PAGEPAGE91．1.1命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解命題的概念.2.會(huì)推斷命題的真假．學(xué)問(wèn)點(diǎn)命題的概念1．命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．2．命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以推斷真假”和“陳述句”．我們學(xué)習(xí)過(guò)的定理、推論都是命題．3．分類命題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語(yǔ)句，,假命題：推斷為假的語(yǔ)句.))1．一般陳述句都是命題．(×)2．命題也可以是這樣的表達(dá)式：“x>5”．(×)3．我們學(xué)過(guò)的“定義”、“定理”都是命題．(√)4．含有變量的語(yǔ)句也可能是命題．(√)5．假如一個(gè)陳述句推斷為假，那么它就不是命題．(×)題型一命題的概念例1下列語(yǔ)句：(1)eq\r(2)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)當(dāng)x＝4時(shí)，2x>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個(gè)數(shù)不是合數(shù)就是素?cái)?shù)；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函數(shù)的圖象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．其中是命題的是________．(填序號(hào))考點(diǎn)命題的概念及分類題點(diǎn)命題概念的理解答案(1)(3)(5)(8)解析本題主要考查命題的推斷，推斷依據(jù)：一是陳述句；二是看能否推斷真假．(1)是命題，能推斷真假；(2)不是命題，因?yàn)檎Z(yǔ)句中含有變量x，在沒(méi)給變量x賦值前，我們無(wú)法推斷語(yǔ)句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，不是陳述句；(5)是命題；(6)不是命題；(7)不是命題；(8)是命題．故答案為(1)(3)(5)(8)．反思感悟推斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)一般來(lái)說(shuō)，陳述句才是命題，祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句等都不是命題．(2)語(yǔ)句表述的結(jié)構(gòu)可以推斷真假，含義模糊不清，無(wú)法推斷真假的語(yǔ)句不是命題．(3)對(duì)于含有變量的語(yǔ)句，要留意依據(jù)變量的取值范圍，看能否推斷真假，若能，就是命題；否則就不是命題．跟蹤訓(xùn)練1下列語(yǔ)句是命題的是()①三角形內(nèi)角和等于180°；②2>3；③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④x>2；⑤這座山真險(xiǎn)?。．①②③ B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤考點(diǎn)命題的概念及分類題點(diǎn)命題概念的理解答案A解析④中語(yǔ)句不能推斷真假，⑤中語(yǔ)句為感嘆句，故④⑤不是命題．題型二命題真假的推斷例2給定下列命題：①若a>b，則2a>2b；②命題“若a，b是無(wú)理數(shù)，則a＋b是無(wú)理數(shù)”是真命題；③直線x＝eq\f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一條對(duì)稱軸；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC是鈍角三角形．其中為真命題的是________．答案①③④解析結(jié)合函數(shù)f(x)＝2x的單調(diào)性，知①為真命題；而函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，故③為真命題；因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB>0，故得cosB<0，從而得B為鈍角，所以④為真命題．引申探究若本例中命題④變?yōu)椋喝鬳q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，則△ABC是銳角三角形，該命題還是真命題嗎？解不是真命題，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0只能說(shuō)明B是銳角，其他兩角的狀況不確定．只有三個(gè)角都是銳角，才可以判定三角形為銳角三角形．反思感悟一個(gè)命題要么為真命題，要么為假命題，且必居其一．要推斷一個(gè)命題為真命題，需進(jìn)行論證，而要推斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．跟蹤訓(xùn)練2下列命題中假命題的個(gè)數(shù)為()4x的最小正周期為eq\f(π,2)；④空集是任何集合的子集．A．1B．2C．3D．4答案B解析①mx2＋2x－1＝0(m≠0)是一元二次方程；②空間中兩條直線不相交，兩條直線可能平行，也可能異面；③y＝sin4x－cos4x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))，ω＝4，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)；④空集是任何集合的子集，故①②是假命題．1．下列語(yǔ)句為命題的是()A．2x＋5≥0 B．求證對(duì)頂角相等C．0不是偶數(shù) D．今日心情真好啊考點(diǎn)命題的定義題點(diǎn)命題的定義答案C解析結(jié)合命題的定義知C為命題．2．有下列命題：①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a>b，則a＋c>b＋c；③矩形的對(duì)角線相互垂直．其中真命題共有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案B解析①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正確，是假命題；②當(dāng)a>b時(shí)，有a＋c>b＋c成立，正確，所以是真命題；③矩形的對(duì)角線不肯定相互垂直，不正確，是假命題．3．下列說(shuō)法正確的是()A．命題“空集是任何集合的真子集”是真命題B．語(yǔ)句“最高氣溫為30℃時(shí)我就開(kāi)空調(diào)”是命題C．命題“對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語(yǔ)句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題考點(diǎn)命題的概念及分類題點(diǎn)命題真假性推斷答案D解析對(duì)于A，空集不是其本身的真子集；B所給語(yǔ)句不是命題；C的反例可以是“用邊長(zhǎng)為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來(lái)說(shuō)明．故選D.4．若“方程ax2－3x＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是真命題，則a的取值范圍是______________．答案a<eq\f(9,8)且a≠0解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝－32－4×2a>0，,a≠0，))解得a<eq\f(9,8)且a≠0.依據(jù)命題的定義，可以推斷真假的陳述句是命題．命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題須要給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可．一、選擇題1．給出下列語(yǔ)句：①f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)；②x2＋2x－1>0；③集合{a，b，c}有3個(gè)子集；④這盆花長(zhǎng)得太好了?