/壓軸專(zhuān)題08中點(diǎn)問(wèn)題的探究知識(shí)考點(diǎn)與解題策略模型一：倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)（與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段）構(gòu)造全等三角形如圖①,AD是△ABC的中線(xiàn),延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD,易證:ADC≌ΔEDB(SAS)；如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E使DE=FD，易證:△FDB≌△EDC(SAS)；當(dāng)遇見(jiàn)中線(xiàn)或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.模型二：已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線(xiàn)合一”等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線(xiàn)，利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見(jiàn)等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到:“邊等、角等、三線(xiàn)合一”.模型三：已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線(xiàn)定理在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理:DE//BC，且DE=BC來(lái)解題，中位線(xiàn)定理中既有線(xiàn)段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決角問(wèn)題，線(xiàn)段之間的倍半、相等及平行問(wèn)題.模型四：已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線(xiàn)模型分析在直角三角形中，當(dāng)遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線(xiàn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即CD=AB，來(lái)證明線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形:△ACD和△ABCD，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線(xiàn)定理一起綜合應(yīng)用.模型4.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，結(jié)論：OP⊥AB；2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，結(jié)論：MN是圓O的切線(xiàn)；3）條件：如圖3，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接BP、AP，若∠BPN=∠A，結(jié)論：MN是圓O切線(xiàn)。模型5：與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型）1）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB．2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB=45°．3）條件：如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，結(jié)論：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。模型6.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型條件：如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，連結(jié)PB交AC于點(diǎn)F。結(jié)論：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．例題1（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、，以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的上有一動(dòng)點(diǎn)P．連接，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．例題2（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式．角平分線(xiàn)的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問(wèn)題提出】（1）如圖①，是的角平分線(xiàn)，求證：．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線(xiàn)、等腰三角形”，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過(guò)點(diǎn)C分別作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，利用“等面積法”．請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在中，，D是邊上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊的中點(diǎn)E處．若，求的長(zhǎng)；【拓展提高】（3）如圖③，中，，，為的角平分線(xiàn)．的垂直平分線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例題314．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）問(wèn)題提出如圖①，、是的兩條弦，，是的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：如圖②，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、．（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程．）推廣運(yùn)用如圖③，等邊內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，則的周長(zhǎng)是．拓展研究如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“是的中點(diǎn)”改成“是的中點(diǎn)”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出、、三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)明理由．1、如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形的邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M，O為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①，②，③，④．其中正確結(jié)論的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2、（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，M是邊的中點(diǎn)，，交直線(xiàn)于點(diǎn)N，連接，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④3、如圖，是的直徑，，點(diǎn)C是上半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．4、如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的最小值為．5．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，是的外接圓，點(diǎn)D是半圓弧的中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連結(jié)，．若與的面積比為，則．6．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，中，是的高，，則；若以點(diǎn)C為圓心，半徑為2作，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值是．

