第六章自相關性

本章教學要求:本章是違背古典假定情況下線性回歸描寫的參數(shù)估計的又一

問題。通過本章的學習應達到：掌握自相關的基本概念，產生自相關的背景；自

相關出現(xiàn)對模型影響的后果；診斷自相關存在的方法和修正自相關的方法。能夠

運用本章的知識獨立解決模型中的自相關問題。經過第四、五、六章的學習，要

求自行選擇一個實際經濟問題，建立模型，并判斷和解決上述可能存在的問題。

第一節(jié)自相關性的概念

一、一個例子

研究中國城鎮(zhèn)居民消費函數(shù)其中選取了兩個變量城鎮(zhèn)家庭商品性支出（現(xiàn)

價）和城鎮(zhèn)家庭可支配收入（現(xiàn)價），分別記為CSJTZC和CSJTSR,時間從1978

年至!J1997年，n=20c但為了剔除物價的影響,分別對CSJTZC和CSJTSR除

以物你用CPI表示）這里CPI為城鎮(zhèn)居民消費物價指數(shù):以1990年為100%）,

經過扣除價格因素以后，記

_CSJTZC_CSJTSR

1—ZL-

CPICPI

即如下表

obsXY■

197815056201479910

197917464701624620

198019-7.1901804.140

19811997.1501925800

198222314602020960

19832427.3002128780

19842935.4002386.220

19853108.9202758480

198637093403038030

19873981.1803313.100

19884023.9503721.470

198941519003649690

199046974603984100

19914978.8904449.610

19925761.7605158750

199365009805897370

19947250.8906481.590

19957794.3907325.360_____________

19%82725307744040

19978654.3607894810

回歸以后得到的殘差為

DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:10/27/04Time:09:39

Sample:19781997

Includedobservations:20

VariableCoefficienStdErrort-StatisticProb

t

C-103.369278.80739-1.3116690.2061

X0.9235510.01603357.603880.0000

R-squared0.994605Meandependent3939.341

var

AdjustedR-squared0.994305S.D.dependentvar2124.467

S.E.ofregression160.3247Akaikeinfocriterion13.08692

Sumsquaredresid462671.9Schwarzcriterion13.18649

Loglikelihood-128.8692F-statistic3318.207

Durbin-Watsonstat1.208037Prob(F-statistic)0.000000

二.什么是自相關性

在引出自相關性的概念之前，根據建立中國城鎮(zhèn)居民儲蓄函數(shù)，經用最小二

乘法估計出參數(shù)后，得到殘差序列，由此畫出殘差圖（殘差序列自身的關系），

從圖形上看存在,對1的線性關系，殘差的這種現(xiàn)象說明了什么？

10000-I---------------------------------------------------------

0

O

5000-

0

O°

O

山0-°

OO

O

0

-5000-。

0

O

-10000-I________!_______!_________,________

-10000-50000500010000

E(-1)

下面給出序列自相關的定義。

1、如果模型中的隨機誤差項〃一滿足以下關系式

Cov（ut,us）/0,/ws

則隨機誤差項七之間存在自相關性。

2、一階線性自相關。在，0人,,%）。0,上。$中，如果$=/-1,則

Ca（%,〃z）工0,

并且〃，與〃1之間為線性關系,即勺+￡,,其中％滿足古典假定，即

￡（4）=0,E（2；）=,E（u）=。"ws,Id<1。將/與W/_1的這種線性關系稱為一

階線性自相關（或一階線性自回歸），簡稱一階自相關（或一階自回歸I

3、一階線性自回歸的數(shù)學性質。

設一元線性模型為

并且，6=8一+￡,,其中%滿足￡（與）=0,￡（￡；）=4，￡：（￡總）=0"工5,|4<1。

設總體一階序列自相關系數(shù)為

cov（%%）

Jvar（%）var-

按照樣本相關系數(shù)計算公式，樣本序列自相關系數(shù)為

A二3明

p=

另一方面,對一階線性自回歸％=8一+￡,,求參數(shù)P的最小二乘估計，即

/'=——

工瑜

r=2

在大樣本下，有因此，通?？捎帽硎?。

〃，的數(shù)學特性：

(1)七(%)=0

事實上，

E

%=PU,_.+弓,〃=pU,_2+與=Pkg)+與一.

