專題2023年二模分類匯編-23題專題一相似三角形證明【知識(shí)梳理】【歷年真題】1.（2023?奉賢區(qū)二模）已知：如圖8，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E、F，射線EF交AD的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：CE=CF；圖8（2）如果，求證：． 圖8【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和AAS可以證明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)FG2＝AG?DG和相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根據(jù)（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根據(jù)∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根據(jù)這兩個(gè)角的正切值，可以證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，∴CE＝CF；（2）∵FG2＝AG?DG，∴，∵∠DGF＝∠FGA，∴△DGF∽△FGA，∴∠GFD＝∠GAF，由（1）知：△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠AFD＝90°，∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°，∴∠ADF＝∠AFE，∴∠ADF＝∠AEF，∵tan∠ADF＝，tan∠AEF＝，∴＝，∴，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023?黃浦區(qū)二模）已知：如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線BD的延長線上，作AF⊥AE，且AF=AE，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：BF=DE；（2）延長AB交射線EF于點(diǎn)G，求證：．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝90°，再由同角的余角相等得∠BAF＝∠DAE，則可通過SAS證明△ABF≌△ADE，以此即可證明BF＝DE；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ADB＝45°，則∠ABF＝∠ADE＝135°，根據(jù)題意可得∠AFE＝45°，則∠AFG＝135°，再證明△ABF∽△AFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：（1）∵四邊ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，即∠DAF+∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠DAE，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴BF＝DE；（2）如圖，∵四邊ABCD為正方形，∴∠ADB＝45°，∴∠ADE＝135°，由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠ABF＝∠ADE＝135°，∵AE＝AF，AF⊥AE，∴△AEF為等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFG＝135°，∴∠ABF＝∠AFG＝135°，∵∠BAF＝∠FAG，∴△ABF∽△AFG，∴，∵AB＝AD，AF＝AE，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．3．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，且．（1）求證：點(diǎn)F在邊AB的垂直平分線上；（2）求證：AD·AE＝BE·BD．BBADECF圖7【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明過程見上面；（2）證明過程見上面；【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義推∠ADB＝∠ABD，再根據(jù)AB2＝BF?BD證明△ABF∽△DBA，進(jìn)而證明角相等，也就得到點(diǎn)F在邊AB的垂直平分線上；（2）證△BEA∽△FEB，推比例線段，與（1）的比例線段結(jié)合得出，根據(jù)∠ADB＝∠ABD，得到AB＝AD，等量代換后得出AD?AE＝BE?BD．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∵AB2＝BF?BD，∴，又∵∠ABD＝∠FBA，∴△ABF∽△DBA，∴∠FAB＝∠ADB，∴∠FAB＝∠ABD，∴AF＝BF，∴即點(diǎn)F在邊AB的垂直平分線上；（2）由上題可知∠FAB＝∠CBD，又∠BEA＝∠FEB（公共角），∴△BEA∽△FEB，∴，∵，∴，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴，即AD?AE＝BE?BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中找相似三角形是解題關(guān)鍵．4.（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，聯(lián)結(jié)AO并延長交邊BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OC，且.（1）求證：AC=BC；（2）當(dāng)AB=AD時(shí)，過點(diǎn)A作邊BC的平行線，交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OE交AC于點(diǎn)F.請畫出相應(yīng)的圖形，并證明：.第23題圖第23題圖【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；作圖—復(fù)雜作圖．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）延長CO，交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，利用相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理得到∠OCD＝∠DAC，利用同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACO＝∠OCD，利用圓周角定理得到，利用垂徑定理和圓心角，弧，弦，弦心距之間的關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；（2）依題意畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠E，利用相似三角形的判定與性質(zhì)和等量代換解答，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：延長CO，交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，如圖，∵DC2＝OD?AD，∴，∵∠ODC＝∠CDA，∴△ODC∽△CDA，∴∠OCD＝∠DAC．∵OA＝OC，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠ACO＝∠OCD，∴，∴OF⊥AB，∴，∴AC＝BC；（2）解：依題意畫出圖形如圖：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE∥BC，∴∠ACB＝∠EAF，∠EAD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠EAD．