河北承德灤平縣第一中學(xué)2024—2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則（）A. B. C. D.12.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'=4，BA.6 B.10 C.12 D.243.已知，且，則（）A. B. C. D.4.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將圖象向右平移個(gè)長度單位，則所得到的曲線的解析式為（）A. B. C. D.5.已知圓的半徑為13，和是圓的兩條動(dòng)弦，若，，則的最大值是（）A.17 B.20 C.34 D.486.在三棱錐中，底面，，，的面積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.7.在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為（）A.等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（）A.的最小正周期為 B.曲線關(guān)于直線對稱

C.點(diǎn)是曲線的對稱中心 D.在上單調(diào)遞增10.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）A.與所成的角為B.該半正多面體過、、三點(diǎn)的截面面積為C.該半正多面體的體積為D.該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式11.如圖，在梯形中，，，為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.向量與共線C.D.若，則最大值三、填空題（本大題共3小題，共15分12.如圖所示，在側(cè)棱長為的正三棱錐中，，過作截面，周長的最小值為________．13.已知，與的夾角為，則與夾角的余弦值為__________．14.已知，則的值為__________.四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（本題13分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式和最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值及對應(yīng)的x的取值；(3)當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．16.（本題15分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sinB＝.(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC＝，求b.17.（本題15分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點(diǎn)C是圓柱底面圓周AB^上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上．(1)求圓柱的表面積與體積；(2)求三棱錐的體積；(3)若D是的中點(diǎn)，求的最小值．18.（本題17分）已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，求的面積；（3）若為銳角三角形，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值.19.（本題17分）已知.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，①求的取值范圍；②求的值.參考答案：1.【答案】C【解析】中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，向量，根據(jù)平面向量數(shù)量積公式：則，2.【答案】C【解析】由題可知，△ABC為直角三角形，且AC⊥BC，如圖：由斜二測畫法知AC=A'C3.【答案】D【解析】由，則，所以.又，由，得，則.而.對應(yīng)選項(xiàng)為D.4.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得，再將圖象向右平移個(gè)長度單位，根據(jù)函數(shù)圖象平移中，“左加右減”法則，得到的曲線的解析式為，對應(yīng)選項(xiàng)A.5.【答案】C【解析】設(shè)圓O的圓心為O，連接MO，OP，ON.作PQ⊥OE，MN⊥OD，垂足分別為E，D，則E，D分別是PQ，MN中點(diǎn).由勾股定理得OE=132-PM→則PM→當(dāng)OE→，OD→反向時(shí)取等號.所以PM→6.【答案】B【解析】如圖，取的外接圓圓心，過點(diǎn)作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心在該垂線上，且，在中，，即，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，即，所以外接球的半徑，則，故三棱錐的外接球表面積的最小值為.7.【答案】D【解析】因?yàn)?，由余弦定理，得到，整理化簡，得，即，所以為等腰三角形，，且A、B均為銳角，又因?yàn)?，由降冪公式得到，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，所?綜上訴述，為等腰直角三角形.8.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，所以，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所有，所以其中，所以，所以，解得，又因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，所以的取值范圍?9.【答案】AC【解析】選項(xiàng)A：根據(jù)正弦函數(shù)周期公式T=2πω（ω為x前面系數(shù)），對于f(x)=2sin?(2x+選項(xiàng)B：計(jì)算f(π2)=2sin?(選項(xiàng)C：計(jì)算f(-π12)=2sin?(-選項(xiàng)D：當(dāng)x∈(π6,2π故選：AC.10.【答案】ABD【解析】該半正多面體，是由棱長為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的.對于A選項(xiàng)，連接、、，易知是等邊三角形，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可得，所以，與所成的角為，A對；對于B選項(xiàng)，如圖，過、、三點(diǎn)的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為，有個(gè)面，條棱，滿足，D對.故選：ABD.11.【答案】ACD【解析】由題意可知，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，結(jié)合三角形中線法則：，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，使得，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，使得，進(jìn)而有，因?yàn)?不共線，所以，解得，故，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，，所以不共線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由于，即，故，同理可得，所以，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)闉榫€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，使得，所以，因?yàn)椋还簿€，則，，故，因此的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.【答案】【解析】將三棱錐沿側(cè)棱剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上如圖1，則線段的長即為所求的周長的最小值．取的中點(diǎn)，連接，則，.在中，，即周長的最小值為.故答案為：6.13.【答案】【解析】由，得，又因?yàn)樗?，，，，?14.【答案】【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sinπ2-θ=cos同理sinx+將sinx+π3=23×215.【答案】解(1)由函數(shù)圖象可知，，，即，將點(diǎn)代入，得，則，，則，，由于，故，即，最小正周期為.(2)當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，，即時(shí)，.(3)當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減：當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．16.【答案】解(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2，又a2－b2＋c2＝2accosB，所以accosB＝1.由sinB＝，得cosB＝或cosB＝－(舍去)，所以ac＝＝，則△ABC的面積S＝acsinB＝××＝.(2)由sinAsinC＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，即b2＝×＝，得b＝.17.【答案】解(1)圓柱的底面直徑，故半徑，且高，可得圓柱的表面積為，圓柱的體積為．(2)因?yàn)辄c(diǎn)是圓柱底面圓周AB^上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，且，而為直角三角形，從而，得，，所以．(3)解：將平面繞旋轉(zhuǎn)到和平面共面，此時(shí)點(diǎn)在的延長線上，設(shè)為點(diǎn)，可得，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，由題意，，所以，故的最小值為．18.【答案】（1）證明：易知，整理得，即，所以，因?yàn)?，所以，?所以，證畢；（2）解：由（1）知，則，如圖所示作，垂足為D，由題意知，根據(jù)勾股定理有，且，所以，故；（3）解：由（1）知，根據(jù)正弦