中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型專項八與切線有關(guān)的證明與計算試題3類型1與全等三角形有關(guān)1．(2016·梧州)如圖，過⊙O上的兩點A，B分別作切線，交于BO，AO的延長線于點C，D，連接CD，交⊙O于點E，F(xiàn)，過圓心O作OM⊥CD，垂足為點M.求證：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.證明：(1)∵AC，BD分別是⊙O的切線，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，點O是圓心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝60°，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，過點C的切線CD交PQ于點D，連接OC.(1)求證：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)證明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切線，CO是半徑，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)設(shè)⊙O的半徑為1，則AB＝2，OC＝1，BC＝eq\r(3).∵等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝eq\r(3).∴AQ＝AC＋CQ＝1＋eq\r(3).∴AP＝eq\f(1,2)AQ＝eq\f(1＋\r(3),2).∴BP＝AB－AP＝eq\f(3－\r(3),2).∴PO＝AP－AO＝eq\f(\r(3)－1,2).∴BP∶PO＝eq\r(3).3．(2016·柳州)如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點P是線段CA的延長線上一點，點E在弧上且滿足PE2＝PA·PC，連接CE，AE，OE交CA于點D.(1)求證：△PAE∽△PEC；(2)求證：PE為⊙O的切線；(3)若∠B＝30°，AP＝eq\f(1,2)AC，求證：DO＝DP.證明：(1)∵PE2＝PA·PC，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(PA,PE).又∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE∽△PEC.(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.∵∠PCE＝eq\f(1,2)∠AOE，∴∠PEA＝eq\f(1,2)∠AOE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.∴∠PEA＋∠OEA＝90°.∴PE為⊙O的切線．(3)設(shè)⊙O的半徑為r，則AB＝2r.∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝eq\r(3)r.過點O作OF⊥AC于點F，∴OF＝eq\f(\r(3),2)r.∵AP＝eq\f(1,2)AC，∴AP＝eq\f(r,2).∵PE2＝PA·PC，∴PE＝eq\f(\r(3),2)r.在△ODF與△PDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODF＝∠PDE，,∠OFD＝∠PED，,OF＝PE，))∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.類型2與相似三角形有關(guān)4．(2016·泰州)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，在D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F，連接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的長．解：(1)AB是⊙O切線．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CEA＝90°.∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，∴∠ADF＋∠CDF＝90°.∴AB是⊙O切線．(2)連接CF.∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠PCF.∴∠PCF＝∠PAC.又∵∠CPF＝∠APC，∴△PCF∽△PAC.∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(PF,PC).∴PC2＝PF·PA.設(shè)PF＝a，則PC＝2a.∴4a2＝a(a＋5)．∴a＝eq\f(5,3).∴PC＝2a＝eq\f(10,3).5．(2015·北海)如圖，AB，CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED＝∠C.(1)求證：PE是⊙O的切線；(2)求證：ED平分∠BEP；(3)若⊙O的半徑為5，CF＝2EF，求PD的長．解：(1)證明：連接OE.∵CD是圓O的直徑，∴∠CED＝90°.∵OC＝OE，∴∠C＝∠OEC.又∵∠PED＝∠C，∴∠PED＝∠OEC.∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°.∴OE⊥EP.又∵點E在圓上，∴PE是⊙O的切線．(2)證明：∵AB，CD為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠CED＝90°.∴∠AEC＝∠DEB(同角的余角相等)．又∵∠PED＝∠C，AE∥CD，∴∠PED＝∠DEB，即ED平分∠BEP.(3)設(shè)EF＝x，則CF＝2x.∵⊙O的半徑為5，∴OF＝2x－5.在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4，∴EF＝4.∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8.∴DF＝CD－CF＝10－8＝2.∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°.∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝6.∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，∴△EFP∽△AEB.∴eq\f(PF,BE)＝eq\f(EF,AE)，即eq\f(PF,8)＝eq\f(4,6).∴PF＝eq\f(16,3).∴PD＝PF－DF＝eq\f(16,3)－2＝eq\f(10,3).6．(2014·桂林)如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC＝∠B，AD為⊙O的直徑，過點C作CG⊥AD于點E，交AB于點F，交⊙O于點G.(1)判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：AG2＝AF·AB；(3)若⊙O的直徑為10，AC＝2eq\r(5)，AB＝4eq\r(5)，求△AFG的面積．