∵OA＝OE，∴∠DAE＝∠E，∴∠ABD＝∠E，∴△ABC∽△FEA，∴．∵AB＝AD，∴，∴AD?AE＝BC?EF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．專題二四邊形的證明【知識(shí)梳理】【歷年真題】1.（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，OB=OC.（1）求證：AB=CD；（2）E是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，如果，求證：四邊形ABED是平行四邊形.（圖（圖9）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．【專題】證明題；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）（2）詳見解答．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和判定及平行線的性質(zhì)，說明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）先說明△AOB∽△FOD，再說明AB∥DE，結(jié)合已知由平行四邊形的判定可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC．∴∠DAC＝∠ADB．∴OA＝DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝CD．（2）∵AO2＝OF?OC，OA＝OD，OC＝OB，∴AO?OD＝OF?OB，即．∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO＝∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的判定是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023?崇明縣二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于E，M是邊DC延長線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對角線BD交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果，求證：平行四邊形ABCD是菱形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定．【專題】證明題；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）（2）詳見解答．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）利用“兩角對應(yīng)相等”先說明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三線合一說明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴＝，＝．∴＝．∴AG2＝GF?GM．（2）∵AB∥DM，∴∠BAG＝∠M．∵∠BAG＝∠BCG，∴∠M＝∠BCG．∵∠MGC＝∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴＝，即CG2＝GF?GM．∵AG2＝GF?GM，∴CG2＝AG2．∴CG＝AG．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CE．∴GE⊥AC，即BD⊥AC．∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023?虹口區(qū)二模）如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ADB=∠CDE，點(diǎn)F在BD上，聯(lián)結(jié)CF．（1）求證：AD·DE=AC·DC；（2）如果AD·CE=DF·DB，求證：四邊形DFCE為梯形．EE圖9CABDF【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；梯形；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）利用等腰梯形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠DAC＝∠CDE，利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論AD?CE＝DC2，利用等量代換的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到∠DCF＝∠DBC，利用平行線的性質(zhì)，等量代換得到∠DCF＝∠CDE，則CF∥DE，再利用梯形的定義解答即可．【解答】證明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ADC＝∠DAB．在△ABD和△DCA中，，∴△ABD≌△DCA（SAS），∴∠DAC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DAC＝∠CDE．∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB，∴△ADC∽△DCE．∴，∴AD?DE＝AC?DC；（2）∵△ADC∽△DCE，∴，∴AD?CE＝DC2．∵AD?CE＝DF?DB，∴DC2＝DF?DB，∴，∵∠FDC＝∠CDB，∴△FDC∽△CDB，∴∠DCF＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DCF＝∠CDE，∴CF∥DE．又∵DF與CE不平行，∴四邊形DFCE為梯形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，梯形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4、（2023?嘉定區(qū)二模）如如圖7，已知、分別是和它的鄰補(bǔ)角的角平分線，，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，分別交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是矩形；（2）試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖7圖7【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）GH＝BC，理由見解答過程．【分析】（1）根據(jù)CE、CF分別是∠ACB和∠ACD的平分線得到∠ECF＝90°，推導(dǎo)出EC⊥CF，然后根據(jù)AE⊥CE，得到AE∥FC，再利用AF∥EC證得四邊形AECF是矩形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得兩條直線平行．【解答】證明：（1）如圖所示，∵CE、CF分別是∠ACB和它的鄰補(bǔ)角∠ACD的角平分線，∴∠2＝∠ACB，∠3＝∠ACD，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠2+∠3＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴EC⊥CF，∵AE⊥CE，∴AE∥FC，又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是矩形；（2）GH∥BC．