7．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，長(zhǎng)的最小值為．8．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）【推理證明】（1）如圖①，在四邊形中，，求證：、、、四點(diǎn)共圓．小明認(rèn)為：連接，取的中點(diǎn)，連接、即可證明，請(qǐng)你按照小明思路完成證明過(guò)程．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在正方形中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)在線(xiàn)段上確定點(diǎn)，使．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【拓展延伸】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．9．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，中，，，，點(diǎn)D，E分別在，邊上，，連接，將沿翻折得到，連接，．(1)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(2)若的面積是面積的2倍，求的長(zhǎng)．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖1，的頂點(diǎn)在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)A，E，O，F(xiàn)在同一個(gè)圓上，并在圖中畫(huà)出該圓的圓心；(2)如圖2，的直徑，點(diǎn)A固定，點(diǎn)B在半圓弧上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)B從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的過(guò)程中，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．11．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）【定義】如果從一個(gè)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向不過(guò)該頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)交平行四邊形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個(gè)平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)”如圖1，在中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則是垂中平行四邊形，是垂中點(diǎn)．【應(yīng)用】(1)如圖1，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，則______；______；(2)如圖2，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，于點(diǎn)．①請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形，使得為垂中點(diǎn)，點(diǎn)在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫(huà)圖工具，不寫(xiě)畫(huà)法及證明，在圖上標(biāo)明字母）②將沿翻折得到，若射線(xiàn)與①中所畫(huà)的垂中平行四邊形的邊交于另一點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．12、（24-25·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題初探】如圖1，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．求證：．【拓展研究】如圖2，已知內(nèi)接，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)D．求證：．【解決問(wèn)題】如圖3，已知等腰三角形內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接、，，的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．13．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）（1）觀察猜想：如圖1，已知三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上（），正方形和正方形在線(xiàn)段同側(cè)，H是中點(diǎn)，線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）猜想證明：在（1）的基礎(chǔ)上，將正方形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)度（），試判斷（1）中結(jié)論是否仍成立？若成立，僅用圖2進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：如圖3，矩形和矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，連接是中點(diǎn)，若，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．14、給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．(1)如圖①，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），，，，連接，則________（填“<”或“=”或“>”），________°；(2)如圖②，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，，，M、N分別是底邊的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，，，M、N分別是底邊的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）15．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在邊，上，將矩形沿折疊．

(1)若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．①如圖1，當(dāng)P為的中點(diǎn)，且，時(shí)，則的長(zhǎng)為；②如圖2，連接，當(dāng)P，H分別為，的中點(diǎn)時(shí)，求的值．(2)若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，如圖3，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．當(dāng)，時(shí)，則的最小值為，的最大值為．16、請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：三角形中線(xiàn)定理三角形中線(xiàn)定理又稱(chēng)阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線(xiàn)長(zhǎng)度關(guān)系．阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德合稱(chēng)為古希臘亞歷山大前期的三大數(shù)學(xué)家．中線(xiàn)定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線(xiàn)的平方和的兩倍．如圖1，在中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)“阿波羅尼奧斯”，可得．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：證明：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，如圖2，在中，，同理可得：，，證明的方便，不妨設(shè)，，…任務(wù)：(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(2)如圖3，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(3)如圖4，已知平行四邊形中，和相交于點(diǎn)，設(shè)，，請(qǐng)直接用含，的代數(shù)式表示的值；(4)如圖5，已知平行四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．17、已知：為圓的直徑，點(diǎn)為弦上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，射線(xiàn)交圓于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，在上取一點(diǎn)，連接，，使，，連接，若，，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．18、已知為斜邊上的高，以為直徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：為的切線(xiàn)；（2）若，求的長(zhǎng)．

壓軸專(zhuān)題08中點(diǎn)問(wèn)題的探究知識(shí)考點(diǎn)與解題策略模型一：倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)（與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段）構(gòu)造全等三角形如圖①,AD是△ABC的中線(xiàn),延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD,易證:ADC≌ΔEDB(SAS)；如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E使DE=FD，易證:△FDB≌△EDC(SAS)；當(dāng)遇見(jiàn)中線(xiàn)或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.模型二：已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線(xiàn)合一”等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線(xiàn)，利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見(jiàn)等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到:“邊等、角等、三線(xiàn)合一”.