解：(1)PA與⊙O相切．理由：連接CD.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠D.∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.∵點A在圓上，∴PA與⊙O相切．(2)證明：連接BG.∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AG,\s\up8(︵)).∴∠AGF＝∠ABG.∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.(3)連接BD.∵AD是直徑，∴∠ABD＝90°.∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2eq\r(5)，AB＝4eq\r(5)，∴AF＝eq\f(AG2,AB)＝eq\r(5).∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD.∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AD)，即eq\f(AE,4\r(5))＝eq\f(\r(5),10)，解得AE＝2.∴EF＝eq\r(AF2－AE2)＝1.∵EG＝eq\r(AG2－AE2)＝4，∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.∴S△AFG＝eq\f(1,2)FG·AE＝eq\f(1,2)×3×2＝3.類型3與銳角三角函數(shù)有關(guān)7．(2014·梧州)如圖，已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓，OP∥AC，且與BC的垂線交于點P，OP交AB于點D，BC，PA的延長線交于點E.(1)求證：PA是⊙O的切線；(2)若sin∠E＝eq\f(3,5)，PA＝6，求AC的長．解：(1)證明：連接OA.∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.∴PA是⊙O的切線．(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切線．又∵PA是⊙O的切線，∴PA＝PB＝6.又∵sinE＝eq\f(PB,EP)＝eq\f(AO,EO)＝eq\f(3,5)，∴AO＝3.在Rt△OPB中，OP＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5).∵BC為⊙O直徑，∴∠CAB＝90°.∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.∴△ACB∽△BOP.∴eq\f(AC,BO)＝eq\f(CB,OP).∴AC＝eq\f(CB·BO,OP)＝eq\f(18,3\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).8．(2015·來賓)已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD，BD，BD交AC于點F.(1)求證：BD平分∠ABC；(2)延長AC到點P，使PF＝PB，求證：PB是⊙O的切線；(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝eq\f(3,5)，求AD.解：(1)證明：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠CBD＝∠OBD.∴BD平分∠ABC.(2)證明：∵⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.由(1)知∠OBD＝∠CBF，∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.∴PB是⊙O的切線．(3)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，∴cos∠ABC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,10)＝eq\f(3,5).∴BC＝6，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝8.∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(OE,BC)＝eq\f(AO,AB)，eq\f(AE,8)＝eq\f(OE,6)＝eq\f(5,10).∴AE＝4，OE＝3.∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.∴AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).9．(2016·柳州模擬)如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于點D，BD＝2PA.(1)證明：直線PB是⊙O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)求sin∠OPA的值．解：(1)證明：連接OB.∵BC∥OP，OB＝OC，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠PAO＝90°.∴PB是⊙O的切線．(2)2PO＝3BC.(寫PO＝eq\f(3,2)BC亦可)證明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.∵BD＝2PA，∴BD＝2PB.∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO.∴eq\f(BC,PO)＝eq\f(BD,PD)＝eq\f(2,3).∴2PO＝3BC.(3)∵CB∥OP，∴△DBC∽△DPO.∴eq\f(DC,DO)＝eq\f(BD,PD)＝eq\f(2,3)，即DC＝eq\f(2,3)OD.∴OC＝eq\f(1,3)OD.∴DC＝2OC.設(shè)OA＝x，PA＝y(tǒng).則OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.在Rt△OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y(tǒng)2.∵x＞0，y＞0，∴y＝eq\r(2)x，OP＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(3)x.∴sin∠OPA＝eq\f(OA,OP)＝eq\f(x,\r(3)x)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).類型4與特殊四邊形有關(guān)10．(2016·玉林)如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點D作⊙O的切線，分別交OA延長線與OC延長線于點E，F(xiàn)，連接BF.(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)已知圓的半徑為1，求EF的長．解：(1)證明：連接OD.∵EF為⊙O的切線，∴∠ODF＝90°.∵四邊形AOCD為平行四邊形，∴AO＝DC，AO∥DC.