理由如下：∵四邊形AECF是矩形，∴EF＝AC，EH＝EF，AH＝HC＝AC，∴EH＝HC，∴∠2＝∠5，又∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5，∴GH∥BC，∴＝＝，∴GH＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解矩形的幾個(gè)判定定理．5．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)G在邊AD上，聯(lián)結(jié)BG、CG，對角線AC與BE、BG分別交于點(diǎn)F、H，且．（1）求證：BG⊥AC；（2）如果，且DC是DG與DA的比例中項(xiàng)，求證：四邊形ABCG是菱形．AABCEGFHD（圖8）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；梯形．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）利用直角三角形的相似的判定定理得到Rt△AEF∽R(shí)t△BEG，則∠AFE＝∠BGE，利用垂直就的定義和直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的定義得到∠DCG＝∠ACG，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCG＝2∠BCG＝2∠ACG，則∠ACB＝∠ACG＝∠DCG，利用等腰三角形的判定定理得到GA＝GC，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到CG＝CB，GH＝BH，AB＝AG，利用四邊線段的四邊形是菱形即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AE?BG＝AF?BE，∴．∵BE⊥AD，∴Rt△AEF∽R(shí)t△BEG，∴∠AFE＝∠BGE．∵BE⊥AD，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠EAF+∠BGE＝90°，∴∠AHG＝90°，∴BG⊥AC；（2）證明：∵DC是DG與DA的比例中項(xiàng)，∴，∵∠D＝∠D，∴△DCG∽△DAC，∴∠DCG＝∠DAC，∠DGC＝∠∠DCA．∵∠DGC＝2∠DCG，∴∠DCA＝2∠DCG，∴∠DCG＝∠ACG．∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠BCG，∴∠BCG＝2∠BCG＝2∠ACG，∴∠ACB＝∠ACG＝∠DCG．∴∠ACG＝∠DAC，∴GA＝GC，在△CGH和△CBH中，，∴△CGH≌△CBH（ASA），∴CG＝CB，GH＝BH，∴AC是線段BG的垂直平分線，∴AB＝AG，∴AB＝AG＝GC＝CB．∴四邊形ABCG是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023?楊浦區(qū)二模）第23題圖BDAEC已知：在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，△ABD沿直線BD第23題圖BDAEC（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：△BCD是等邊三角形；（2）延長BE交線段AD的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，如果，求證：四邊形ABCF是矩形.【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定；直角梯形；翻折變換（折疊問題）．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答．【分析】（1）由折疊得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°，從而可得BE是DC的垂直平分線，進(jìn)而可得DB＝BC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠C，從而可得∠BDE＝∠C＝∠ADB，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ADC+∠C＝180°，從而可得∠BDE+∠C+∠ADB＝180°，進(jìn)而可得∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°，最后利用等邊三角形的判定，即可解答；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，根據(jù)垂直定義可得∠DHB＝∠DHC＝90°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，從而可得四邊形ABHD是矩形，進(jìn)而可得AD＝BH，AB＝DH，再利用折疊的性質(zhì)可得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE，從而可得∠BEC＝90°，DH＝BE，然后利用AAS證明△BCE≌△DCH，從而可得DC＝BC，CE＝CH，再證明8字模型相似三角形△FDE∽△BCE，從而可得＝，最后根據(jù)已知可得＝，從而可得＝，進(jìn)而可得DF＝CE，再根據(jù)等量代換可得CH＝DF，從而利用等式的性質(zhì)可得AF＝BC，進(jìn)而可得四邊形ABCF是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定即可解答．【解答】證明：（1）由折疊得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°，∵點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)，∴BE是DC的垂直平分線，∴DB＝BC，∴∠BDE＝∠C，∴∠BDE＝∠C＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∴∠BDE+∠C+∠ADB＝180°，∴∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°，∴△BCD是等邊三角形；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∴∠DHB＝∠DHC＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AD＝BH，AB＝DH，由折疊得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE，∴∠BEC＝180°﹣∠DEB＝90°，DH＝BE，∵∠BEC＝∠DHC＝90°，∠BCE＝∠DCH，∴△BCE≌△DCH（AAS），∴DC＝BC，CE＝CH，∵AD∥BC，∴∠DFE＝∠EBC，∠FDE＝∠ECB，∴△FDE∽△BCE，∴＝，∵CE2＝DE?DC，∴＝，∴＝，∴DF＝CE，∴CH＝DF，∴AD+DF＝BH+CH，∴AF＝BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴四邊形ABCF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形，翻折變換（折疊問題），根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．專題三邊與角的證明【知識(shí)梳理】【歷年真題】1．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，過點(diǎn)A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，聯(lián)結(jié)BD、CE．