5.1.1隨機事件湘教版數(shù)學(xué)必修第二冊第5章概率5.1隨機事件與樣本空間章節(jié)引言現(xiàn)實世界除了有確定性現(xiàn)象外，還有許多隨機現(xiàn)象，人們經(jīng)過長期的研究和探索，引入了概率的概念，它是研究復(fù)雜隨機現(xiàn)象規(guī)律的重要數(shù)學(xué)工具.本章我們將學(xué)習(xí)如何刻畫隨機現(xiàn)象、隨機事件，通過古典概型進一步理解隨機事件發(fā)生的含義，學(xué)習(xí)如何度量簡單隨機事件發(fā)生的可能性的大小，并通過解決一些簡單實際問題來加深對隨機現(xiàn)象及其規(guī)律的認識和理解.新知探索這種在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。上面這兩個現(xiàn)象的共同特點是什么？你還能舉出一些相同的例子嗎？在自然界和人們的生產(chǎn)實踐活動中，經(jīng)常遇到各種各樣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象大致可分為兩類。地球圍著太陽轉(zhuǎn)水往低處流同性電荷必然相斥向上拋擲一枚硬幣，“正面朝上”還是“反面朝上”十字路口碰到紅燈、綠燈還是黃燈生活中的確定性現(xiàn)象：1.日出和日落時間：每天日出和日落的時間可以通過天文學(xué)計算準(zhǔn)確預(yù)測。2.烹飪中的水沸騰：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，加熱水到100攝氏度時，水一定會沸騰。3.電燈開關(guān)：當(dāng)我們按下電燈開關(guān)，電燈就會亮（假設(shè)電燈和電路正常）。4.時間流動：無論我們做了什么，時間總是以相同的速度流逝。新知探索隨機現(xiàn)象：1.擲硬幣：每次擲硬幣，結(jié)果是正面還是反面是隨機的。2.排隊等候時間：在銀行或超市排隊時，每次需要等待的時間是隨時的，受顧客數(shù)量和服務(wù)速度的影響。3.天氣變化：短時間內(nèi)是否會下雨是隨機的，即使天氣預(yù)報能給出一定概率，但具體什么時候下雨是不可預(yù)知的。4.彩票中獎：每次購買彩票是否中獎是隨機現(xiàn)象，盡管每張彩票的中獎概率是已知的。新知探索1.量化不確定性：概率提供了一種方法來衡量事件發(fā)生的可能性。例如，擲硬幣時，得到正面的概率是0.5(或50%)。2.預(yù)測和決策：在面對不確定性時，概率可以幫助我們做出更明智的決策。例如，氣象預(yù)報中使用概率來預(yù)測降雨的可能性，幫助人們決定是否攜帶雨具。3.風(fēng)險評估：在金融、保險和工程等領(lǐng)域，概率用于評估和管理風(fēng)險。例如，保險公司使用概率來計算保費，銀行使用概率來評估貸款違約風(fēng)險。4.統(tǒng)計推斷：概率是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，幫助我們從樣本數(shù)據(jù)中推斷總體特征。例如，通過分析一部分人的投票意向，可以預(yù)測整個選區(qū)的選舉結(jié)果。5.科學(xué)研究：在科學(xué)實驗中，概率用于設(shè)計實驗和分析數(shù)據(jù)，幫助確定觀察到的效果是否具有統(tǒng)計顯著性。例如，藥物試驗中使用概率來評估新藥的效果。6.游戲和賭博：在游戲和賭博中，概率用于計算贏的幾率和制定策略。例如，撲克玩家使用概率來決定是否跟注、加注或棄牌。新知探索新知學(xué)習(xí)在條件相同的情況下，不同次的試驗或觀察會得到不同的結(jié)果，每一次試驗或觀察之前不能確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果.把這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.注：1.隨機試驗一般用大寫字母E表示.2.隨機試驗特點：條件相同、結(jié)果隨機、可重復(fù)操作.隨機試驗對隨機現(xiàn)象進行試驗、觀察或觀測稱為隨機試驗.新知學(xué)習(xí)1.對于一個隨機試驗，我們將該試驗的每個可能結(jié)果稱為樣本點,常用ω（或帶下標(biāo)）表示.如拋擲一枚硬幣其樣本點可記為ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”.2.將隨機試驗所有樣本點構(gòu)成的集合稱為此試驗的樣本空間,用Ω表示.如拋擲一枚硬幣時，其樣本空間Ω={正面朝上，反面朝上}={ω1，ω2}樣本點與樣本空間定義如果樣本空間中樣本點的個數(shù)是有限的，則稱該樣本空間為有限樣本空間.有限樣本空間新知學(xué)習(xí)用集合的語言描述試驗的樣本空間是該試驗所有樣本點的全集，樣本點是該全集的元素.它們之間的關(guān)系可用下圖刻畫.典例精析例1.拋擲一枚骰子，用1,2,3,4,5,6表示擲出的點數(shù)，寫出試驗的樣本點和樣本空間。

[練習(xí)1]將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的

樣本空間.[解]

（樹狀圖法）一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示.如圖所示：[解]

（樹狀圖法）一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示.如圖所示：練習(xí)鞏固試驗的樣本空間：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），

（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），

（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.