將遞推關系逐一代入，并注意當-0時-0,則

2

%=叫7+e,=p(puf_2+^.j)4-st=pUt_2+p￡t_{+苞=P?(pu.3++P%<+苞=…

00

=。+P3_\+夕2與-2+2％.3+?°?=ZJ-

r=0

E(u,)=石(￡夕2~)=￡石(/七?)=￡"'E(GT)=0,(E(G)=0)

r=0r=0r=0

2

(2)var(ul)=-^-r=cr

l-p-

2

Var(u,)=磯勺一￡(%)『二E(u；)=E(pu,_y+^,)=+2pq_?+￡；)

=儲一(七)+E(￡；)=p2Var(u,)+<y}(E(d)=0)

2

Var(ut)=-^=a

1-夕一

WS

在.滿足Eg)=0,E(￡；)=戊,E(￡￡)=(M,%服從正態(tài)分布,且|p|<l0

有

2

Var(ut)=Var(￡t+pst,x+pf,_2+pV,-3+)

=V")+pVar{￡t_.)+p'Var3c)+ph〃?(%)+

2

=cr；(l+p+p2+p3+??????)二0

1-P

(3)cov(%，心二夕成

按照協(xié)方差的定義，可類似推出上述結果。

三.自相關產生的原因

1、經濟變量大多存在慣性的作用。如經濟變量隨時間運動往往存在趨勢的

作用，使得變量在變化中具有慣性特征。

2、許多經濟變量具有滯后性的表現(xiàn)。

3、一些隨機偶然因素的干擾或影響。

4、設定偏倚。與異方差性情況類似。

5、蛛網現(xiàn)象模型。這是農產品與農產品價格所固有的一種關系，即當期農

產品的產出量與前期的農產品價格有關，用公式表示為

6、時間序列更易產生自相關性。

第一R相關性的后果

從統(tǒng)計意義上講,并參考異方差性的情況，自相關性對模型的影響主要有

以下幾方面。

一、在自相關存在的前提下，參數(shù)估計的統(tǒng)計特性

1、參數(shù)估計仍是無偏的。

設線性回歸模型為

匕=■+X,+%

其樣本回歸函數(shù)中參數(shù)的最小二乘估計分別為，有

E0）=氏

￡（反）=凡

其證明可參見在第五章中異方差存在的條件下，參數(shù)估計仍是無偏的。

2、參數(shù)估計不再具有方差最小性。

在自相關下，由第五章異方差對參數(shù)估計影響的說明，有

VM/；)=E[A-E(A)Vxu.

2

/、一'Zxiui+Xxixju,llj)ZX；E(W)+2gx/jE(〃/)

=EEi=j_>=J

~(w(E^2)2

22^A,.X7.E(W,.M/.)

