/2024屆高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期模擬考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，故A、C、D錯(cuò)誤；而，故B正確.故選：B2.已知集合，，且全集，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算法則求解.【詳解】由已知得集合表示的區(qū)間為，集合表示的區(qū)間為，則，，，,故選：.3.城市交通信號(hào)燈的配時(shí)合理與否將直接影響城市交通情況．我國(guó)采用的是紅綠交通信號(hào)燈管理方法，即“紅燈停、綠燈行”．不妨設(shè)某十字路口交通信號(hào)燈的變換具有周期性．在一個(gè)周期T內(nèi)交通信號(hào)燈進(jìn)行著紅綠交替變換（東西向紅燈的同時(shí)，南北向變?yōu)榫G燈；然后東西向變?yōu)榫G燈，南北向變紅燈）．用H表示一個(gè)周期內(nèi)東西方向到達(dá)該路口等待紅燈的車輛數(shù)，V表示一個(gè)周期內(nèi)南北方向到達(dá)該路口等待紅燈的車輛數(shù)，R表示一個(gè)周期內(nèi)東西方向開紅燈的時(shí)間，S表示一個(gè)周期內(nèi)所有到達(dá)該路口的車輛等待時(shí)間的總和（不考慮黃燈時(shí)間及其它起步因素），則S的計(jì)算公式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件分別求出東西方向路口等待時(shí)間的總和及南北方向路口等待時(shí)間的總和，即可求解.【詳解】由題意得：一個(gè)周期內(nèi)，東西方向路口等待紅燈的車輛數(shù)為，等待開紅燈的時(shí)間為，則一個(gè)周期內(nèi)，東西方向路口等待時(shí)間的總和為，又交通信號(hào)燈紅綠交替變換時(shí)間周期為，所以一個(gè)周期內(nèi)，南北方向路口等待開紅燈的時(shí)間為，又一個(gè)周期內(nèi)，南北方向路口等待紅燈的車輛數(shù)為，則一個(gè)周期內(nèi)，南北方向路口等待時(shí)間總和為，一個(gè)周期內(nèi)，到達(dá)該路口的車輛等待時(shí)間的總和，故選：B.4.在△ABC中，，且點(diǎn)D滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由、，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求模長(zhǎng)即可.【詳解】由題設(shè)，中點(diǎn)，則，所以，又，即，所以，故.故選：A5.已知，則（）A. B.－1 C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系可得，再由和角正切公式展開求得，最后由求值即可.【詳解】由，所以，則，所以，則，故，由.故選：C6.已知?jiǎng)又本€l的方程為，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用萬能公式將直線方程化為，求出過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離即可求解.【詳解】由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長(zhǎng)度的取值范圍為，因?yàn)?，所以線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為，故選：B.7.已知，函數(shù)，記的最小值為，則（）．A.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)B.在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)C.在上是奇函數(shù)D.在上是偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，令，分別討論，或，三種情況，畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，令，①當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)或時(shí)，的圖象如圖所示，在點(diǎn)或處取得，根據(jù)圖形對(duì)稱性知，，且當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值在上是偶函數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的最值，以及判斷函數(shù)單調(diào)性，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.8.如圖已知矩形，沿對(duì)角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，則B與D之間距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過和分別作，，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：過和分別作，，在矩形，，，，則，即，平面與平面所成角的余弦值為，,，，，，則，即與之間距離為，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分．9.在的展開式中,下列說法正確的是()A.常數(shù)項(xiàng)是 B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,令進(jìn)行判斷;對(duì)于B,令和計(jì)算判斷即可;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對(duì)于D,令即可進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理,通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,常數(shù)項(xiàng)為,故A正確;對(duì)于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為,第六項(xiàng)的系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故C正確;對(duì)于D,令,各項(xiàng)的系數(shù)之和為,故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.已知公差為d的等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)m，恒成立，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.有最小值 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由條件可得，然后可判斷A，，然后可判斷B，舉例可判斷C不正確，由條件可得，，可得，同號(hào)，可判斷D.【詳解】由知，否則與同號(hào)．當(dāng)時(shí)，有否則與同號(hào)或，當(dāng)時(shí)，有否則與同號(hào)或，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋缘炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，又的圖象是拋物線，所以必有最小值，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，例如數(shù)列，2，5，，選項(xiàng)C不成立．由恒成立，可得，，即，同號(hào)，不妨設(shè)，都為負(fù)，則為正，且，即，，所以，故D正確，故選：ABD．11.