奧數(shù)拓展第七講：植樹問題數(shù)學(xué)五年級上冊人教版一、選擇題1．要在正方形的水池邊上擺花，使每一邊都有6盆花，至少需要多少盆花？（

）A．6×4 B．6×4＋4 C．6×4－42．小明家住在7樓，他從一樓走到家一共用了42秒。小明每上一層樓需要（

）秒鐘。A．6 B．7 C．83．希望小學(xué)學(xué)生排成正方行方陣做早操，從前往后數(shù)小明排第7個(gè)，從后往前數(shù)排第13個(gè)，從左往右數(shù)，從右往左數(shù)都排第10個(gè)。最外層一共可以排（

）個(gè)學(xué)生。A．78 B．72 C．76 D．804．56人參加戶外拓展訓(xùn)練，將22人安排在A營地，34人安排在B營地。從12：01開始，每逢整點(diǎn)A營地派出12人前往B營地，B營地派出8人前往A營地。已知兩個(gè)營地之間的單程用時(shí)為30分鐘，問以下哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)，位于B營地的人數(shù)正好是A營地的3倍？（

）A．13：20 B．13：40 C．14：20 D．14：405．學(xué)校門口的道路兩旁從頭到尾共種了48棵樹，每相鄰的兩棵樹之間的距離是25分米，學(xué)校門口的道路共長（

）分米。A．1200 B．1175 C．5756．實(shí)驗(yàn)小學(xué)有208名學(xué)生參加校級運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，一共排成4列縱隊(duì)，已知前后相鄰的兩人間隔80厘米，那么每列學(xué)生隊(duì)伍的長度是(

)分米。A．416 B．408 C．4240 D．400二、填空題7．小軍乘電梯回家（中間不停），從1樓到4樓共花了6秒鐘。照這樣計(jì)算，他從1樓到8樓共需要()秒鐘。當(dāng)他到家這一層樓時(shí)，剛好花了半分鐘，他家住在()樓。8．公園小路的一側(cè)栽有一行柏樹（兩端都有），從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共60棵，每兩棵之間相距5米。這條小路長()米。9．某校五年級同學(xué)去參觀展覽。342人排成兩路縱隊(duì)，前后相鄰兩人各相距0.4米，隊(duì)伍每分鐘走60米。現(xiàn)在要過一座橋，從排頭兩人上橋到排尾兩人離開橋，共需9.8分鐘。橋長()米。10．一條小路的一側(cè)共栽了9棵樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3m，這條小路長()m；如果在小路兩側(cè)每隔2m放一盆花（兩端都不放），一共要放()盆花。11．把一些規(guī)格相同的杯子疊起來，如圖，4個(gè)杯子疊起來高15cm，6個(gè)杯子疊起來高19cm。那么9個(gè)杯子疊起來高()cm，n個(gè)杯子疊起來高()cm。12．小蘭發(fā)現(xiàn)公路邊等距地立著一排電線桿，她用均勻的速度從第1根電線桿走到第15根電線桿用了7分鐘時(shí)間，接著她繼續(xù)往前走，又走了若干根電線桿后就往回走，當(dāng)她走回到第5根電線桿時(shí)一共用了30分鐘，那么小蘭是走到第根電線桿是開始往回走的。13．四、五、六三個(gè)年級各有100名學(xué)生去春游，都分成2列（豎排）并列行進(jìn)。四、五、六年級的學(xué)生相鄰兩行之間的距離分別為1米、2米、3米，年級之間相距5米。他們每分鐘都走90米，整個(gè)隊(duì)伍通過某座橋用4分鐘，那么這座橋長米。14．一排長椅共有90個(gè)座位，其中一些座位已經(jīng)有人入座了。這時(shí)，又來了一個(gè)人要坐在這排長椅上，更有趣的是，他無論坐在哪個(gè)座位上都與已經(jīng)就座的某個(gè)人相鄰。原來至少有()人已經(jīng)就座。三、解答題15．如圖，圓形湖泊周長1200米，除了A點(diǎn)和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂，它們按照順時(shí)針的方向飛行，各個(gè)蜜蜂的速度均標(biāo)在了圖上，單位是“米/秒”。小偷從A點(diǎn)出發(fā)沿湖順時(shí)針逃到位于B點(diǎn)的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就會(huì)被蟄一下。請問：小偷最少會(huì)被幾只蜜蜂蟄到？16．一條小道兩旁，每隔5米種一棵樹（兩端都栽），共種202棵樹，這條路長多少米？17．25名同學(xué)在老師畫好的圓形場地玩“搶板凳”游戲（沿板凳圓形擺一圈，且間隔相等）。