高中數(shù)學(xué)分層抽樣教案

教學(xué)分析

教學(xué)通過實(shí)例介紹了分層抽樣的實(shí)施步驟.值得注意的是分層抽樣在內(nèi)容上與系統(tǒng)抽樣

是平行的，在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)：分層抽樣適用于由差異明顯的幾部分組成的情況；在每一層

進(jìn)行抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；分層抽樣也是等可能抽樣.

三維目標(biāo)

1.通過對(duì)實(shí)例的分析，了解分層抽樣方法.

2.使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理過程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維過程.

3.了解數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，提高學(xué)生的歸納、總結(jié)能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分層抽樣及其實(shí)施步驟.

教學(xué)難點(diǎn)：確定各層的入樣個(gè)體數(shù)目.

課時(shí)安排

1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.中國共產(chǎn)黨第十七次代表大會(huì)的代表名額原則上是按各選舉單位的黨組織數(shù)、黨

員人數(shù)進(jìn)行分配的，并適當(dāng)考慮前幾次代表大會(huì)代表名額數(shù)等因素.按照這一分配辦法，各

選舉單位的代表名額，比十六大時(shí)都有增加.另外，按慣例，中央將確定一部分已經(jīng)退出領(lǐng)

導(dǎo)崗位的老黨員作為特邀代表出席大會(huì).這種產(chǎn)生代表的方法是簡單隨機(jī)抽樣還是系統(tǒng)抽

樣？教師點(diǎn)出課題：分層抽樣.

思路2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)分層

抽樣.

推進(jìn)新課

1.假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人，此地區(qū)教育部門

為了了解本地區(qū)學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？

2.想一想為什么這樣取各個(gè)學(xué)段的個(gè)體數(shù)？

3.請(qǐng)歸納分層抽樣的定義.

4.請(qǐng)歸納分層抽樣的步驟.

5.分層抽樣時(shí)應(yīng)如何分層？其適用于什么樣的總體？

討論結(jié)果：

1.分別利用系統(tǒng)抽樣在高中生中抽取2400Xl%=24人，在初中生中抽取10900X1%=

109人，在小學(xué)生中抽取11000Xl%=110人.這種抽樣方法稱為分層抽樣.

2.含有個(gè)體多的層，在樣本中的代表也應(yīng)該多，即樣本從該層中抽取的個(gè)體數(shù)也應(yīng)該

多.這樣的樣本才有更好的代表性.

3.當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常

采用分層抽樣.將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫做層，

在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

4.分層抽樣的步驟

⑴分層：按某種特征將總體分成若干部分(層)；

⑵按抽樣比確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；

(3)各層分別按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本；

(4)綜合每層抽樣，組成樣本.

5.分層抽樣又稱類型抽樣，應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：

⑴分層時(shí)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵

循不重復(fù)、不遺漏的原則，即保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致性.

⑵分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本

數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等.

(3)當(dāng)總體個(gè)體差異明顯時(shí)，采用分層抽樣.

思路1

例1一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50

歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職

工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽取？

分析：由于職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，所以應(yīng)選取分層抽樣來抽取樣本.

解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是：

⑴分層：按年齡將150名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲

以上的職工.

10011

⑵確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù).抽樣比為而=.則在不到35歲的職工中抽125X-=25

5UU33

11

人；在35歲至49歲的職工中抽280X1=56人；在50歲以上的職工中抽95X1=19人.

(3)在各層分別按抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本.

(4)綜合每層抽樣，組成樣本.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分層抽樣及其實(shí)施步驟.如果總體中的個(gè)體有差異時(shí)，那么就用分

層抽樣抽取樣本.用分層抽樣抽取樣本時(shí)，要把性質(zhì)、結(jié)構(gòu)相同的個(gè)體組成一層.

變式訓(xùn)練

1.某市的3個(gè)區(qū)共有高中學(xué)生20000人，且3個(gè)區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為

2：3：5,現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，調(diào)查該市高中學(xué)生的視

力情況，試寫出抽樣過程.

分析：由于該市高中學(xué)生的視力有差異，按3個(gè)區(qū)分成三層，用分層抽樣來

抽取樣本.在3個(gè)區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2：3：5,所以抽取的學(xué)生人

235

數(shù)分別是ZOOXF￡MW;200X----=60;200X——=100.

/十5十5/十5十5/十5十5

解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是：

⑴分層：按區(qū)將20000名高中生分成三層.

⑵確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù).在這3個(gè)區(qū)抽取的學(xué)生數(shù)目分別是40、60、100.

(3)在各層分別按隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本.

(4)綜合每層抽樣，組成樣本.

2.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身

體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是()

A.簡單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣

C.分層抽樣D.先從老年人中剔除1人，再用分層抽

樣

解析：總?cè)藬?shù)為28+54+81=163.樣本容量為36,由于總體由差異明顯的三

部分組成，考慮用分層抽樣.若按36：163取樣，無法得到整解，故考慮先剔除

1人,抽取比例變?yōu)?6：162=2：9,則中年人取12人，青年人取18人，先從老

年人中剔除1人，老年人取6人，組成容量為36的樣本.

答案：D

例2某學(xué)校有2000人，其中高三學(xué)生500人，為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級(jí)

分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為..

20011

解析：抽樣比是右則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為500><G=5°.

