人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)競(jìng)賽試卷一、選擇題1．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b2．設(shè)有理數(shù)a、b、c都不為零，且a+b+c＝0，則的值是（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．不能確定3．如果0＜p＜15，那么代數(shù)式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（）A．30 B．0 C．15 D．一個(gè)與p有關(guān)的代數(shù)式4．由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足a+c＝b+d．這樣的四位數(shù)共有（）A．36個(gè) B．40個(gè) C．44個(gè) D．48個(gè)5．在2014，2015，2016，2017四個(gè)數(shù)中，不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差的數(shù)是（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20176．10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、Y是小正方形的頂點(diǎn)，Q是邊XY一點(diǎn)．若線段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分，則的值為（）A． B． C． D．二．填空題7．關(guān)于x的不等式組恰好只有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是8．已知，，，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為．9．已知x、y為正整數(shù)，且滿足2x2+3y2＝4x2y2+1，則x2+y2＝．10．使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是．11．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，若把第一個(gè)三角形數(shù)記為x1，第二個(gè)三角形數(shù)記為x2…，第n個(gè)三角形數(shù)記為xn，則x10＝；xn+xn+1＝．12．已知S＝，則S的整數(shù)部分是．三．解答題13．（20分）（1）證明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一個(gè)完全平方數(shù)；（2）證明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n為正整數(shù)）．14．（14分）已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．15．（14分）對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為[x]，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n﹣≤x＜n+，則[x]＝n．如：[2.9]＝3，[2.4]＝2，[x]＝n，求滿足[x]＝x﹣2的所有實(shí)數(shù)x的值．16．（14分）有n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)1，2，3，…，n，若去掉其中的一個(gè)數(shù)x后，剩下的數(shù)的平均數(shù)是16，則滿足條件的n和x的值分別是．（參考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝）17．（14分）設(shè)a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．求（1）abc的值；（2）a4+b4+c4的值．18．（14分）如圖1，已知a∥b，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．（1）求證：∠ABC+∠ADC＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，DG平分∠ADC交BC于點(diǎn)G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；（3）如圖3，P為線段AB上一點(diǎn)，I為線段BC上一點(diǎn)，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點(diǎn)，且∠NCD＝∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系是．

參考答案與試題解析一、選擇題（每題5分，共30分）1．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【分析】利用平方法把三個(gè)數(shù)值平方后再比較大小即可．【解答】解：∵a2＝2000+2，b2＝2000+2，c2＝4000＝2000+2×1000，1003×997＝1000000﹣9＝999991，1001×999＝1000000﹣1＝999999，10002＝1000000．∴c＞b＞a．故選：A．2．設(shè)有理數(shù)a、b、c都不為零，且a+b+c＝0，則的值是（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．不能確定【分析】由a+b+c＝0，則b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，然后代入化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：由a+b+c＝0，則b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，代入，＝++，＝，＝0．故選：C．3．如果0＜p＜15，那么代數(shù)式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（）A．30 B．0 C．15 D．一個(gè)與p有關(guān)的代數(shù)式【分析】根據(jù)x、p的取值范圍，根據(jù)所給代數(shù)式，簡(jiǎn)化原式，再把x的最大值15代入計(jì)算即可．【解答】解：∵p≤x≤15，∴x﹣p≥0，x﹣15≤0，x﹣p﹣15≤0，∴|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|＝x﹣p+（15﹣x）+（﹣x+p+15）＝x﹣p+15﹣x﹣x+p+15＝﹣x+30，又∵p≤x≤15，∴x最大可取15，即x＝15，∴﹣x+30＝﹣15+30＝15．故選：C．4．由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足a+c＝b+d．這樣的四位數(shù)共有（）A．36個(gè) B．40個(gè) C．44個(gè) D．48個(gè)【分析】由題意可知這樣的四位數(shù)可分別從使用的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)分類考慮：（1）只用1個(gè)數(shù)字，（2）使用2個(gè)不同的數(shù)字，（3）使用3個(gè)不同的數(shù)字，（4）使用4個(gè)不同的數(shù)字，然后分別分析求解即可求得答案．