開始時(shí)，相鄰兩個(gè)板凳之間的間隔是0.5米，玩了一會(huì)兒，有14名同學(xué)被淘汰，剩下的同學(xué)繼續(xù)玩，現(xiàn)在相鄰兩個(gè)板凳之間的間隔是多少米？18．在一條長150米的大路兩邊各栽一行樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，相鄰兩棵樹之間的距離相等，一共栽了102棵，相鄰兩棵之間的距離為多少米？19．小紅、小明兩人從第1層開始比賽爬樓梯，小明跑到第4層時(shí)，小紅跑到第3層。照這樣的速度，小明跑到第16層時(shí)，小紅跑到第幾層？20．正方形操場四周栽了一圈樹，每兩棵樹相隔4米。甲乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)沿不同的方向繞操場行走（如圖），甲的速度是乙的2倍，乙到達(dá)D點(diǎn)后向C點(diǎn)行走，當(dāng)走到離D點(diǎn)第5棵樹時(shí)，發(fā)現(xiàn)和甲之間正好相隔1棵樹。操場四周一共栽了多少棵樹？（寫出必要的解題過程）

參考答案：1．C【分析】要使花盆數(shù)最少，則正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處各放置1盆花。在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規(guī)律：間隔數(shù)＝棵數(shù)－1。因?yàn)檎叫蚊恳贿吷隙加?盆花，即每一邊上有6－1＝5（個(gè)）間隔。4條邊上有5×4＝20（個(gè)）間隔。在一條首尾相接的封閉曲線上植樹問題的規(guī)律：棵數(shù)＝間隔數(shù)。正方形是封閉圖形，所以20個(gè)間隔即有20盆花?！驹斀狻浚?－1）×4＝6×4－1×4＝6×4－4＝24－4＝20（盆）所以求至少需要的盆數(shù)列式為6×4－4。故答案為：C【點(diǎn)睛】解決植樹問題的關(guān)鍵是要理清棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。2．B【分析】小明從一樓走到家，實(shí)際走了6層樓。用花費(fèi)的總時(shí)間42秒除以6，求出每上一層樓需要的時(shí)間?！驹斀狻?2÷（7－1）＝42÷6＝7（秒）所以，小明每上一層樓需要7秒鐘。故答案為：B【點(diǎn)睛】爬樓問題中，走的層數(shù)要比樓數(shù)少1，然后再根據(jù)題意進(jìn)一步解答即可。3．B【分析】由于是方陣，先求出每行或每列的人數(shù)，即為最外層每邊的人數(shù)，每邊的人數(shù)乘4減去4，得到最外層的人數(shù)?！驹斀狻浚ㄈ耍ㄈ耍ㄈ耍┳钔鈱佑?2人，故答案選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查的是方陣問題，已知每邊的人數(shù)，求每層的人數(shù)時(shí)，由于4個(gè)頂點(diǎn)處多算一次，所以要減去4。4．D【分析】根據(jù)題意，整點(diǎn)時(shí)，本營地人數(shù)派出人到對方營地，人數(shù)相對減少，但半點(diǎn)時(shí)，對方營地的人到達(dá)本營地，人數(shù)又相對增加，據(jù)此解答。【詳解】A．13：20時(shí)，A營地派出12人前往B營地，B營地派出8人前往A營地，而對方營地派出的人還沒有到達(dá)，這時(shí)A營地剩余22－12＝10人，B營地剩余34－8＝26人，不符合題意；B．13：40時(shí)，兩個(gè)營地各派出1次，且對方派出的人到達(dá)本營地，這時(shí)A營地有22－12＋8＝18人，B營地有34－8＋12＝38人，不符合題意；C．14：20時(shí)，兩個(gè)營地各派出兩次，而第二次對方營地派出的人還沒有到達(dá)，這時(shí)A營地有22－12＋8－12＝6人，B營地有34－8＋12－8＝30人，不符合題意；D．14：40時(shí)，兩個(gè)營地各派出兩次，且對方派出的人到達(dá)本營地，這時(shí)A營地有22－12＋8－12＋8＝14人，B營地有34－8＋12－8＋12＝42人，42÷14＝3，符合題意。故答案為：D【點(diǎn)睛】整點(diǎn)到半點(diǎn)之前，對方派出的人未到達(dá)本營地，本營地人數(shù)相對減少；半點(diǎn)到下一個(gè)整點(diǎn)之前，對方營地派出的人到達(dá)本營地，本營地人數(shù)相對增加。5．C【分析】先將路一旁的植樹棵數(shù)求出來，用48÷2，再利用兩端都植樹的間隔數(shù)＝棵樹－1，求出間隔數(shù)，利用間隔數(shù)×每相鄰兩棵樹的距離即可得到道路長。