試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省福州市2024-2025學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(1,1)，則A．?1+i B．?1?i2．曲線fx=x3+A．y+4=0 B．2x?3．已知集合A=xcosx>A．? B．1 C．3 D．14．x?1xA．20 B．15 C．?15 D．5．已知a,?b,?c分別為△ABCA．π6 B．π4 C．π36．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l，點P為C上一點，過點P作l的垂線，垂足為A，若FA=2A．36或?36 B．33或?33 C．1或7．若x0為函數(shù)fx=x?A．0 B．1 C．2 D．e8．在平面四邊形ABCD中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△ACDA．32π3 B．4π C．4二、多選題9．已知函數(shù)fx=cos2xA．fx在區(qū)間?B．fx在區(qū)間?C．直線x=2πD．當x≤0時，函數(shù)y=10．有一組成對樣本數(shù)據(jù)x1,?y1,?x2,?y2,??,A．兩條經(jīng)驗回歸直線都過點x,?C．兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同 D．兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同11．在平面直角坐標系xOy中，點Px,?y是曲線x+y=1上的動點，點A坐標為1,?0，射線OA．Cπ4+C．?θ∈0三、填空題12．已知向量a?=1,2,b?13．陳嘉豪發(fā)現(xiàn)，《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．已知長方體ABCD14．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,?b>0的右焦點為F，其左、右頂點分別為A,?B四、解答題15．已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，滿足a(1)求an(2)設(shè)an的前n項和為Sn，若Sn16．某校組織學(xué)生參觀中國船政文化博物館，并抽取20個學(xué)生進行船政文化知識競賽，成績?nèi)缦拢?3，79，76，92，63，63，65，77，66，68，72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求成績的上四分位數(shù)（說明：上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)）；(2)在大于70分的成績中隨機抽取2個，設(shè)X表示抽取的2個成績中大于上四分位數(shù)的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A(1)證明：A1B/(2)在平面ABC內(nèi)，動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上（不含端點B,?C），若直線B18．已知橢圓C的兩個焦點分別是F1?6(1)求C的方程；(2)過點23,??23的直線與C交于（i）當直線DE過原點時，求⊙I與（ii）⊙I19．已知函數(shù)y=hx，記A=xa≤x≤b,?B=yy=hx,?(1)判斷函數(shù)fx=x(2)已知函數(shù)gx=x2?2p（i）求函數(shù)gx（ii）若數(shù)列an滿足a1=22,?an+1答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《福建省福州市2024-2025學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ADBDCBCCBDCD題號11答案ABC1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運算求解即可.【詳解】依題意可知z=所以i·故選：A2．D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率與切線方程.【詳解】由已知fx則f′即切線斜率k=又f?所以切線方程為y?即6x故選：D.3．B【分析】解三角不等式求出集合A再求交集可得答案.【詳解】A=因B=1,故選：B.4．D【分析】寫出展開式的通項公式Tk+1=?【詳解】根據(jù)題意，x?1x令6?2k所以常數(shù)項為T3故選：D5．C【分析】根據(jù)正弦定理，由角化邊，得到a2+b【詳解】根據(jù)已知條件sinC?sina2∴cosA=故選：C.6．B【分析】由題意得F1,0，準線為l:x=?1，設(shè)Pt24【詳解】由題意，F(xiàn)1,0設(shè)Pt24由于FA=2FB，則B又點?3,?則kPB=t?故選：B.7．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得fx在0,e上無零點，當x≥e時，由f【詳解】當0<x<e時，令f′x=0，可得x=1，當0<所以fx在0,1單調(diào)遞減，在1又f1=1?ln當x≥e時，令fx=0，得x?1因為x0為函數(shù)fx的零點，則ex所以x0故選：C.8．