【解答】解：根據(jù)使用的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)分類考慮：（1）只用1個(gè)數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是1111，2222，3333，4444，共有4個(gè)．（2）使用2個(gè)不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有6種可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）．如果使用的數(shù)字是1、2，組成的四位數(shù)可以是1122，1221，2112，2211，共有4個(gè)；同樣地，如果使用的數(shù)字是另外5種情況，組成的四位數(shù)也各有4個(gè)．因此，這樣的四位數(shù)共有6×4＝24個(gè)．（3）使用3個(gè)不同的數(shù)字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8個(gè)．（4）使用4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，4，組成的四位數(shù)可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8個(gè)．因此，滿足要求的四位數(shù)共有4+24+8+8＝44個(gè)．故選：C．5．在2014，2015，2016，2017四個(gè)數(shù)中，不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差的數(shù)是（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根據(jù)平方差公式將各數(shù)變形后判斷即可．【解答】解：如果一個(gè)數(shù)可以表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方差，記為x＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），則x可以分解為a+b，a﹣b的積，且注意到這兩個(gè)因子差2b，即同奇同偶，所以大于1的奇數(shù)可以分解為兩個(gè)奇數(shù)之積（1和他自身），必可以寫(xiě)成兩數(shù)平方之差（可以反求出來(lái)）；而一個(gè)偶數(shù)必須要寫(xiě)成兩個(gè)偶數(shù)之積，則必能被4整除才行，所以四個(gè)數(shù)中，只有2014不能寫(xiě)成兩整數(shù)之平方差，故選：A．6．10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、Y是小正方形的頂點(diǎn)，Q是邊XY一點(diǎn)．若線段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分，則的值為（）A． B． C． D．【分析】首先設(shè)QY＝x，根據(jù)題意得到PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形＝×5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得QY的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)QY＝x，根據(jù)題意得到PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形＝×5×（1+x）+1＝5，解得x＝，∴XQ＝1﹣＝，∴＝＝，故選：B．二．填空題（每題5分，共計(jì)30分）7．關(guān)于x的不等式組恰好只有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是【分析】首先確定不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況得到關(guān)于a的不等式組，從而求出a的范圍．【解答】解：解不等式組得，，∴不等式組的解集是﹣a＜x≤a，∵關(guān)于x的不等式組恰好只有三個(gè)整數(shù)解，∴必定有整數(shù)解0，∵|﹣a|＞|a|，∴三個(gè)整數(shù)解不可能是0，1，2．若三個(gè)整數(shù)解為﹣1，0，1，則，解得≤a≤；若三個(gè)整數(shù)解為﹣2，﹣1，0，則，此不等式組無(wú)解，所以a的取值范圍是≤a≤．故答案為≤a≤．8．已知，，，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為3．【分析】把已知的式子化成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]的形式，然后代入求解．【解答】解：∵，，，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，則原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝×[1+4+1]＝3，故答案為：3．9．已知x、y為正整數(shù)，且滿足2x2+3y2＝4x2y2+1，則x2+y2＝2．【分析】根據(jù)完全平方公式和非負(fù)性解答即可．【解答】解：由題意得：（2x2﹣1）（y2﹣1）+2y2（x2﹣1）＝0，因?yàn)閤≥1，y≥1，所以y2﹣1＝0，x2﹣1＝0，∴y＝1，x＝1，∴x2+y2＝2，故答案為：2．10．使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是22．【分析】將原式分解為x﹣1+，得到使得原式的值為整數(shù)的自然數(shù)分別為0、1、2、3、5、11，求的其和即可．【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，∴使得代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x分別為0、1、2、3、5、11，∴全體自然數(shù)x的和是0+1+2+3+5+11＝22．故答案為22．11．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，若把第一個(gè)三角形數(shù)記為x1，第二個(gè)三角形數(shù)記為x2…，第n個(gè)三角形數(shù)記為xn，則x10＝55；xn+xn+1＝（n+1）2．【分析】根據(jù)三角形數(shù)得到x1＝1，x2＝3＝1+2，x3＝6＝1+2+3，x4＝10＝1+2+3+4，x5＝15＝1+2+3+4+5，即三角形數(shù)為從1到它的順號(hào)數(shù)之間所有整數(shù)的和，據(jù)此求解可得．【解答】解：∵x1＝1，x2═3＝1+2，x3＝6＝1+2+3，x4═10＝1+2+3+4，x5═15＝1+2+3+4+5，…∴x10＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，xn＝1+2+3+…+n＝，xn+1＝，則xn+xn+1＝+＝（n+1）2，故答案為：55、（n+1）2．12．已知S＝，則S的整數(shù)部分是60．【分析】由已知可得，＜S＜，則可確定60＜S＜60，即可求解．【解答】解：S＝＞＝60，S＝＜＝60，∴60＜S＜60，∴S的整數(shù)部分是60，故答案為：60．三．解答題（第13題20分，其余每題14分，共計(jì)90分）13．（20分）（1）證明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一個(gè)完全平方數(shù)；（2）證明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n為正整數(shù)）．