【詳解】48÷2＝24（棵）（24－1）×25＝23×25＝575（分米）故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查植樹問題里公式的靈活運(yùn)用，注意本題已知的是兩旁的植樹棵數(shù)，要求出一邊的棵樹再求解。6．B【解析】略7．1416【分析】此問題為“上樓梯”問題，該問題可以轉(zhuǎn)化成“植樹問題”，即可以用“植樹問題”的規(guī)律來解答。在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規(guī)律：總距離÷株距＝間隔數(shù)，棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1。據(jù)此用樓層數(shù)－1求出樓梯的段數(shù)；用總時(shí)間÷樓梯的段數(shù)求出走1層的時(shí)間。（1）先算出1樓到8樓經(jīng)過的樓梯段數(shù)；再用走1層樓的時(shí)間×需要走的樓梯段數(shù)求出一共需要的時(shí)間。（2）先用總時(shí)間÷走1層樓的時(shí)間求出樓梯的段數(shù)；再用段數(shù)＋1求出小軍家所在的樓層?！驹斀狻?÷（4－1）＝6÷3＝2（秒）2×（8－1）＝2×7＝14（秒）半分鐘＝30秒30÷2＋1＝15＋1＝16（樓）所以小軍從1樓到8樓共需要14秒，當(dāng)他到家這一層樓時(shí)，剛好花了半分鐘，他家住在16樓?！军c(diǎn)睛】解決植樹問題的關(guān)鍵要理清棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。8．295【分析】要想知道小路有多長，我們先得知道有多少個(gè)間隔（兩棵樹之間有1個(gè)間隔），而從起點(diǎn)到終點(diǎn)兩端都栽了樹，所以間隔數(shù)＝棵數(shù)－1，用間隔數(shù)乘間隔距就是小路的長度了。【詳解】間隔數(shù)：60－1＝59（個(gè)）小路的長度：59×5＝295（米）這條小路長295米?！军c(diǎn)睛】本題考查的是植樹問題中兩端都栽的情況，間隔數(shù)＝棵數(shù)－1，總長＝間隔數(shù)×間隔距。9．520【分析】每路縱隊(duì)的人數(shù)是：342÷2＝171人，根據(jù)植樹問題可求出隊(duì)伍的長度是：0.4×（171－1）＝68米；從排頭兩人上橋到排尾兩人離開橋，根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，求出行駛的路程，即橋長和隊(duì)伍的長度之和，再減去隊(duì)伍的長度，即可求出橋的長度?！驹斀狻?42÷2＝171（人）0.4×（171－1）＝0.4×170＝68（米）60×9.8－68＝588－68＝520（米）即橋長520米。【點(diǎn)睛】本題是列車過橋問題和植樹問題的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是明確行駛的路程應(yīng)為橋長加隊(duì)伍的長度；知識點(diǎn)：“隊(duì)伍的間隔數(shù)＝人數(shù)－1，速度×?xí)r間＝路程”。10．2422【分析】（1）根據(jù)題意，兩端都栽，則9棵樹有（9－1）個(gè)間隔，根據(jù)“全長＝間距×間隔數(shù)”，求出這條小路的全長；（2）先根據(jù)“間隔數(shù)＝全長÷間距”，求出小路一側(cè)花盆的間隔數(shù)，又因?yàn)閮啥硕疾环?，小路一?cè)放的盆數(shù)＝間隔數(shù)－1；因小路兩側(cè)都放花盆，用一側(cè)的盆數(shù)乘2，即可求出一共要放的盆數(shù)。【詳解】（1）3×（9－1）＝3×8＝24（m）這條小路長24m。（2）24÷2－1＝12－1＝11（盆）11×2＝22（盆）一共要放22盆花。【點(diǎn)睛】本題考查植樹問題，掌握沿直線上栽樹的三種情況：兩端都栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1；兩端都不栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)－1；一端栽一端不栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)。11．252n＋7【分析】根據(jù)題圖可知，第一個(gè)杯子的高度＋3個(gè)間隔的高度＝15厘米，第一個(gè)杯子的高度＋5個(gè)間隔的高度＝19厘米，兩個(gè)式子相減，進(jìn)而求出1個(gè)間隔的高度和一個(gè)杯子的高度；9個(gè)杯子疊起來的高度＝第一個(gè)杯子的高度＋8×1個(gè)間隔的高度，據(jù)此解答；n個(gè)杯子疊起來，共有（n－1）個(gè)間隔，用“第一個(gè)杯子的高度＋（n－1）×間隔的高度”即可解答?！