模型三：已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線(xiàn)定理在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理:DE//BC，且DE=BC來(lái)解題，中位線(xiàn)定理中既有線(xiàn)段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決角問(wèn)題，線(xiàn)段之間的倍半、相等及平行問(wèn)題.模型四：已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線(xiàn)模型分析在直角三角形中，當(dāng)遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線(xiàn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即CD=AB，來(lái)證明線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形:△ACD和△ABCD，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線(xiàn)定理一起綜合應(yīng)用.模型4.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，結(jié)論：OP⊥AB；2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，結(jié)論：MN是圓O的切線(xiàn)；3）條件：如圖3，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接BP、AP，若∠BPN=∠A，結(jié)論：MN是圓O切線(xiàn)。模型5：與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型）1）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB．2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB=45°．3）條件：如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，結(jié)論：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。模型6.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型條件：如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，連結(jié)PB交AC于點(diǎn)F。結(jié)論：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．例題1（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、，以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的上有一動(dòng)點(diǎn)P．連接，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在y軸負(fù)半軸上取，連接，．證明是的中位線(xiàn)得，可得當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是．【詳解】解：在y軸負(fù)半軸上取，連接，．∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，的值最小，即的值最?。?、，∴，∴．∵的半徑為3，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)、勾股定理、圓的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)，確定出OC最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．例題2（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式．角平分線(xiàn)的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問(wèn)題提出】（1）如圖①，是的角平分線(xiàn)，求證：．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線(xiàn)、等腰三角形”，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過(guò)點(diǎn)C分別作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，利用“等面積法”．請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在中，，D是邊上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊的中點(diǎn)E處．若，求的長(zhǎng)；【拓展提高】（3）如圖③，中，，，為的角平分線(xiàn)．的垂直平分線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）6【分析】（1）小明的思路：過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可證，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，所以可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可證結(jié)論成立；小紅的思路：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底邊之比可得：，，從而可證結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，從而得到，設(shè)，則有，在中利用勾股定理可以求出的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可證，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得，從圖中可以看出，所以可證，再根據(jù)，可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：（1）小明的思路：過(guò)點(diǎn)作，如下圖所示，平分，，又，，，，又，，，；選擇小紅的思路：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示，平分，，，，，，又，，，；（2）如下圖所示，由（1）可知，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，又，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，的長(zhǎng)為；（3）解：如下圖所示，為的角平分線(xiàn)，由（1）可知，，，，，，是的垂直平分線(xiàn)，，，，，，又，，，，，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)、中垂線(xiàn)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)找出圖中相等的角，從而得到相似三角形，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解決問(wèn)題．例題314．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）問(wèn)題提出如圖①，、是的兩條弦，，是的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：如圖②，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、．（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程．）推廣運(yùn)用如圖③，等邊內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，則的周長(zhǎng)是．拓展研究如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“是的中點(diǎn)”改成“是的中點(diǎn)”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出、、三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】問(wèn)題提出：見(jiàn)解析；推廣運(yùn)用：；拓展研究：不成立，、、三者之間的關(guān)系為：，見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題提出：首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；推廣運(yùn)用：首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得出答案；拓展研究：連接，，，交于，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的判定得到，于是得到結(jié)論．【詳解】問(wèn)題提出：證明：如圖2，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、，是的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，∵，∴，∴，∴，又，，；推廣運(yùn)用：解：如圖3，截取，連接，，，由題意可得：，，在和中，，，，，則，，，則的周長(zhǎng)是，故答案為：；拓展研究：不成立，、、三者之間的關(guān)系：，證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，交于，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．