（1）求證：四邊形DBCE是等腰梯形；（2）點(diǎn)F在腰CE上，聯(lián)結(jié)BF交AC于點(diǎn)G，若CF2＝GF?BF，求證：CG＝DE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰梯形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）（2）證明見解析．【分析】（1）證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB＝EC，根據(jù)等腰梯形的概念證明；（2）證明△CFG∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠FCG＝∠FBC，∠CGF＝∠BCF，得到∠AEC＝∠CGF，證明△AEC≌△CGB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB＝EC，∵DE∥BC，∴四邊形DBCE是等腰梯形；（2）∵CF2＝GF?BF，∴＝，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴∠FCG＝∠FBC，∠CGF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠AEC+∠BCF＝180°，∵∠CGF+∠CGB＝180°，∴∠AEC＝∠CGF，在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（AAS），∴CG＝AE＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?普陀區(qū)二模）已知：如圖9，四邊形中，//，，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：四邊形為矩形；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：．AADOEBCF圖9【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用相似證出∠BCD的度數(shù)為90°，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形來判斷即可．（2）證明△AEC和△OGD相似，通過AC與OD的關(guān)系證出EC＝2DG即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDB，∵AB?DC＝BF?BD，∴△ABF∽△BCD，∴∠AFB＝∠BCD，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BCD＝90°∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD為矩形；（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB，∵OG⊥OA，AF⊥BF，∴∠GOA+∠OAG＝∠BFE+∠FBE，∴∠OGD＝∠AEC，∴△AEC∽△OGD，∴AC：OD＝EC：GD＝2：1，即EC＝2DG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、三角形的相似的判定，判定定理的熟練掌握及矩形性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵3．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）當(dāng)AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))．eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))第23題圖第23題圖BCADPOE【考點(diǎn)】正多邊形和圓；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；正多邊形與圓；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義PB＝PC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接OE，OA，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠AOE＝，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AEO＝60°，連接PO并延長交AD于H，連接OD，根據(jù)圓心角、弦、弧的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，在△ABP與△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（SAS），∴PA＝PD；（2）連接OE，OA，∵AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊，∴∠AOE＝，∵OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AEO＝60°，連接PO并延長交AD于H，連接OD，∵PA＝PD．OA＝OD，∴PH⊥AD，∴∠BAD＝∠PFD＝90°，∴AB∥PH，∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C、D在上，=，點(diǎn)F、E分別在半徑OA、OB上，OF=OE，聯(lián)結(jié)DE、CF．（1）求證：DE=CF；（2）設(shè)點(diǎn)P為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD、EF、PO，線段PO交CD于點(diǎn)M、交EF于點(diǎn)N．如果PO//DE，求證：四邊形MNED是矩形．AAOB(第23題圖)EDFC【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；矩形的判定；垂徑定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見解答．【分析】（1）先證明＝得到∠AOC＝∠BOC，然后證明△OCF≌△ODE得到DE＝CF；（2）連接AB，如圖，利用垂徑定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，則利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠OEF＝∠OBA＝90°﹣∠EOF，則可判斷EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，于是可得到四邊形MNED為平行四邊形，然后利用∠NMD＝90°得到四邊形MNED為矩形．【解答】證明：（1）∵＝，∴+＝+，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，在△OCF和△ODE中，，∴△OCF≌△ODE（SAS），∴DE＝CF；（2）連接AB，如圖，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴OP⊥CD，∵＝，∴＝，∴OP⊥AB，∵OE＝OF，OA＝OB，∠EOF＝∠BOA，∴∠OEF＝∠OBA＝90°﹣∠EOF，∴EF∥AB，∴OP⊥EF，∴EF∥CD，∵OP∥DE，∴四邊形MNED為平行四邊形，∵∠NMD＝90°，∴四邊形MNED為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和矩形的判定．5.（2023?松江區(qū)二模）如圖5，已知正方形ABCD，E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)M，DN⊥AE，垂足為點(diǎn)N.（1）求證：AM=MN；（2）聯(lián)結(jié)BE,求∠MBE正弦值．BBACDEFMN（圖5）【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；解直角三角形