典例精析例2.拋擲兩枚硬幣，用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，寫出試驗的樣本點和樣本空間。

練習(xí)鞏固

練2．在0，1，2，......，9這10個數(shù)字中任意選取一個，寫出試驗的樣本點和樣本空間.[練習(xí)3]袋中裝有紅、白、黃、黑除顏色外其他方面都相同的四個小球，從中任取

一球的樣本空間Ω1＝

，從中任取兩球的樣本空間Ω2

＝

?

?.{紅，白，黃，黑}

{（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，

黑）}解析：從中任取一球有4種可能，分別為紅、白、黃、黑，構(gòu)成的樣本空間Ω1＝{紅，

白，黃，黑}.從中任取兩球有6種可能，分別為（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，

黃），（白，黑），（黃，黑），構(gòu)成的樣本空間Ω2＝{（紅，白），（紅，黃），

（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）}.練習(xí)鞏固新知學(xué)習(xí)一般地，當(dāng)Ω是試驗的樣本空間時，我們稱Ω的子集A是Ω的隨機事件，簡稱為事件。一般用大寫字母A，B，C，...表示事件。隨機事件（事件）例如：在拋擲骰子試驗中，當(dāng)擲出的點數(shù)是3時，我們就稱事件A={3}發(fā)生，否則稱事件A不發(fā)生。同樣，當(dāng)擲出的點數(shù)是偶數(shù)時，則稱事件B={2,4,6}發(fā)生，否則稱事件B不發(fā)生。當(dāng)試驗結(jié)果（即試驗的樣本點）ω∈A時，就稱事件A發(fā)生，否則稱A不發(fā)生。新知學(xué)習(xí)2.由一個樣本點組成的集合，稱為基本事件；3.我們稱樣本空間Ω是必然事件；4.我們稱○是不可能事件.注：1.對于樣本空間Ω,A是事件；例題.下列事件：①長度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；②經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈；③下周六是晴天.其中，是隨機事件的是（

B

）A.①②B.②③C.①③D.②B解析：①為必然事件；②③為隨機事件.練習(xí)鞏固[練習(xí)4]指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：（1）某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊；（3）沒有空氣和水，人類可以生存下去；（4）從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；（5）科學(xué)技術(shù)達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn).（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn)，所以是不可

能事件.[解]

（1）購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件.（2）所有三角形的兩邊之和都大于第三邊，所以是必然事件.（3）空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可

能事件.課堂練習(xí)1.（多選）已知非空集合

A

，

B

，且集合

A

是集合

B

的真子集，則下列命題為真命題

的是（

ACD

）A.“若x∈A，則x∈B”是必然事件B.“若x?A，則x∈B”是不可能事件C.“若x∈B，則x∈A”是隨機事件D.“若x?B，則x?A”是必然事件ACD解析：由真子集的定義可知A，C，D是真命題，B是假命題.2.“李曉同學(xué)一次擲出3枚骰子，3枚全是6點”的事件是（

D

）A.不可能事件B.必然事件C.可能性較大的隨機事件D.可能性較小的隨機事件D解析：擲出的3枚骰子全是6點，可能發(fā)生，但發(fā)生的可能性較小.課堂練習(xí)3.從

a

，

b

，

c

，

d

中任取兩個字母，則該試驗的樣本空間為Ω＝

?

?.解析：含

a

的有

ab

，

ac

，

ad

；不含

a

，含

b

的有

bc

，

bd

；不含

a

，

b

，含

c

的有

cd

.∴Ω＝{

ab

，

ac

，

ad

，

bc

，

bd

，

cd

}.{

ab

，

ac

，

ad

，

bc

，

bd

，

cd

}

解析：含

a

的有

ab

，

ac

，

ad

；不含

a

，含

b

的有

bc

，

bd

；不含

a

，

b

，含

c

的有

cd

.∴Ω＝{

ab

，

ac

，

ad

，

bc

，

bd

，

cd

}.4.為了豐富高一學(xué)生的課外生活，某校要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型3個興趣小

組，小明要選報其中的2個，則樣本點有（

C

）A.1個B.2個C.3個D.4個解析：樣本點有（數(shù)學(xué)，計算機），（數(shù)學(xué)，航空模型），（計算機，航空模

型），共3個.5.籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，記錄剩下的動物的

腳數(shù).則該試驗的樣本空間Ω＝

?.解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數(shù)最多4只，最少0只，所

以剩余動物的腳數(shù)可能是8，6，4，2，0.C{0，2，4，6，8}

解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數(shù)最多4只，最少0只，所

以剩余動物的腳數(shù)可能是8，6，4，2，0.課堂練習(xí)6.一個家庭有兩個小孩兒，則兩個小孩兒的性別情況的樣本空間為（

C

）A.{（男，女），（男，男），（女，女）}B.{（男，女），（女，男）}C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}D.{（男，男），（女，女）}C解析：兩個小孩有大小之分，所以（男，女）與（女，男）是不同的樣本點，

故選C.課堂練習(xí)7.100件產(chǎn)