PAGEPAGE12第2課時(shí)分段函數(shù)及映射學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分段函數(shù)的定義，并能解決簡潔的分段函數(shù)問題(重點(diǎn)).2.了解映射的概念以及它與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)分(難點(diǎn)).學(xué)問點(diǎn)1分段函數(shù)分段函數(shù)的定義：(1)前提：在函數(shù)的定義域內(nèi)；(2)條件：在自變量x的不同取值范圍內(nèi)，有著不同的對應(yīng)關(guān)系；(3)結(jié)論：這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).【預(yù)習(xí)評價(jià)】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x≥0，,2x＋3，x<0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________.解析由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)－3＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1.答案－2－1學(xué)問點(diǎn)2映射映射的定義：【預(yù)習(xí)評價(jià)】(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)是特殊的映射.()(2)在映射的定義中，對于集合B中的隨意一個(gè)元素在集合A中都有一個(gè)元素與之對應(yīng).()(3)依據(jù)肯定的對應(yīng)關(guān)系，從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個(gè)映射.()提示(1)√依據(jù)映射的定義，當(dāng)映射中的集合是非空數(shù)集時(shí)，該映射就是函數(shù)，否則不是函數(shù)；(2)×映射可以是“多對一”，但不行以是“一對多”；(3)×從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個(gè)映射.題型一映射的概念及應(yīng)用【例1】(1)下列對應(yīng)是從集合A到集合B的映射的是()A.A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3|B.A＝N*，B＝{－1，1，－2}，f：x→(－1)xC.A＝Z，B＝Q，f：x→eq\f(3,x)D.A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根(2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)對應(yīng)到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)，求：①A中元素(－1，2)在f作用下與之對應(yīng)的B中的元素；②在映射f作用下，B中元素(1，1)對應(yīng)的A中的元素.(1)解析對于選項(xiàng)A，由于A中的元素3在對應(yīng)關(guān)系f的作用下與3的差的肯定值在B中找不到象，所以不是映射；對于選項(xiàng)B，對隨意的正整數(shù)x，在集合B中有唯一的1或－1與之對應(yīng)，符合映射的定義；對于選項(xiàng)C，0在f下無意義，所以不是映射；對于選項(xiàng)D，正整數(shù)在實(shí)數(shù)集R中有兩個(gè)平方根(互為相反數(shù))與之對應(yīng)，不滿意映射的定義，故該對應(yīng)不是映射.答案B(2)解①由題意可知當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1，2)在f的作用下與之對應(yīng)的B中的元素是(－6，1).②設(shè)在映射f作用下，B中元素(1，1)對應(yīng)的A中的元素為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋1＝1，,4x＋3y－1＝1，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,17),y＝\f(6,17)))，即對應(yīng)的A中的元素為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,17)，\f(6,17))).規(guī)律方法1.推斷一個(gè)對應(yīng)是不是映射的兩個(gè)關(guān)鍵(1)對于A中的隨意一個(gè)元素，在B中是否有元素與之對應(yīng).(2)B中的對應(yīng)元素是不是唯一的.2.求對應(yīng)元素的兩種類型及處理思路(映射f：A→B)(1)若已知A中的元素a，求B中與之對應(yīng)的元素b，這時(shí)只要將元素a代入對應(yīng)關(guān)系f求解即可.(2)若已知B中的元素b，求A中與之對應(yīng)的元素a，這時(shí)構(gòu)造方程(組)進(jìn)行求解即可，需留意解得的結(jié)果可能有多個(gè).【訓(xùn)練1】下列各個(gè)對應(yīng)中，構(gòu)成映射的是()解析對于A，集合M中元素2在集合N中無元素與之對應(yīng)，對于C，D，均有M中的一個(gè)元素與集合N中的兩個(gè)元素對應(yīng)，不符合映射的定義，故選B.答案B典例遷移題型二分段函數(shù)求值問題【例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,3x＋5，－2<x<2，,2x－1，x≥2，))求f(－5)，f(1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2))))).解由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋5＝eq\f(1,2).【遷移1】(變換所求)例2條件不變，若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值.解當(dāng)a≤－2時(shí)，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去；當(dāng)－2<a<2時(shí)，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－eq\f(2,3)∈(－2，2)，符合題意；當(dāng)a≥2時(shí)，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合題意.綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，a的值為－eq\f(2,3)或2.【遷移2】(變換所求)例2的條件不變，若f(x)>2x，求x的取值范圍.解當(dāng)x≤－2時(shí)，f(x)>2x可化為x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；當(dāng)－2<x<2時(shí)，f(x)>2x可化為3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)>2x可化為2x－1>2x，則x∈?.綜上可得，x的取值范圍是{x|x<2}.規(guī)律方法1.求分段函數(shù)函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)留意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先推斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.【訓(xùn)練2】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,2x，x>2.))若f(x0)＝8，則x0＝________.解析當(dāng)x0≤2時(shí)，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去).當(dāng)x0>2時(shí)，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.綜上，x0＝－eq\r(6)或x0＝4.答案－eq\r(6)或4題型三分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為________.(2)已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2).①用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x)；②畫出函數(shù)f(x)的圖象；③寫出函數(shù)f(x)的值域.(1)解析當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝－1；當(dāng)1<x≤2時(shí)，設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝－1，,2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－2，))此時(shí)f(x)＝x－2.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x≤1，,x－2，1<x≤2.))答案f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x≤1，,x－2，1<x≤2))(2)解①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))②函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.③由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域?yàn)閇1，3).規(guī)律方法1.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟(1)定類型：依據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點(diǎn)，先確定函數(shù)的類型.(2)設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解析式.(3)列方程(組)：依據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式.(4)下結(jié)論：最終用“{”表示出各段解析式，留意自變量的取值范圍.2.作分段函數(shù)圖象的留意點(diǎn)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域分界點(diǎn)處的函數(shù)取值狀況確定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特殊留意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).