又∵DO＝OC＝OA，∴DO＝OC＝DC.∴△DOC為等邊三角形．∴∠DOC＝∠ODC＝60°.∵DC∥AO，∴∠AOD＝∠ODC＝60°.∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.在△DOF和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DO＝BO，,∠DOF＝∠BOF，,OF＝OF，))∴△DOF≌△BOF.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.∴BF是⊙O的切線．(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°.∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝eq\r(OF2－OD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴EF＝2DF＝2eq\r(3).11．(2016·寧波)如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長．解：(1)證明：連接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切線．(2)過點O作OF⊥AC于點F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝eq\r(OA2－AF2)＝eq\r(52－32)＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四邊形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的兩條切線，C，D為切點．(1)如圖1，求⊙O的半徑；(2)如圖1，若點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；(3)如圖2，若點M是BC邊上任意一點(不含B，C)，以點M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直線CP于點N，求證：AM＝MN.解：(1)連接OD，OC.∵PC，PD是⊙O的兩條切線，C，D為切點，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，∴∠DOC＝90°，OD＝OC.∴四邊形DOCP是正方形．∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°，∴DO＝CO＝DC·sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).(2)連接EO，OP.∵點E是BC的中點，∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，則∠EOP＝90°.∴EO＝EC＝2，OP＝eq\r(2)CO＝4.∴PE＝eq\r(OE2＋OP2)＝2eq\r(5).(3)證明：在AB上截取BF＝BM.∵AB＝BC，BF＝BM，∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°.∵∠AMN＝90°，∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM＋∠AMF＝45°.∴∠FAM＝∠NMC.∵由(1)得PD＝PC，∠DPC＝90°，∴∠DCP＝45°.∴∠MCN＝135°.∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°，在△AFM和△MCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAM＝∠CMN，,AF＝MC，,∠AFM＝∠MCN，))∴△AFM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.2019-2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型專項六方程組不等式與函數(shù)的實際應(yīng)用題試題5類型1方程(組)與不等式的實際應(yīng)用1．(2014·河池)喬丹體育用品商店開展“超級星期六”促銷活動：運動服8折出售，運動鞋每雙減20元．活動期間，標(biāo)價為480元的某款運動服裝(含一套運動服和一雙運動鞋)價格為400元．問該款運動服和運動鞋的標(biāo)價各是多少元？解：方法一：設(shè)該款運動服的標(biāo)價是x元，運動鞋的標(biāo)價是(480－x)元．根據(jù)題意，得0．8x＋480－x－20＝400.解得x＝300.則480－x＝180.答：該款運動服和運動鞋的標(biāo)價各是300元和180元．方法二：設(shè)該款運動服和運動鞋的標(biāo)價各是x，y元，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝480，,0.8x＋y－20＝400.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝300，,y＝180.))答：該款運動服和運動鞋的標(biāo)價各是300元和180元．2．(2016·貴港)為了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，某市2014年投入科研經(jīng)費500萬元，2016年投入科研經(jīng)費720萬元．(1)求2014年至2016年該市投入科研經(jīng)費的年平均增長率；(2)根據(jù)目前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的實際情況，該市計劃2017年投入的科研經(jīng)費比2016年有所增加，但年增長率不超過15%，假定該市計劃2017年投入的科研經(jīng)費為a萬元．請求出a的取值范圍．解：(1)設(shè)2014年至2016年該市投入科研經(jīng)費的年平均增長率為x.由題意，得500(1＋x)2＝720.解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不符合題意，舍去)．答：2014年至2016年該市投入科研經(jīng)費的年平均增長率為20%.(2)由題意，得720＜a≤720×(1＋15%)，即a的取值范圍為720＜a≤828.3．(2015·桂林改編)“全民閱讀”深入人心，好讀書，讀好書，讓人終身受益．為滿足同學(xué)們的讀書需求，學(xué)校圖書館準(zhǔn)備到新華書店采購文學(xué)名著和動漫書兩類圖書．經(jīng)了解，20本文學(xué)名著和40本動漫書共需1520元，20本文學(xué)名著比20本動漫書多440元(注：所采購的文學(xué)名著價格都一樣，所采購的動漫書價格都一樣)．(1)求每本文學(xué)名著和動漫書各多少元；(2)若學(xué)校要求購買動漫書比文學(xué)名著多20本，且文學(xué)名著不低于26本，總費用不超過2000元，請求出所有符合條件的購書方案．解：(1)設(shè)每本文學(xué)名著x元，每本動漫書y元．依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋40y＝1520，,20x－20y＝440.