驹斀狻浚?9－15）÷（5－3）＝4÷2＝2（厘米）15－3×2＝15－6＝9（厘米）9＋（9－1）×2＝9＋8×2＝9＋16＝25（厘米）9＋（n－1）×2＝9＋2×n－1×2＝9－2＋2n＝（2n＋7）厘米即9個(gè)杯子疊起來高25cm，n個(gè)杯子疊起來高（2n＋7）cm?！军c(diǎn)睛】本題考查了植樹問題的靈活應(yīng)用，先求出1個(gè)間隔的高度和一個(gè)杯子的高度是解答本題的關(guān)鍵。12．33【分析】從第1根電線桿走到第15根電線桿，共經(jīng)過（15－1）即14個(gè)間隔，用7分鐘。因此1分鐘走14÷7即2個(gè)間隔；當(dāng)她走回到第5根電線桿時(shí)一共用了30分鐘，共走了30×2即60個(gè)間隔；設(shè)走到第x根電線桿時(shí)開始往回走，開始往回走的時(shí)，走了（x－1）個(gè)間隔，回來時(shí)走了（x－5）個(gè)間隔，然后列出方程進(jìn)行解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)小蘭是走到第x根電線桿是開始往回走的。（x－1）＋（x－5）＝30×2x－1＋x－5＝602x－6＝602x－6＋6＝60＋62x÷2＝66÷2x＝33小蘭是走到第33根電線桿是開始往回走的。【點(diǎn)睛】本題考查了兩端植樹問題，植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1，求出共走的間隔數(shù)，然后再進(jìn)一步解答即可。13．56【分析】通過這座橋所行的路程＝橋長＋隊(duì)伍的長度，據(jù)題意可知，整個(gè)隊(duì)伍經(jīng)過大橋共行：90×4＝360（米），所以只要根據(jù)學(xué)生相鄰兩行之間的距離及年級之間的距離求出隊(duì)伍的長度即能求出大橋的長度?！驹斀狻扛髂昙墝W(xué)生之間的空隙個(gè)數(shù)為：100÷2－1＝50－1＝49（個(gè)）年級間空隙個(gè)數(shù)為：3－1＝2（個(gè)）則隊(duì)伍長：49×1＋49×2＋49×3＋2×5＝49＋98＋147＋10＝304（米）則橋長為：90×4－304＝360－304＝56（米）即這座橋長56米?！军c(diǎn)睛】解答此題要注意理解“都分成2列（豎排）并列行進(jìn)”，表示每個(gè)年級分兩列，一個(gè)年級接一個(gè)年級。難點(diǎn)在于求出隊(duì)伍的長度。14．30【分析】因?yàn)樾聛淼娜藷o論坐在哪都與某個(gè)人相鄰，所以，一定沒有連續(xù)三個(gè)以上的空座，要使原來人數(shù)最少，需要空座最多，也就是每隔兩個(gè)座坐一個(gè)人，將90個(gè)座分為30組，每組的中間坐一人，則無論第31人坐在哪里，都和其他人相鄰，據(jù)此解答?！驹斀狻繉?0個(gè)座三個(gè)一組，90÷3＝30（組）此時(shí)，每組的中間坐一人，則無論第31人坐在哪里，都和其他人相鄰，【點(diǎn)睛】本題主要考查了最大與最小，根據(jù)題意得出空座的分布規(guī)律是本題解題的關(guān)鍵。15．3只【分析】先根據(jù)間隔數(shù)×間隔距離＝間隔總長，時(shí)間＝路程÷速度，求出每只蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要的時(shí)間，再分析每個(gè)時(shí)間段，小偷可能會(huì)追上幾只蜜蜂，且被幾只蜜蜂追上，最后將幾種可能比較即可?！驹斀狻?蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：5×100÷1＝500（秒）2蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：4×100÷2＝200（秒）3蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：3×100÷3＝100（秒）4蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：2×100÷4＝50（秒）5蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：1×100÷5＝20（秒）7蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：11×100÷7≈157.1（秒）8蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：10×100÷8＝125（秒）9蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