1、如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形的邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M，O為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①，②，③，④．其中正確結(jié)論的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，證明，得出，通過(guò)導(dǎo)角證明，可判斷①；根據(jù)可判斷②；證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷③；過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N，證明，結(jié)合勾股定理可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，．在和中，，，．，，故①正確；是的中線(xiàn)，，，故②錯(cuò)誤；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，在中，．，，，，即，解得，，，，故③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N，，，，，即，解得，，．根據(jù)勾股定理，得，，，．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個(gè)，故選B．2、（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，M是邊的中點(diǎn)，，交直線(xiàn)于點(diǎn)N，連接，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】通過(guò)證明，可得，可證；過(guò)作交于，可證四邊形是平行四邊形，可得，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得；由平行線(xiàn)性質(zhì)可得，，可證；通過(guò)證明，可得，可求，即可得，則可求解．【詳解】解：在矩形中，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，故①正確；如圖，過(guò)作交于，

，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，且，是的垂直平分線(xiàn)，，故②正確；四邊形是矩形，，，，，，，故④正確；，，，，且，，，且，，，，，，∴，即：，故③正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，斜邊上的中線(xiàn)，中垂線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．3、如圖，是的直徑，，點(diǎn)C是上半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，作出正確的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．連接，圓周角定理，推出，進(jìn)而得到點(diǎn)只在上運(yùn)動(dòng)，求解即可．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，點(diǎn)C是上半圓的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，設(shè)，則：，，，∴的度數(shù)為，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴的度數(shù)為，∴的度數(shù)為，∴，∴，∴，∴∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓上，且只在的上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的軌跡為的長(zhǎng)．故選B．4、如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)－最短距離問(wèn)題，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接，此時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，設(shè)的中點(diǎn)為O，連接，交于點(diǎn)F，交圓O于點(diǎn)G，如圖：則，此時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)；∵正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，則，∵點(diǎn)G是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，在中，，，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．5．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，是的外接圓，點(diǎn)D是半圓弧的中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連結(jié)，．若與的面積比為，則．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解一元二次方程，過(guò)作于，交直線(xiàn)于，連接，先由點(diǎn)D是半圓弧的中點(diǎn)，得到，，即可證明四邊形是正方形，設(shè)，，則，再證明，得，由與的面積比為，得到，解得，最后根據(jù)，得到，代入整理得，解得，最后代入，計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)作于，交直線(xiàn)于，連接，則，∵點(diǎn)D是半圓弧的中點(diǎn)，∴，，∴平分，∴，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，，則，∵，，∴，∴，∴，∵與的面積比為，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴，即，整理得，，∴，∴，，∴，故答案為：．6．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，中，是的高，，則；若以點(diǎn)C為圓心，半徑為2作，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值是．

【答案】5【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理即可求得長(zhǎng)度；連接，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)E點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，最小，從而，最后求得最小值即可．【詳解】解：∵是的高，∴，，由勾股定理得：；如圖，連接，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)E、C、B三點(diǎn)共線(xiàn)，且E點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，最小，從而最小，而，∴最小值為．

故答案為：5；．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線(xiàn)，圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最值等知識(shí)，構(gòu)造輔助線(xiàn)，運(yùn)用中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵．7．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，再根據(jù)勾股定理即可求得答案；（2）先證明，得到，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即得答案．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，；故答案為：．（2）由（1）知，，，，，，，，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取最小值，長(zhǎng)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，是解題的關(guān)鍵．8．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）【推理證明】（1）如圖①，在四邊形中，，求證：、、、四點(diǎn)共圓．小明認(rèn)為：連接，取的中點(diǎn)，連接、即可證明，請(qǐng)你按照小明思路完成證明過(guò)程．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在正方形中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)在線(xiàn)段上確定點(diǎn)，使．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【拓展延伸】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半證明，即可得出結(jié)論；（2）以為直徑作圓，交于點(diǎn)P，由直徑所對(duì)圓周角等于，即可得出；（3）由正方形性質(zhì)和勾股定理求出，再證明得是等腰直角三角形，由此求出．【詳解】（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接、，∵，∴，∴、、、四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上．（2）如圖，；（3）∵在正方形中，，，∴，，，，∴，∵，∴，又∵是直角三角形，，∴，∴又∵，∴即∴．