【訓(xùn)練3】已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2（－1≤x≤1），,1（x＞1或x＜－1）.))(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的值域.解(1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示.(2)由已知知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0，1]，當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，f(x)＝1，所以f(x)的值域?yàn)閇0，1].課堂達(dá)標(biāo)1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2＋1)，x<2，,\r(x－2)，x≥2，))則f(0)＝()A.2 B.eq\r(2)C.1 D.0解析因?yàn)?∈(－∞，2)，所以f(0)＝eq\f(1,02＋1)＝1.答案C2.下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是()解析y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))故選D.答案D3.如圖中所示的對應(yīng)：其中構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4C.5 D.6解析由映射的定義知①②③是映射.答案A4.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x>0，))若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝________.解析當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝－a＝4，即a＝－4；當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝a2＝4，所以a＝2(a＝－2舍去)，故a＝－4或a＝2.答案－4或25.作出y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，x∈（－∞，－2]，,2x－3，x∈（－2，5]，,7，x∈（5，＋∞）))的圖象，并求y的值域.解y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，x∈（－∞，－2]，,2x－3，x∈（－2，5]，,7，x∈（5，＋∞）))的圖象如右圖.由圖象可知y的值域?yàn)閇－7，7].課堂小結(jié)1.對分段函數(shù)的理解(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來作，特殊留意各段的自變量取值區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的取值狀況，以確定這些點(diǎn)的虛實(shí)狀況.2.函數(shù)與映射的關(guān)系映射f：A→B，其中A，B是兩個(gè)“非空集合”，而函數(shù)y＝f(x)，x∈A，集合A為“非空的實(shí)數(shù)集”，其值域也是實(shí)數(shù)集.于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射.由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射.基礎(chǔ)過關(guān)1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2（x≤1），,x2＋x－2（x>1），))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（2）)))的值為()A.eq\f(15,16) B.－eq\f(27,16)C.eq\f(8,9) D.18解析當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝x2＋x－2，則f(2)＝22＋2－2＝4，∴eq\f(1,f（2）)＝eq\f(1,4)；當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝1－x2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（2）)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16).故選A.答案A2.已知集合A＝[0，4]，B＝[0，2]，依據(jù)對應(yīng)關(guān)系f不能成為從集合A到集合B的一個(gè)映射的是()A.f：x→y＝eq\f(1,2)x B.f：x→y＝x－2C.f：x→y＝eq\r(x) D.f：x→y＝|x－2|解析A，C，D均滿意映射的定義，B不滿意集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素與之對應(yīng)，如A中元素0在B中無元素與之對應(yīng).答案B3.函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))故選C.答案C4.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x>0.))若f(f(a))＝2，則a＝________.解析若a>0，則f(a)＝－a2<0，∴f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝eq\r(2)(舍負(fù)，舍零).若a≤0，則f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解.綜上，a＝eq\r(2).答案eq\r(2)5.已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，5→5且7→11，若x→20，則x＝________.解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝5a＋b，,11＝7a＋b))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－10，))所以y＝3x－10，由3x－10＝20，得x＝10.答案106.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)的圖象.解(1)因?yàn)?>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因?yàn)椋?<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因?yàn)?<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1.(2)圖象如圖所示.7.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，－1≤x≤1，,1－x，x>1或x<－1，))若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍.解當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x≥eq\f(1,4)，即eq\f(1,4)≤x≤1；當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)＝1－x≥eq\f(1,4)，即x<－1.故x的取值范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).實(shí)力提升8.設(shè)集合A＝{a，b}，B＝{0，1}，則從A到B的映射共有()A.2個(gè) B.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)解析列舉法.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝0，,f（b）＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝0，,f（b）＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝1，,f（b）＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝1，,f（b）＝1，))共4個(gè).答案C9.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2（x－1），x≥1，))若f(a)＝f(a＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A.2 B.4C.6 D.8解析由已知得a>0，∴a＋1>1.∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq\r(a)＝2(a＋1－1)，解得a＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2(4－1)＝6，故選C.答案C10.如圖所示，函數(shù)圖象是由兩條射線及拋物線的一部分組成，則函數(shù)的解析式為________.解析當(dāng)x≤1時(shí)，設(shè)f(x)＝kx＋b，由f(0)＝b＝2，f(1)＝k＋b＝1，得b＝2，k＝－1，即f(x)＝－x＋2；同理可得當(dāng)x≥3時(shí)f(x)＝x－2；當(dāng)1≤x≤3時(shí)，由圖可設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋2，a<0，又f(1)＝a(1－2)2＋2＝1，得a＝－1，則f(x)＝－(x－2)2＋2＝－x2＋4x－2，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x≤1，,－x2＋4x－2，1<x<3，,x－2，x≥3.))答案y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x≤1，,－x2＋4x－2，1<x<3，,x－2，x≥3))11.已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________.解析當(dāng)a>0時(shí)，1－a<1，1＋a>1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－eq\f(3,2)(舍去)；當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1，1＋a<1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