乙UUUJ.\JL\J

答案：50

點(diǎn)評(píng)：如果A、B、C三層含有的個(gè)體數(shù)目分別是x、y、z,在A、B、C三層應(yīng)抽取的個(gè)

體數(shù)目分別是m、n、p,那么有x：y：z=m:n：p;如果總體有N個(gè)個(gè)體，所抽取的樣本容

nb

量為n,某層所含個(gè)體數(shù)目為a,在該層抽取的樣本數(shù)目為b,那么有仁=1

變式訓(xùn)練

甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三

校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為90人的樣本，應(yīng)在

這三校分別抽取學(xué)生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

；、9011

解析：抽樣比是3600+5400+1800777,則應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生：—

J.

11

X3600=30人，誨X5400=45人，誨XI800=15人.

答案：B

思路2

例某地農(nóng)田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要對(duì)這個(gè)地區(qū)的農(nóng)作物產(chǎn)量

進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)當(dāng)采用什么抽樣方法？

解：顯然不同類型的農(nóng)田之間的產(chǎn)量有較大差異，應(yīng)當(dāng)采用分層抽樣的方法，對(duì)不同類

型的農(nóng)田按其總數(shù)的比例來抽取樣本.

點(diǎn)評(píng)：在每個(gè)層中進(jìn)行抽樣時(shí)，大多數(shù)情況下是采用簡單隨機(jī)抽樣，有時(shí)也會(huì)用到其他

的抽樣方法，這要根據(jù)問題的需要來決定.

變式訓(xùn)練

1.某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康狀況，

從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是（）

A.簡單隨機(jī)抽樣法B.抽簽法

C.隨機(jī)數(shù)表法D.分層抽樣法

11

解析：樣本容量n=25+20=45,男生和女生的抽樣比都是碗，即按抽樣比百

的分層抽樣方法抽取樣本.

答案：D

2.某公司有1000名員工，其中：高層管理人員占5%,屬于高收入者；中

層管理人員占15%,屬于中等收入者；一般員工占80%,屬于低收入者.要對(duì)這

個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)采用什么方法抽樣？

解：我們可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三層：高收入者、中

等收入者、低收入者.可抽取5名高級(jí)管理人員、15名中層管理人員、80名一般

員工，再對(duì)收入狀況分別進(jìn)行調(diào)查.

1.從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示.

則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多人.

解析：在抽取的500人中，生活不能自理的老人中男性比女性約多23—21=2（人）.占抽

211

取的500的人比例為所以該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多15000X而

□UUZ3UZDU

=60（人）.

答案：60

2.某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家.為

了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若采用分層抽樣的方法，抽取

的中型商店數(shù)是.

2011

解析：抽樣比為k=77,則抽取的中型商店的數(shù)目是75X直=5.

□UU1□15

答案：5

3.某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有

50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，怎樣抽取樣本？

分析：由于研究血型與色弱的關(guān)系，按血型分層，用分層抽樣抽取樣本.利用抽樣比確

定抽取各種血型的人數(shù).

解：用分層抽樣抽取樣本.

2022222

???沛KPtt#t^-..-.200X-=8,125X-=5,50X-=2.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

抽樣步驟：

21

⑴確定抽樣比嬴=去；

□U

⑵按比例分配各層所要抽取的個(gè)體數(shù)，o型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，

AB型血抽2人；

(3)用簡單隨機(jī)抽樣分別在各種血型中抽取樣本，抽出容量為20的樣本.

某高級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法

抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單

隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1,2,…，270;使用系統(tǒng)

抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1,2,…，270,并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得的號(hào)碼

有下列四種情況：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;

@5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()

A.②③都不能為系統(tǒng)抽樣B.②④都不能為分層抽樣

C.①④都可能為系統(tǒng)抽樣D.①③都可能為分層抽樣

1010

解析：如果按分層抽樣時(shí)，在一年級(jí)抽取108X］元=4人，在二、三年級(jí)各抽取81X壽

=3人，則在號(hào)碼段1,2,…，108抽取4個(gè)號(hào)碼，在號(hào)碼段109,110,…，189抽取3個(gè)號(hào)碼，

在號(hào)碼段190,191,…，270抽取3個(gè)號(hào)碼，①②③符合，所以①②③可能是分層抽樣，④不

符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時(shí)，抽取出的號(hào)碼應(yīng)該是“等距”的，①③

符合，②④不符合，所以①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣.

答案：D

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)樣本的號(hào)碼判斷抽樣方法時(shí)，要緊扣三類抽樣方法的特征.利用簡單隨機(jī)抽

樣抽取出的樣本號(hào)碼沒有規(guī)律性；利用分層抽樣抽取出的樣本號(hào)碼有規(guī)律性，即在每一層抽

取的號(hào)碼個(gè)數(shù)m等于該層所含個(gè)體數(shù)目與抽樣比的積，并且應(yīng)該恰有m個(gè)號(hào)碼在該層的號(hào)碼

段內(nèi)；利用系統(tǒng)抽樣取出的樣本號(hào)碼也有規(guī)律性，其號(hào)碼按從小到大的順序排列，則所抽取

的號(hào)碼是：1,1+k,l+2k,…，l+(n—l)k.其中，n為樣本容量，1是第一組中的號(hào)碼，k為分

總體容量

段間隔=春行，

本節(jié)課學(xué)習(xí)了分層抽樣的定義及其實(shí)施步驟.

本節(jié)練習(xí)B.

本節(jié)課重視從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué).首先為教材內(nèi)容選擇

生活背景，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題來源于生活實(shí)際；其次，大膽調(diào)用學(xué)生熟知的生活經(jīng)驗(yàn)，使

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得易于理解掌握；第三，善于聯(lián)系生活實(shí)際有機(jī)改編教材習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐活

動(dòng)中理解掌握知識(shí)，變“學(xué)了做”為“做中學(xué)

三種抽樣方法的比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

從總體中逐個(gè)