【點(diǎn)睛】本題考查了證明四點(diǎn)共圓以及圓周角定理，正方形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，添加合適的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．9．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，中，，，，點(diǎn)D，E分別在，邊上，，連接，將沿翻折得到，連接，．(1)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(2)若的面積是面積的2倍，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由勾股定理求得，從而求得，過(guò)點(diǎn)E作于，求得，，從而得到是等腰直角三角形，得出，則，再由折疊可得：，，得到，最后在中，由勾股定理求解即可．（2）設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過(guò)作于，設(shè)與相交于，證明，得到，進(jìn)而得到，，證明是等腰直角三角形，得到，可得，證明，得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)E作于，如圖，∵，∴，由勾股定理，得，∵∴，∴是等腰直角三角形，∴，則，由折疊可得：，，，在中，由勾股定理，得．（2）解：，設(shè)，，沿翻折，得到，，，過(guò)作于，設(shè)與相交于，則，又，，，，，，，，，則，是等腰直角三角形，，則，，在和中，，，，，，，的面積是的面積的2倍，，則，解得，（舍去），則．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖1，的頂點(diǎn)在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)A，E，O，F(xiàn)在同一個(gè)圓上，并在圖中畫(huà)出該圓的圓心；(2)如圖2，的直徑，點(diǎn)A固定，點(diǎn)B在半圓弧上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)B從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的過(guò)程中，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查軌跡、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、作圖復(fù)雜作圖等知識(shí)．（1）如圖，連接，，，取的中點(diǎn)，連接，．利用垂徑定理證明，由，推出即可解決問(wèn)題；（2）如圖，連接．由，推出，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的半圓，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，取的中點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)E、F分別為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)，，，在同一個(gè)圓上，圓心是圖中中點(diǎn)；（2）解：如圖，連接，，，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，∴是中位線(xiàn)，是中位線(xiàn)，∴，，，，∴，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且，，，在點(diǎn)B從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的半圓，∵的直徑，∴，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．11．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）【定義】如果從一個(gè)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向不過(guò)該頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)交平行四邊形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個(gè)平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)”如圖1，在中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則是垂中平行四邊形，是垂中點(diǎn)．【應(yīng)用】(1)如圖1，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，則______；______；(2)如圖2，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，于點(diǎn)．①請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形，使得為垂中點(diǎn)，點(diǎn)在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫(huà)圖工具，不寫(xiě)畫(huà)法及證明，在圖上標(biāo)明字母）②將沿翻折得到，若射線(xiàn)與①中所畫(huà)的垂中平行四邊形的邊交于另一點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)1，(2)，證明見(jiàn)解析(3)①見(jiàn)解析；②或【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線(xiàn)，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線(xiàn)，取交的平分線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，在射線(xiàn)上取，連接；第三種情況，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，在延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計(jì)算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線(xiàn)合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點(diǎn)，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線(xiàn)，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，即，為的中點(diǎn)；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線(xiàn)，取交的平分線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，在射線(xiàn)上取，連接，故為的中點(diǎn)；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，在延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使，連接，則為的中點(diǎn)，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照?qǐng)D1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過(guò)P作于H，則，，，，，，；，，，，即

∴若按照?qǐng)D2作圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照?qǐng)D3作圖，則：沒(méi)有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12、（24-25·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題初探】如圖1，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．求證：．【拓展研究】如圖2，已知內(nèi)接，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)D．求證：．【解決問(wèn)題】如圖3，已知等腰三角形內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接、，，的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題初探：見(jiàn)解析；拓展研究：見(jiàn)解析；解決問(wèn)題：【分析】問(wèn)題初探：利用圓周角定理得到，利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到，再進(jìn)行等量代換即可解題；拓展研究：在上取點(diǎn)，使得，連接、、、，利用圓周角定理證明，得到，利用等腰三角形性質(zhì)得到，再進(jìn)行等量代換即可解題；解決問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由（2）可得，根據(jù)的周長(zhǎng)得到，再結(jié)合得到，最后利用勾股定理求解，即可解題．