【分析】（1）設(shè)a＝2002，將原式轉(zhuǎn)化為[a（a﹣7）]2的形式，此題得證；（2）先將原式分解成[（92n+1）2+（72n+1）2]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1），在判斷出（92n+1）2+（72n+1）2，92n+1+72n+1，92n+1﹣72n+1都是偶數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：設(shè)a＝2002，原式＝（a﹣3）（a﹣2）（a﹣1）（a+1）（a+2）（a+3）+36＝（a2﹣1）（a2﹣4）（a2﹣9）+36＝a6﹣（1+4+9）a4+（4+9+36）a2﹣36+36＝a6﹣14a4+49a2＝a2（a4﹣14a2+49）＝a2?（a﹣7）2＝[a（a﹣7）]2．故1999×2000×2001×2003×2004×2005+36＝[2002（2002﹣7）]2＝（2002×1995）2，即1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一個(gè)完全平方數(shù)；（2）證明：98n+4﹣78n+4＝（92n+1）4﹣（72n+1）4＝[（92n+1）2+（72n+1）2][（92n+1）2﹣（72n+1）2]＝[（92n+1）2+（72n+1）2]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1），∵n為正整數(shù)，∴（92n+1）2+（72n+1）2，92n+1+72n+1，92n+1﹣72n+1都是偶數(shù)，∴[（92n+1）2+（72n+1）2]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1）能被8整除，即98n+4﹣78n+4能被8整除．14．（14分）已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．【分析】先將（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，按照完全平方公式和多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則展開(kāi)化簡(jiǎn)，再利用三項(xiàng)的完全平方公式變形，從而利用偶次方的非負(fù)性得出a+c與b的數(shù)量關(guān)系，則的值可得．【解答】解：∵（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，∴a2﹣2ac+c2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0，∴a2+c2+4b2+2ac﹣4ab﹣4bc＝0，∴（a+c﹣2b）2＝0，∴a+c＝2b，∵abc≠0，∴＝2．∴的值為2．15．（14分）對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為[x]，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n﹣≤x＜n+，則[x]＝n．如：[2.9]＝3，[2.4]＝2，[x]＝n，求滿足[x]＝x﹣2的所有實(shí)數(shù)x的值．【分析】設(shè)，用m的代數(shù)式表示x，再根據(jù)“若，則[x]＝n“，可以列出關(guān)于m的不等式，求出m的范圍，再代回求出x．【解答】解：設(shè)是非負(fù)整數(shù)，，∴，∴，解得，4＜m?8，∵m是非負(fù)整數(shù)，∴m＝5，6，7，8，當(dāng)m＝5時(shí)，得，當(dāng)m＝6時(shí)，得x＝6，當(dāng)m＝7時(shí)，得，當(dāng)m＝8時(shí)，得，即滿足的所有實(shí)數(shù)x的值是，．16．（14分）有n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)1，2，3，…，n，若去掉其中的一個(gè)數(shù)x后，剩下的數(shù)的平均數(shù)是16，則滿足條件的n和x的值分別是n＝30，x＝1；n＝31，x＝16；n＝32，x＝32．（參考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝）【分析】根據(jù)已知得n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的和為．再根據(jù)兩種特殊情況，即x＝n；x＝1；求得剩下的數(shù)的平均數(shù)的公式，從而得出1＜x＜n時(shí)，剩下的數(shù)的平均數(shù)的范圍，則n有3種情況，分別計(jì)算即可．【解答】解：由已知，n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的和為．若x＝n，剩下的數(shù)的平均數(shù)是；若x＝1，剩下的數(shù)的平均數(shù)是，故，解得30≤n≤32當(dāng)n＝30時(shí)，29×16＝﹣x，解得x＝1；當(dāng)n＝31時(shí)，30×16＝﹣x，解得x＝16；當(dāng)n＝32時(shí)，31×16＝﹣x，解得x＝32．故答案為：n＝30，x＝1；n＝31，x＝16；n＝32，x＝32．17．（14分）設(shè)a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．求（1）abc的值；（2）a4+b4+c4的值．【分析】（1）由已知得出（a+b+c）2＝36，再由（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣3abc，將已知條件代入即可解出abc＝6；（2）由（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2），將已知條件及（1）中推得的式子代入，即可求出a2b2+b2c2+a2c2的值，由（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2），即可解出答案．【解答】解：（1）∵a+b+c＝6∴（a+b+c）2＝36∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝36∵a2+b2+c2＝14∴ab+bc+ac＝11∵a3+b3+c3＝36∴（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣3abc＝6×（14﹣11）＝18∴36﹣3abc＝18∴abc＝6．（2）∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2）∴121＝a2b2+b2c2+a2c2+12（a+b+c）∴a2b2+b2c2+a2c2＝121﹣12×6＝49∴（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴a4+b4+c4＝142﹣2×49＝98∴a4+b4+c4的值為98．18．（14分）如圖1，已知a∥b，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．（1）求證：∠ABC+∠ADC＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，DG平分∠ADC交BC于點(diǎn)G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；（3）如圖3，P為線段AB上一點(diǎn)，I為線段BC上一點(diǎn)，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點(diǎn)，且∠NCD＝∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系是