第10章概率10.1.1

有限樣本空間與隨機事件ABΩ學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解樣本點、樣本空間、有限樣本空間的含義，會寫試驗的樣本空間.(重點)2.正確理解有限樣本空間和隨機事件.(難點)概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉。傳說早在1654年，有一個賭徒梅累向當(dāng)時的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應(yīng)該怎么分才理？這個問題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的一部著作。近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應(yīng)用到國民經(jīng)濟、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。情境導(dǎo)學(xué)

在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機事件的概念，并學(xué)習(xí)了在試驗結(jié)果等可能的情形下求簡單隨機事件的概率.本節(jié)我們將進一步研究隨機事件及其概率的計算，探究隨機事件概率的性質(zhì).情境導(dǎo)學(xué)

隨機現(xiàn)象普遍存在，有的簡單有的復(fù)雜，有的只有有限個可能結(jié)果，有的有無窮個可能結(jié)果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對擲硬幣試驗，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗次數(shù)，具有可列無窮個可能結(jié)果；而預(yù)測某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無窮個可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.新知探究問題1:觀察下列試驗，分別說出有哪些可能的結(jié)果？(1)將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；提示可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果：2次正面向上；2次反面向上；第1次反面向上，第2次正面向上；第1次正面向上，第2次反面向上.(2)從班級中隨機選擇10名學(xué)生，統(tǒng)計近視的人數(shù).提示可以用抽簽法等方式隨機找出10名學(xué)生，近視的學(xué)生可能有0到10名.新知探究問題2:觀察下列試驗：(1)在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；(2)從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機選取一些，觀察分蘗數(shù)；(3)記錄某地區(qū)7月份的降雨量.你能從中總結(jié)隨機試驗的特點嗎？提示試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.新知探究問題3:怎樣從集合的角度來刻畫樣本點和樣本空間？提示樣本點可看作元素，樣本空間可看作集合.列舉樣本點可用列舉法，有限樣本空間就是有限個樣本點組成的集合.知識梳理1.我們把對

的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.2.

定義字母表示樣本點我們把隨機試驗E的___________________稱為樣本點用

表示樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間用

表示有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}為_____________Ω={ω1，ω2，…，ωn}隨機現(xiàn)象每個可能的基本結(jié)果ωΩ有限樣本空間典例分析例1

寫出下列試驗的樣本空間：(1)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和；該試驗的樣本空間Ω1={2，3，4，…，12}.(2)從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產(chǎn)品中任取兩件，觀察取出產(chǎn)品的結(jié)果；該試驗所有可能的結(jié)果如圖所示，因此，該試驗的樣本空間Ω2={a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.(3)拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況；方法一擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x，y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω3={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.方法二如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω3={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解解答過程.(4)用紅、黃、藍三種顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，觀察涂色的情況.如圖，用1，2，3分別表示紅色、黃色與藍色三種顏色，則此試驗的樣本空間Ω4={(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}.(1)列舉法：適用于樣本點個數(shù)不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏.(2)列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結(jié)果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題.(3)樹狀圖法：適用于較復(fù)雜問題中的樣本點的求解問題，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進行列舉.寫樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點，具體有三種方法反思感悟

袋中裝有除顏色外其他方面都相同的四個小球，分別命名為紅、白、黃、黑，從中任取一球的樣本空間Ω1=

，從中任取兩球的樣本空間Ω2=_____________________________________

.

{紅，白，黃，黑}{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}從中任取一球有4種可能，分別為紅，白，黃，黑，構(gòu)成樣本空間Ω1={紅，白，黃，黑}；從中任取兩球有6種可能，構(gòu)成樣本空間Ω2={(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}.跟蹤訓(xùn)練1觀察下列現(xiàn)象發(fā)生與否，各有什么特點?（1）

在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱到100℃，沸騰；（2）導(dǎo)體通電，發(fā)熱；（3）同性電荷，互相吸引；（4）實心鐵塊丟入水中，鐵塊浮起；（5）買一張福利彩票，中獎；（6）擲一枚硬幣，正面朝上.（1）（2）為必然事件，（3）（4）為不可能事件，（5）（6）可能發(fā)生也可能不發(fā)生.新知探究問題4：如何從集合的角度定義隨機事件、必然事件和不可能事件？提示我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，稱Ω為必然事件，稱空集?為不可能事件.隨機事件我們將樣本空間Ω的

稱為

，簡稱事件，并把只包含

樣本點的事件稱為

，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為__________必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為_________不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為____________子集隨機事件一個基本事件事件A發(fā)生必然事件不可能事件知識梳理典例分析例2

(1)下列事件不是隨機事件的是A.東邊日出西邊雨

B.三角形內(nèi)角和為180°C.清明時節(jié)雨紛紛

D.梅子黃時日日晴√(2)現(xiàn)有一列單程北上的火車，已知?？康恼军c由南至北分別為S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站買票，乙在S6站買票，設(shè)樣本空間Ω表示火車所有可能停靠的站點，令事件A表示甲可能到達的站點的集合，事件B表示乙可能到達的站點的集合.①寫出該事件的樣本空間Ω；②寫出事件A、事件B包含的樣本點；③相關(guān)部門需為該列車準(zhǔn)備多少種北上的車票？鞏固提升跟蹤訓(xùn)練2

如圖，從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中，任取兩點，觀察取點的情況，設(shè)事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”，試用集合表示事件M.M={AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.典例分析例3

在試驗E：“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù)”中，指出下列隨機事件的含義.(1)事件A={(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；事件A中所含的樣本點中的第二個數(shù)為3，根據(jù)樣本空間知，第二個數(shù)為3的樣本點都在事件A中，故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數(shù)為3.(2)事件B={(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；(3)事件C={(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}.鞏固提升跟蹤訓(xùn)練3

柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳.指出下列隨機事件的含義.(1)M={A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；事件M的含義是“從3雙不同的鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”.(2)N={A1B1，B1C1，A1C1}；事件N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”.(3)P={A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.事件P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”.例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正常”；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.典例分析(2)“恰好兩個元件正常”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.課堂小結(jié)1.隨機試驗可重復(fù)性、可預(yù)知性、隨機性2.樣本空間、樣本點Ω={ω1，ω2，…，ωn}

寫隨機試驗的樣本空間時，要按照一定的順序，特別

注意題目的關(guān)鍵字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．3.辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件隨堂演練1.將一根長為a的鐵絲隨意截成三段，這三段鐵絲構(gòu)成一個三角形，此事件是A.必然事件

B.不可能事件C.隨機事件

D.不能判定√2.集合A={2，3}，B={1，2，4}，從A，B中各任意取一個數(shù)，構(gòu)成一個兩位數(shù)，