已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)C在點(diǎn)B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A.若BF為的中線，則B.若BF為的角平分線，則C.存在直線l，使得D.對(duì)于任意直線l，都有【答案】ABD【解析】【分析】首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理，再根據(jù)各項(xiàng)描述，拋物線的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)題意，設(shè)，不妨令，都在第一象限，，，聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，A.若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A正確；B.若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；C.若，即，即為等腰直角三角形，此時(shí)，即，所以，所以，所以，所以，則此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故C錯(cuò)誤；D.，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合特殊角的正切值，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，而，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，則，，所以.故答案為：13.已知，，若，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】利用完全平方式即可得到的范圍.【詳解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，又得，．故答案為：.14.已知內(nèi)接于單位圓，以BC，AC，AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則的面積最大值為______．【答案】【解析】【分析】首先判斷并證明為等邊三角形（拿破侖三角形），再利用正三角形內(nèi)角結(jié)合題目條件計(jì)算出，則的邊長(zhǎng)可通過勾股定理用的兩邊、表示，最后根據(jù)中余弦定理關(guān)系，由基本不等式求出其最大值.【詳解】如圖，根據(jù)題意為等邊三角形（拿破侖三角形），稍后證明.為等邊三角形的外心，，同理.記，，則.由余弦定理得同理計(jì)算可得故，即為等邊三角形.，.，.由余弦定理得，，，解得..故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且的面積為，點(diǎn)D是線段上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，．（1）若，求c；（2）若，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，再結(jié)合余弦定理從而可求解.（2）由利用向量可得，并結(jié)合得，再由，從而可求解.【小問1詳解】由題可得：，故又，即，，即在中，根據(jù)余弦定理得即，即，【小問2詳解】，，即又，①又②，由①②得：16.如圖在三棱錐中，和均為等腰三角形，且，．（1）判斷是否成立？并給出證明；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）不成立，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）假設(shè)，得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，與矛盾，從而可得不成立；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，證明平面，進(jìn)而可得平面平面，再取的中點(diǎn)，證明平面，根據(jù)線面角的定義知為直線與平面所成的角，在直角三角形中求解．【詳解】（1）不成立，證明如下：假設(shè)，因?yàn)?，且，所以平面，所以，這與已知矛盾，所以不成立．（2）如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，由已知計(jì)算得，由已知得，，且，所以平面，所以平面平面．取的中點(diǎn)，連接，，則，平面，從而是直線與平面所成的角，因?yàn)?，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，直線與平面所成的角，意在考查考生的推理論證能力、空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由，得，所以，，函數(shù)在處的切線方程【小問2詳解】令，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為18.口袋中共有7個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個(gè)是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，直到將4個(gè)黑球全部取出時(shí)停止.（1）記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；（2）現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)口袋中，甲袋裝3個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球；乙袋裝4個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋的2個(gè)黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個(gè)黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.【答案】（1）（2）6，答案見解析【解析】【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉胶谇虻挠绊懻f明期望的大小關(guān)系．【小問1詳解】X可能取值為4，5，6，7，，；【小問2詳解】Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，，，，，.在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個(gè)黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.19.已知雙曲線：，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，過F點(diǎn)且與直線垂直的直線交直線于P點(diǎn)，直線OP交雙曲線于M，N兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率；（2）若直線OP的斜率為，求的值；（3）設(shè)直線AB，AP，AM，AN的斜率分別為，，，，且，，記，，，試探究v與u，w滿足的方程關(guān)系，并將v用w，u表示出來．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程求離心率；（2）首先由已知得，由直線垂直關(guān)系，點(diǎn)斜式寫出直線的方程，聯(lián)立曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理求；（3）首先由條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知條件表示，進(jìn)而求出和，再求直線，與雙曲線方程聯(lián)立