衡陽縣四中2025年上學(xué)期期中考試高一平行班數(shù)學(xué)試卷（本試題卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，命題人：杜超群）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量，，可得.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，以下說法不正確的是（

）A.的實(shí)部是5B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，性質(zhì)，幾何意義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)可知，的實(shí)部是5，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為第四象限的點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：B3.下列各組向量中，可以作為基底的是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.【詳解】因?yàn)榕c不共線，其余選項(xiàng)中、均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基底．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)為正，列不等式可解.【詳解】令，解得.故函數(shù)的定義域是.故選：B.5.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成的角的定義，利用平行線轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為.故選：B6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象，依次利用最值、周期、點(diǎn)在圖象上求得，從而得解.【詳解】依題意，由圖象中最值可知，周期滿足，又，則，故，所以，又點(diǎn)在圖象上，所以，即，所以，即，而，所以，所以.故選：C.7.若球被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為，且球心到該截面的距離為2，則球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，又因?yàn)榍蛐牡皆摻孛娴木嚯x為2，所以球的半徑為，所以球表面積為.故選：C.8.如圖，已知正方體的棱長為3，點(diǎn)分別在棱上，滿足，點(diǎn)在正方體的面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】在上取點(diǎn)，使得，證得平面平面，得到點(diǎn)的軌跡為線段，在等腰三角形中，求得底邊上的高，即可求解.【詳解】在上取點(diǎn)，使得，分別連結(jié)，因?yàn)?，可得，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由且，可得，又由且，所以，在正方體中，可得，所以因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)?，且平面，所以平面平面，因此點(diǎn)的軌跡為線段，在等腰三角形中，，可得底邊上的高為，此即為長度的最小值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.“，使得”的否定是“，都有”B.已知x>0，則x＋的最小值為8C.若，則“”的充要條件是“”D.若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)特稱命題的否定判斷即可；對(duì)B，根據(jù)基本不等式判斷即可；對(duì)C，舉反例判斷即可；對(duì)D，根據(jù)特稱命題與二次方程的解判斷即可.【詳解】對(duì)于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正確；對(duì)于B，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，若，則由不能推出，故“”不是“”的充要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若命題“”為假命題，則無實(shí)根，則，得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故D正確.故選：ABD10.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)的屋頂，得到圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線的長為10m，底面半徑長為6m．下面說法正確的是（

）A.圓錐SO的高為8m B.圓錐SO的側(cè)面積為C.圓錐SO的體積為 D.圓錐SO外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】首先求圓錐的高，再代入圓錐的側(cè)面積，體積公式，即可判斷ABD，利用圓錐與外接球的幾何關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的方程，即可求解外接球的表面積，判斷D.【詳解】對(duì)A，母線的長為10m，底面半徑OA長為6m，圓錐SO的高為，A選項(xiàng)正確；對(duì)B，圓錐SO的側(cè)面積，B選項(xiàng)正確；對(duì)C,圓錐的體積,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)D，設(shè)圓錐SO的外接球半徑為，則，解得，所以圓錐SO外接球的表面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）A.若是的重心，則有B.若成立，則是的內(nèi)心C.若，則D.若是的外心，，，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對(duì)于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.對(duì)于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.對(duì)于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，同理可得、，所以，又因?yàn)?，所?正確；對(duì)于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，因?yàn)椋瑒t，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；對(duì)于C：因，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因?yàn)椴还簿€，所以，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，所以，因?yàn)?，則，化簡得：，由題意知同時(shí)為負(fù)，記，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，錯(cuò)誤.故答案為：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，再求出的值得到冪函數(shù)的解析式，再求.【詳解】設(shè)冪函數(shù),由題得.所以.故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的求法，考查冪函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.13.如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，故答案為?314.已知函數(shù)，則________.【答案】42【解析】【分析】計(jì)算為定值即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律并求解.【詳解】，

.故答案為：42.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知向量，的夾角為，且．（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）-4（2）或3.【解析】【分析】（1）代入向量數(shù)量積的定義，即可求解；（2）根據(jù)模長，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】由向量，的夾角為，且，得.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，即，整理得，解得或，所以的值是或3.16.已知角終邊上的一點(diǎn).（1）求值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）構(gòu)造齊次分式，同除，轉(zhuǎn)化為含有的式子求解.【小問1詳解】因?yàn)榻墙K邊上的一點(diǎn)，所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)椋?17.在中，角，，的對(duì)邊長分別為，，，的面積為，且．（1）求角的大小；（2）若，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，試求的值．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意，，即，所以；（2）化簡得，所以，，由正弦定理得，所以．試題解析：（1）由已知得，即，又因?yàn)?，所以．?）．當(dāng)（），即（）時(shí)，．又因?yàn)椋?，，故，，，所以?8.如圖，在三棱錐中，底面．點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)、平行公理得到，然后利用線面平行的判定定理證明；（2）利用線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)而得到底面，利用中位線定理得到到底面的距離，利用體積轉(zhuǎn)化法計(jì)算體積.【小問1詳解】證明：分別是中點(diǎn)，，同理，又平面平面，平面．【小問2詳解】解：底面平面，平面，平面，分別為中點(diǎn)，，平面，點(diǎn)到平面的距離為，，即三棱錐的體積為．19.某動(dòng)力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計(jì)劃投入7200萬元購買一批智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后前年維護(hù)成本為萬元，每年電池銷售收入為7600萬元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后前x年的總盈利額為y萬元（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該電池生產(chǎn)企業(yè)從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后對(duì)該批智能機(jī)器人處理方案有兩種方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以2000萬價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以5200萬元的價(jià)格處理問哪種方案更合理？并說明理由.【答案】（1）解析式為，該企業(yè)從第2年開始盈利；理由見解析（2）方案二更合理；理由見解析【解析】【分析】（1）先寫出相應(yīng)的解析式，再解不等式，求出該企業(yè)從第2年開始盈利；（2）方案一：配方得到時(shí)y取到最大值12800，進(jìn)而得到總利潤為萬元；方案二：年平均盈利額為，由基本不等式求