、葜芷诤瘮?shù)的和是周期函數(shù)嗎？⑥sin45°＝1.其中，命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)命題的定義題點(diǎn)命題的定義答案C解析由命題的定義知①③⑥為命題．2．下列命題為假命題的是()A．log24＝2B．直線x＝0的傾斜角是eq\f(π,2)C．若|a|＝|b|，則a＝bD．若直線a⊥平面α，直線a⊥平面β，則α∥β答案C解析由|a|＝|b|只是得到a與b的模相等，但方向不確定，∴a與b不肯定相等．3．若x2－2x－8<0，則p為真命題，那么p是()A．{x|－2<x<4} B．{x|2<x<4}C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}答案A解析解x2－2x－8<0，得－2<x<4，故p是{x|－2<x<4}．4．已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為()①M(fèi)中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有屬于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4答案B解析②④正確．5．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對(duì)角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x，y中至少有一個(gè)為0.其中真命題的序號(hào)是()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④答案B解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故為真命題；②由不等式的性質(zhì)知，明顯是真命題；③如等腰梯形對(duì)角線相等，不是矩形，故為假命題；④為真命題．6．給出命題：方程x2＋ax＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是()A．4B．2C．0D．－3答案C解析方程無(wú)實(shí)根應(yīng)滿意Δ＝a2－4<0，即a2<4，故當(dāng)a＝0時(shí)符合條件．7．已知不等式x＋3≥0的解集是A，則使得a∈A是假命題的a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥－3 B．a(chǎn)>－3C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)<－3答案D解析∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，又∵a∈A是假命題，即a?A，∴a<－3.二、填空題8．下列語(yǔ)句中是命題的為_(kāi)_______，其中是真命題的為_(kāi)_______．(填序號(hào))①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？②一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊；④在△ABC中，若∠A＝∠B，則sinA＝sinB；⑤求證x∈R，方程x2＋x＋1＝0無(wú)實(shí)根．答案②③④④解析①是疑問(wèn)句不是命題；②是假命題，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；③是假命題，沒(méi)有考慮在同一個(gè)三角形中；④是真命題；⑤是祈使句不是命題．9．給出下列命題：①若直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，則l⊥m；②若a，b都是正實(shí)數(shù)，則a＋b≥2eq\r(ab)；③若x2>x，則x>1；④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù)．其中假命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案3解析①中，明顯l∥m或l與m重合，所以①是假命題；由均值不等式，知②是真命題；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命題；④中，函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，④是假命題．所以假命題的個(gè)數(shù)為3.10．假如命題“若x∈A，則x＋eq\f(1,x)≥2”為真命題，則集合A可以是______________．(寫出一個(gè)即可)答案{x|x>0}解析當(dāng)x>0時(shí)，有x＋eq\f(1,x)≥2，故A可以為{x|x>0}．11．下列命題中是真命題的為_(kāi)_______．(填序號(hào))①假如ab＝0，則a2＋b2＝0；②假如a＞b，則ac＞bc；③假如M∩N＝M，則N?M；④假如M?N，則M∩N＝M.答案④解析①中，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，a2＋b2＝0不成立；②中，c≤0時(shí)不成立，③④中，M∩N＝M等價(jià)于M?N，故①②③皆錯(cuò)誤，④正確．三、解答題12．推斷下列語(yǔ)句是否為命題，并說(shuō)明理由．(1)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(2)x>eq\r(2)；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)請(qǐng)把窗戶關(guān)上；(5)8>7；(6)這是一棵大樹(shù)．解(1)是疑問(wèn)句，不是陳述句，所以不是命題；(2)(6)不能推斷真假，不是命題；(3)(5)是陳述句且能推斷真假，是命題；(4)是祈使句，不是陳述句，所以不是命題．13．推斷下列命題的真假：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)log2x2＝2log2x；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無(wú)實(shí)根；(4)直線x＋y＝0的傾斜角是eq\f(π,4)；(5)若α＝eq\f(3π,4)，則sinα＝eq\f(\r(2),2)；(6)若x∈A，則x∈(A∩B)．解(1)是真命題；(2)是假命題，如x＝－1時(shí)，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)無(wú)意義；(3)是真命題，若m>1，則Δ＝4－4m<0；(4)是假命題，直線x＋y＝0的傾斜角是eq\f(3π,4)；(5)是真命題；(6)是假命題，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}時(shí)，1∈A，但1?(A∩B)．14．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．考點(diǎn)命題的概念及分類題點(diǎn)由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案[－3,0]解析∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．15．給出兩個(gè)命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù)．(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題；(2)甲、乙有且只有一個(gè)是真命題；分別求出符合(1)、(2)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)甲為真時(shí)，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,3)或a<－1))))；乙為真時(shí)，2a2－a>1，即B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>1或a<－\f(1,2))))).甲、乙至少有