二bIifj_____________

X(E百

在無自相關下，有

“A)=

比較上述兩式，可以很明顯看到，如果隨機誤差序列存在正的自相關，則

Var(^)>Var(fi2)o

三、于嚴重低估了。2。

四、參數(shù)的顯著性檢驗失效。

五、預測精度降低。需要注意的問題，比較多重共線性與異方差、自相關

在預測應用中有不同的情況。如果模型中存在多重共線性，但變量符合經濟意義,

并且線性結構保持不變，則這個時候可以利用模型進行預測；如果模型中存在的

是異方差和自相關問題，則不能利用模型進行預測(為什么？X

第三節(jié)自相關的檢驗

一、圖示法。

1、利用4對口的散點圖進行判斷。

(1)當散點大部分落在一、三象限時，則表明隨機誤差存在正自相關。

(2)當散點大部分落在二、四象限時，則表明隨機誤差存在負自相關。

2、利用儲對時間t的折線圖進行判斷。

(1)當4隨t逐次而變動時，e,開始為正，隨后幾個也為正；4出現(xiàn)負值,

隨后幾個也出現(xiàn)負值，則隨機誤差存在正自相關。

(2)當6隨t逐次而變動時，《不斷地改變符號,則隨機誤差存在負自相

關。

二.D?W檢驗法

該方法為DurbinJ和WatsonGS(1951)基于殘差序列斗與明之間的相

關系數(shù)p提出檢驗p的D-W統(tǒng)計量。

1、D-W檢驗的適用條件。

(1)解釋變量非隨機。

(2)〃「〃，="心「￡,，且j滿足基本假定。

(3)線性回歸模型不存在如下形式

如果出現(xiàn)這種情況，應用Durbin-H檢驗，將在第七章介紹。

2、D-W統(tǒng)計量的構成。

(1)提出假設：”。：夕=0;儀：0工0

(2)構造D-W檢驗統(tǒng)計量，記為d,即“，2(1-Q),其中。=卒」。推導

過程見教科書。

3、運用D-W檢驗判斷一階自相關的區(qū)域。

(1)當Q=0時，d=2,則〃，無一階自相關。

(2)當。=1時，d=0,則與有完全一階正自相關。

(3)當Q=-1時，d=4,則〃，有完全一階負自相關。

(4)通常情況下，當回<1時，有0<八4。當d落在。到4范圍內時，有

如下判斷區(qū)域：

當0<d<5時，存在一階正自相關；

當5<d<du時，不能判定存在自相關；

當du<d<4-du時，不存在一階自相關；

當4-du<d<4-5時，不能判定存在自相關；

當4-5<d<4時，存在一階負自相關。

4、運用D-W檢驗應注意的問題。

(1)由教科書上的圖形可知，在d=2的附近，有一個較大的無自相關區(qū)域,

所以通常當d在2的左右時，可以不用查表就判斷出隨機誤差不存在自相關。

(2)D-W檢驗存在不能判定區(qū)域，這時可以用擴大樣本容量或改用其它檢

驗方法(如D-W檢驗的修正方法，參見教材第167頁工

(3)要求樣本容量至少為15,否則很難對自相關的存在作出準確判斷。

(4)D-W檢驗不能適用對高階自相關現(xiàn)象進行檢驗。

5、補充檢驗方法一Breusch-Godfrey(挪BG檢驗\

設模型為

工=伙+反X盧氏

%=+PM-2+…+Ppkp+匕

〃。：8二???=「，=0

要求匕滿足基本假定。檢驗過程如下：

(1)估計參數(shù)建立樣本回歸模型，得殘差q。

（2）求,對解釋變量X,和殘差序列滯后值3,e.2,得輔助回歸，即

6=斯+片X+0Ml+021k2+…+0M-P+匕

（3）計算可決系數(shù)改，并求統(tǒng)計量〃解，使得〃R2?/（p）,其中〃為殘

差序列的滯后階數(shù)。

（4）給定顯著性水平，查卡方分布表，得臨界值/（P）。如果nR2大于臨

界值/（P）,則拒絕原假設，表明隨機誤差存在自相關性。

BG檢驗的特點是：可判斷高階自相關，操作簡單可靠。

6、舉例。中國城鄉(xiāng)居民儲蓄存款與GDP的關系,用Y表示中國城鄉(xiāng)居另儲

蓄存款，X表示GDP指數(shù)。

第四節(jié)自相關的修正

修正自相關性方法的基本思想是，通過一定的數(shù)學變換，如差分法將模型

中序列存在自相關轉換不存在無自相關，然后再對模型中的未知參數(shù)講行估

計。

一、已知自相關系數(shù)2

1、廣義差分法。

設模型為

1=■+―+~%=put_x+￡,

其中，J滿足基本假定。差分過程如下

夕工1二2四+況X-]+#3

工-pYt_x=禽1_夕）+河（凡一水?。?（%-#3）

AZ=4+AAX,+[

由于J滿足基本假定，所以對差分后的模型可施用最小二乘法進行參數(shù)的估計。

上述方法稱為廣義差分法。注意廣義差分以后對缺失值的補充。

2、廣義差分法的特例

(1)一階差分估計法(2=1),由廣義差分式

Z-ZT=22(X/-X.1)十%-%T

“二儂%,+與

Ay=--,AX=%-X-,…「明

(2)移動平均回歸模型(,二?1I留為作業(yè)請大家完成。

二、自相關系數(shù)?未知

在這種情況下，需要先求出0的估計值0,然后再用上述廣義差分法建立

模型。

1、用D-W統(tǒng)計量求2。

在大樣本的情況下，利用D-W統(tǒng)計量，有

?2(l-p)=>p?1--

有了"，則可利用廣義差分法對模型的參數(shù)進行估計。

2、科克蘭內-奧克特法(Cochrane-Orcutt,又稱迭代估計法1這種方法

是經過反復計算后，以尋找出一個更好的估計值0,直到達到修正自相關為止。

⑴（=6+Ax,

⑵4=Z-P=Z-（￡+AX）,/=1,2,3,.??,〃

（3）q⑴號4+4⑴

（4）bP,=乙zJ嵋G2?

（5）匕一立工|二4（1一△）+⑸（%—nx”1）+與⑴

A

⑺Pl

（8）YH=0m（X「02x-）+鏟

該方法在EViews里的操作過程，在估