C【分析】因為△ACD是以點D為直角頂點的直角三角形，所以△ACD的外接圓圓心是【詳解】如圖，設(shè)三棱錐B?ACD的外接球球心為O，取AC因為△ACD是以點D為直角頂點的直角三角形，所以△則由球的性質(zhì)可知，OE⊥平面設(shè)外接球半徑為R,∵△ABC是邊長為3的等邊三角形,∴E在Rt△OE則在△BO∵∠OEB∈[0所以R的最小值為1，外接球體積最小值為4π故選：C.9．BD【分析】先根據(jù)對稱中心求出函數(shù)解析式，結(jié)合選項余弦函數(shù)的單調(diào)性及值域?qū)ΨQ軸逐個驗證即可.【詳解】因為fx的圖象關(guān)于點?π3,?0對稱，所以因為0<φ<π，所以令t=2x+π因為?π2<0<令t=2x+π6，由所以當x=f(2π3)=cos9π6=當x=0時，函數(shù)y=1，當x<0時，函數(shù)所以f(x)=cos故選：BD.10．CD【分析】對A，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點，求出新成對樣本數(shù)據(jù)的樣本中心點判斷；對B，利用公式求出回歸直線的截距判斷；對C，利用公式求新成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比較即可；對D，利用公式求新成對樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，可以作出判斷.【詳解】對于A，因為x′y′=y對于B，因為b′所以新成對樣本數(shù)據(jù)的回歸直線的截距為a′對于C，因為新成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r=i所以兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同，故C正確；對于D，因為新成對樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)r=iR=1其中，y=所以R′所以兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同，故D正確.故選：CD.11．ABC【分析】先求出直線OP與曲線x+y【詳解】對于A，當θ=π4時，射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點直線OP為y=xx≥0，此時曲線所以Cπ4=對于B，射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ此時Sθ=y射線旋轉(zhuǎn)θ+π2Cθ所以Cθ對于C，當θ∈0,?π當θ∈0,?π將①代入②可得：OP2cos所以Cθ要證明Cθ≥2即證明：sinθ因為當θ∈0,所以sinθ對于D，當θ∈0,Sθ當θ∈0,?π把③代入②可得：OP3cos所以Sθ當2θ∈0,?當2θ∈0,?把④代入②可得：OP4cos所以S2要證2Sθ≤因為θ∈0,即證：sinθ取θ=π6因為3+故選：ABC.12．?【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因為a→⊥b→，所以故答案為：-13．24【分析】要確定以長方體頂點為頂點的陽馬個數(shù)，需要考慮長方體的面與頂點的關(guān)系，通過分析每個面作為陽馬底面的情況來計算總數(shù).【詳解】長方體ABCD當以底面ABCD為陽馬的底面時，從頂點A都可以構(gòu)成1個陽馬，這樣就有4個陽馬.因為長方體有6個面，每個面都可以像底面AB所以陽馬的總個數(shù)為6×4故答案為：24.14．2【分析】根據(jù)雙曲線方程和焦點位置，確定右頂點A、右焦點F以及直線x=c與雙曲線的交點M,N的坐標，分別求出直線AM【詳解】雙曲線左頂點A(-a,0)，右頂點將x=c代入雙曲線方程可得c2不妨設(shè)Mc,b直線AM的斜率為kAM同理可得直線BN的方程為：y=-b2即直線BM的一般式方程為b聯(lián)立直線AM與直線BN，解得：x=因為△MQB與△MFB的面積相等，所以點Q到直線即：|b2a(c?a故答案為：215．(1)a(2)最大值為5．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式寫出an表達式，再結(jié)合a2n=2an+1這個條件，代入an與a2（2）先由第一問得到的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式求出Sn.再結(jié)合Sn<3a【詳解】（1）因為數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，所以a由a2n=2a所以an的通項公式為a（2）由（1）得Sn由Sn<3an得n由于2<6<3，所以16．(1)79(2)分布列見解析，4【分析】（1）先把20個成績按從小到大排序，再根據(jù)上四分位數(shù)定義求解即可；（2）列出X的所有可能取值，再根據(jù)超幾何分布的概率公式求得對應(yīng)概率即可得到分布列，進而可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）把20個成績按從小到大排序，可得53，57，61，63，63，65，66，66，67，68，72，73，76，77，79，79，85，87，90，92．