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝40，,y＝18.))答：每本文學(xué)名著和動漫書各是40元和18元．(2)設(shè)買文學(xué)名著m本，依題意，得m≥26，且40m＋18(m＋20)≤2000，所以26≤m≤eq\f(820,29).∵m為正整數(shù)，∴m的值是26，27，28.方案1：購買文學(xué)名著26本，動漫書46本；方案2：購買文學(xué)名著27本，動漫書47本；方案3：購買文學(xué)名著28本，動漫書48本．類型2函數(shù)的實際應(yīng)用4．(2016·柳州)下表是世界人口增長趨勢數(shù)據(jù)表：年份x19601974198719992010人口數(shù)量y(億人)3040506069(1)請你認(rèn)真研究上面數(shù)據(jù)表，求出從1960到2010年世界人口平均每年增長多少億人；(2)利用你在(1)中所得到的結(jié)論，以1960年30億人口為基礎(chǔ)，設(shè)計一個最能反映人口數(shù)量y關(guān)于年份x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的解析式；(3)利用你在(2)中所得的函數(shù)解析式，預(yù)測2020年世界人口將達(dá)到多少億人．解：(1)(69－30)÷(2010－1960)＝0.78(億人)．答：從1960年到2010年世界人口平均每年增長0.78億人．(2)y＝0.78(x－1960)＋30，即y＝0.78x－1498.8.(3)當(dāng)x＝2020時，y＝0.78×2020－1498.8＝76.8.答：預(yù)測2020年世界人口將達(dá)到76.8億人．5．(2016·宿遷)某景點試開放期間，團(tuán)隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m(30<m≤100)人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m人時，人均收費都按照m人時的標(biāo)準(zhǔn)．設(shè)景點接待有x名游客的某團(tuán)隊，收取總費用為y元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)接待某團(tuán)隊人數(shù)超過一定數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團(tuán)隊人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍．解：(1)當(dāng)人數(shù)不超過30人時，y＝120x；當(dāng)人數(shù)超過30人且不超過m(30<m≤100)人時，y＝[120－(x－30)]x＝－x2＋150x；當(dāng)人數(shù)超過m人時，y＝[120－(m－30)]x＝(150－m)x.∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120x（0＜x≤30），,－x2＋150x（30＜x≤m），,（150－m）x（x＞m）.))(2)∵當(dāng)0<x≤30和x>m時，y隨x的增大而增大，當(dāng)30<x≤m時，y＝－x2＋150x＝－(x－75)2＋5625，觀察函數(shù)圖象，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x≤75時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>75時，y隨x的增大而減?。虼艘沟每傎M用隨著團(tuán)隊人數(shù)的增加而增加，此段函數(shù)的取值范圍應(yīng)該在對稱軸的左側(cè)，∴m≤75.又∵30<m≤100，∴m的取值范圍是30<m≤75.類型3方程(組)或不等式與函數(shù)的實際應(yīng)用6．(2016·南寧)在南寧市地鐵1號線某段工程建設(shè)中，甲隊單獨完成這項工程需要150天，甲隊單獨施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的eq\f(1,3).(1)求乙隊單獨完成這項工程需要多少天；(2)為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是eq\f(1,a)，甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2)，若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍？解：(1)設(shè)乙隊單獨完成這項工程需要x天，根據(jù)題意，得eq\f(1,150)×(30＋15)＋eq\f(1,x)×15＝eq\f(1,3)，解得x＝450，經(jīng)檢驗，x＝450是方程的根．答：乙隊單獨完成這項工程需要450天．(2)根據(jù)題意，得(eq\f(1,a)＋eq\f(m,a))×40＝eq\f(2,3)，∴a＝60m＋60.∵60>0，∴a隨m的增大而增大．∴當(dāng)m＝1時，eq\f(1,a)最大．∴eq\f(1,a)＝eq\f(1,120).∴eq\f(1,120)÷eq\f(1,450)＝3.75.答：乙隊的最大工作效率是原來的3.75倍．7．(2016·泰安)某學(xué)校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目學(xué)校，為進(jìn)一步推動該項目的開展，學(xué)校準(zhǔn)備到體育用品店購買直拍球拍和橫拍球拍若干副，并且每買一副球拍必須要買10個乒乓球，乒乓球的單價為2元/個，若購買20副直拍球拍和15副橫拍球拍花費9000元；購買10副橫拍球拍比購買5副直拍球拍多花費1600元．(1)求兩種球拍每副各多少元；(2)若學(xué)校購買兩種球拍共40副，且直拍球拍的數(shù)量不多于橫拍球拍數(shù)量的3倍，請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需費用．解：(1)設(shè)直拍球拍每副x元，橫拍球拍每副y元，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（x＋10×2）＋15（y＋10×2）＝9000，,5（x＋10×2）＋1600＝10（y＋10×2）.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝220，,y＝260.))答：直拍球拍每副220元，橫拍球拍每副260元．(2)設(shè)購買直拍球拍m副，則購買橫拍球拍(40－m)副，由題意，得m≤3(40－m)．解得m≤30.設(shè)買40副球拍所需的費用為w元，則w＝(220＋2×10)m＋(260＋2×10)(40－m)＝－40m＋11200.∵－40＜0，∴w隨m的增大而減?。喈?dāng)m＝30時，w取最小值，w最?。剑?0×30＋11200＝10000(元)．答：購買直拍球拍30副，購買橫拍球拍10副時，費用最少，最少為10000元．8．(2016·孝感)孝感市在創(chuàng)建國家級園林城市中，綠化檔次不斷提升．某校計劃購進(jìn)A，B兩種樹木共100棵進(jìn)行校園綠化升級．經(jīng)市場調(diào)查：購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元；購買A種樹木3棵，B種樹