：9×100÷9＝100（秒）10蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：8×100÷10＝80（秒）11蜜蜂到達(dá)B點(diǎn)需要：7×100÷11≈63.6（秒）如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要小于20秒，則小偷會(huì)被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要20~50秒，則小偷會(huì)被4只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要50~63.6秒，則小偷會(huì)被3只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要63.6~80秒，則小偷會(huì)被4只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要80~100秒，則小偷會(huì)被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要100~125秒，則小偷會(huì)被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要125~157.1秒，則小偷會(huì)被6只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要157.1~200秒，則小偷會(huì)被7只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要200~500秒，則小偷會(huì)被6只蜜蜂蟄到；如果小偷到達(dá)B點(diǎn)需要500秒以上，則小偷會(huì)被5只蜜蜂蟄到；3＜4＜5＜6＜7答：小偷最少會(huì)被3只蜜蜂蟄到?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確被蜜蜂追上且追上蜜蜂都會(huì)被蟄。16．500米【分析】根據(jù)題意，一條小道兩旁共種202棵樹，先用樹的總棵數(shù)除以2，求出小道一旁種樹的棵數(shù)；因?yàn)閮啥硕荚裕敲撮g隔數(shù)＝棵數(shù)－1；然后根據(jù)全長＝間隔數(shù)×間距，求出這條路的全長。【詳解】（202÷2－1）×5＝（101－1）×5＝100×5＝500（米）答：這條路長500米。【點(diǎn)睛】本題考查植樹問題，掌握沿直線上栽樹的三種情況：兩端都栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1；兩端都不栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)－1；一端栽一端不栽時(shí)，棵數(shù)＝間隔數(shù)。17．1.2米【分析】“搶板凳”游戲，板凳數(shù)＝人數(shù)－1，封閉圖形里植樹，棵數(shù)＝段數(shù)，先確定開始時(shí)板凳數(shù)，即段數(shù)，段數(shù)×間距＝周長；原來同學(xué)人數(shù)－淘汰的人數(shù)－1＝剩下人數(shù)，即剩下板凳的間隔數(shù)，周長÷剩下板凳的間隔數(shù)＝現(xiàn)在間距，據(jù)此列式解答?！驹斀狻浚?5－1）×0.5÷（25－14－1）＝24×0.5÷10＝12÷10＝1.2（米）答：現(xiàn)在相鄰兩個(gè)板凳之間的間隔是1.2米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握植樹問題解題方法，理解棵數(shù)和段數(shù)之間的關(guān)系。18．3米【分析】先求出大路一邊栽樹的總棵數(shù)；再根據(jù)在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規(guī)律：棵數(shù)－1＝間隔數(shù)求出間隔數(shù)，總距離÷間隔數(shù)＝株距求出相鄰兩棵之間的米數(shù)?！驹斀狻?02÷2＝51（棵）51－1＝50（個(gè)）150÷50＝3（米）答：相鄰兩棵之間的距離為3米。【點(diǎn)睛】解決植樹問題的關(guān)鍵要弄清以下兩點(diǎn)：（1）是否兩旁都要植樹。（2）根據(jù)兩端植樹的情況理清棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。19．第11層【分析】根據(jù)題意可知，小明跑到第4層是跑了