面積為；如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，連接，所以過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為且為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，所以為等腰梯形的高，且,所以梯形的面積為.故答案為：；.14.已知由小到大排列的6個(gè)數(shù)據(jù)1，2，3，5，6，m，若這6個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則m的值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)極差和中位數(shù)的關(guān)系列式計(jì)算.【詳解】由小到大排列的6個(gè)數(shù)據(jù)1，2，3，5，6，m，則，這6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，因?yàn)檫@6個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，所以，解得．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，且，的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，得到、，根據(jù)和的虛部為2聯(lián)立方程組解出、，再根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限得到復(fù)數(shù)；（2）分別求出、，得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，求出.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，由題意得，解得或，又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，所以.【小問(wèn)2詳解】，，，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，，，從而，，.16.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．（1）求三棱錐的體積．（2）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，為的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)計(jì)算可得；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)滿足平面平面，設(shè)，連接，即可證明、，從而得到平面，平面，即可得證.【小問(wèn)1詳解】在直四棱柱中，底面為正方形，所以平面，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)滿足平面平面，設(shè)，連接，因?yàn)闉檎叫?，所以為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，結(jié)合題意可證平面，即可得結(jié)果；（2）分析可知即為直線與平面所成的角，結(jié)合題意分析求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，由題意可知：為正方體，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，可得平面，由平面，可得.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：平面，則即為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，則，所以所求角的正切值為18.奔馳定理是一個(gè)關(guān)于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車logo相似，因此得名.如圖，P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，總有優(yōu)美等式：.（1）若P是的內(nèi)心，，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，求；（2）若P是銳角的外心，，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奔馳定理以及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即可根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)線性運(yùn)算得,由共線即可求解，（2）根據(jù)奔馳定理以及外接圓的性質(zhì)可得，即可得，結(jié)合三角恒等變換可得，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】由于P是的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由可得，即，由，不妨設(shè)，故，設(shè)，則,故,由于與共線，而與不共線，因此必然，故，【小問(wèn)2詳解】設(shè)外接圓的半徑為,則由得，即，由于，所以,因此，又，所以,由于三角形為銳角三角形，所以，解得，故,故當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)或時(shí)，，故.19.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)．其中首次增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．