由75%×20（2）由數(shù)據(jù)可知，成績大于70分的有10個，大于上四分位數(shù)79的成績有4個，根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，PX則X的分布列為X012P182所以X的數(shù)學(xué)期望EX17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）法1，連結(jié)A1C與AC1交于點D，可得DM//A1B，根據(jù)線面平行的判定定理得證；法2，建立空間直角坐標系，求出平面AC1M的法向量，利用向量法證明；法3，設(shè)B1C（2）法1，建立空間直角坐標系，設(shè)Qx,?y,?0x>0,?y>0，利用B1Q與平面AC1B1所成的角為π6，結(jié)合向量法求出點【詳解】（1）解法一：連結(jié)A1C與AC1交于點因為點D為AC1與A1C的交點，所以點又因為M為BC中點，所以D因為A1B?平面AC1M，DM解法二：以A為坐標原點，AB,AC,則A0AC設(shè)平面AC1MAC1?n=因為A1B?n=2?2+解法三：設(shè)B1C1中點為N，連結(jié)BN、A1N、因為AA1//CC1四邊形NMAA因為M、N分別為BC、B1C又因為BM//NC因為AM//A1N，AM同理C1M/又因為AM?C1M因為A1B?平面A1N（2）法1，以A為坐標原點，AB的方向為x軸正向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)則A0AC設(shè)平面AC1B1的法向量為m=a,因為動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上（不含端點所以可設(shè)Qx則x2由于B1Q與平面AC1B所以B=?所以x+y=2×所以x=y=法2，前面同上，設(shè)平面AC1B則AC1?m=因為動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上（不含端點B,?C因為B1Q與平面AC1B所以B1化簡得sinθcosθ?sinθ=因為θ∈0,?πsinθ=cosθ=22法3，設(shè)平面ABC∩平面A過點Q作QH⊥l，垂足為H因為BC//B1C1，B又因為平面ABC?平面AB1C1因為平面ABC∩平面A又因為QH所以QH⊥平面AC1B1，∠HB1Q為B1在Rt△HB1Q因為AC⊥A設(shè)AH=x設(shè)劣弧BC上（不含端點B）時，0B1H=化簡得x2?2x=當點Q在CD上（不含端點C,?B1H=化簡得x2+2x=綜上，得x=0，此時點Q與點又因為BC的中點為M，故A18．(1)x(2)（i）2,?2,?【分析】（1）由題意列出方程組求出a,（2）（i）首先得出⊙I方程：x2+y2=8，然后聯(lián)立橢圓方程即可求解；（ii）采取先猜后證的思想，分析得定點只能為Q12【詳解】（1）解法一：由于橢圓C的焦點在x軸上，設(shè)其標準方程為x2由條件得a2?b所以C的方程為x2（2）

解法一：（i）當直線DE過原點時，直線DE的方程為將其與C方程聯(lián)立，可求兩交點坐標分別為?2從而⊙I方程為x聯(lián)立x2+y2=故⊙I與C的交點坐標為2（ii）當直線DE垂直x軸時，將x=23代入從而⊙I方程為x當直線DE過原點時，⊙I方程為x2+y解得x=2y=?2，或x=當直線DE斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，由于由y=kx設(shè)Dx1,若Q12,Q1D==4將m=?2故定點Q22,Q2D==4將m=?23k綜上，⊙I過定點，定點坐標為2解法二：（i）同解法一（ii）當直線DE垂直x軸時，將x=23代入從而⊙I方程為x當直線DE過原點時，⊙I方程為x2+y解得x=2y=?2，若x=當直線DE斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，由于由y=kx設(shè)Dx1,由x1+x2=?4km所以I的坐標為?2又DE若Q12,4=4將m=?2故定點不為Q1若Q22,4=4將m=?23k綜上，⊙I過定點，定點坐標為2解法三：（i）同解法一（ii）當直線DE斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，由于由y=kx+mx1由x1+x2=?4km所以I的坐標為?2又DE所以⊙I的方程為x即2k由于232所以由⊙I的方程得2即2k又因為m=23解方程組3x2+3y2?當直線DE垂直x軸時，將x=23代入從而⊙I方程為x?232+y2=綜上，⊙I過定點，定點坐標為219．(1)fx(2)（i）gx【分析】（1）根據(jù)新定義及二次函數(shù)值域的求法判斷即可；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)在x0≤x≤t（ii）結(jié)合新定義及函數(shù)的單調(diào)性不等式的性質(zhì)，先證明Sn<2【詳解】（1）fx是x因為fx=x2?所以1≤因為1,?2?0（2）（i）由函數(shù)gx的