【詳解】問(wèn)題初探證明：，，，，，，；拓展研究證明：在上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖2，是的中點(diǎn)，，則，，，又，，，，，，；解決問(wèn)題解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖3，，為的中點(diǎn)，由（2）可得，的周長(zhǎng)為，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）（1）觀察猜想：如圖1，已知三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上（），正方形和正方形在線(xiàn)段同側(cè)，H是中點(diǎn)，線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）猜想證明：在（1）的基礎(chǔ)上，將正方形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)度（），試判斷（1）中結(jié)論是否仍成立？若成立，僅用圖2進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：如圖3，矩形和矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，連接是中點(diǎn)，若，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)正方形和正方形，得到繼而得到；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形的邊長(zhǎng)為b，根據(jù)題意，得；結(jié)合H是中點(diǎn)，得到，繼而得到．（2）結(jié)論仍然成立．理由如下，延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使得，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，延長(zhǎng)二線(xiàn)交于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，得到，得到，結(jié)合，證明即可．（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)Q，使得，連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明，得，結(jié)合，得到，取的中點(diǎn)O，連接，結(jié)合是中點(diǎn)，得到，根據(jù)圓的定義，判定點(diǎn)H在以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上，其周長(zhǎng)為．【詳解】（1），且．理由如下：∵正方形和正方形，∴∴；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形的邊長(zhǎng)為b，根據(jù)題意，得；∵H是中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．（2）結(jié)論仍然成立．理由如下，延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使得，連接，延長(zhǎng)二線(xiàn)交于點(diǎn)Q，∵H是中點(diǎn)，∴，，∴，∵正方形和正方形，∴，，，∴，∵∴，∴，∴，，∴，，故．（3）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)Q，使得，連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，得到，∵矩形和矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，取的中點(diǎn)O，連接，∵是中點(diǎn)，∴，根據(jù)圓的定義，判定點(diǎn)H在以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上，∴其周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，圓的定義，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，圓的定義是解題的關(guān)鍵．14、給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．(1)如圖①，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），，，，連接，則________（填“<”或“=”或“>”），________°；(2)如圖②，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，，，M、N分別是底邊的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，和互為“友好三角形”，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，，，M、N分別是底邊的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）【答案】(1)=；120(2)；理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理和等腰三角形的性質(zhì)：（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，，即可得出答案；（2）在上截取，使，連接，先判斷出，進(jìn)而判斷出，最后利用等邊三角形性質(zhì)求解，即可得出答案；（3）方法同（2）可得解【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴和是等邊三角形，∴∴；故答案為：=；120；（2）解：；理由如下：如圖，在上截取，使，連接，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線(xiàn)，∴，∵∴，∵，，，∴由（1）知，，∴，∴是等邊三角形，∴∴；（3）解：；理由如下：如圖，在上截取，使，連接交于K，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線(xiàn)，∴，∵∴，∵，，，∴由（1）知，，∴，∴∴又∴∴15．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在邊，上，將矩形沿折疊．

(1)若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．①如圖1，當(dāng)P為的中點(diǎn)，且，時(shí)，則的長(zhǎng)為；②如圖2，連接，當(dāng)P，H分別為，的中點(diǎn)時(shí)，求的值．(2)若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，如圖3，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．當(dāng)，時(shí)，則的最小值為，的最大值為．【答案】(1)①；②(2)2；【分析】（1）①設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明，得出，求出，再求出答案即可；②延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)M，連接，設(shè)，得出，證明，得出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，，證明，得出，求出，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)折疊可知：，根據(jù)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，得出當(dāng)時(shí)，最小，求出最小值即可；連接，根據(jù)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，得出，根據(jù)折疊得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，隨增大而減小，得出當(dāng)時(shí)，x隨的增大而增大，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，最大，求出最大值即可．【詳解】（1）解：①∵四邊形為矩形，∴，，，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，根據(jù)折疊可知：，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴；②延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)M，連接，如圖所示：根據(jù)折疊可知：，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵P為的中點(diǎn)，∴設(shè)，∴，∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵四邊形為矩形，∴，，，，根據(jù)折疊可知：，∵點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，∴當(dāng)時(shí)，最小，∵此時(shí)，∴此時(shí)四邊形為矩形，∴，∴最小值為2，即的最小值為2；連接，如圖所示：

∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，∴，根據(jù)折疊可知：，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，∴，整理得：，∵當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，隨增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，x隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．16、請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：三角形中線(xiàn)定理三角形中線(xiàn)定理又稱(chēng)阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線(xiàn)長(zhǎng)度關(guān)系．阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與