2024~2025學(xué)年第二學(xué)期高一4月期中提升考數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)（約）、必修第二冊(cè)第六章~第八章第5節(jié)（約）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，又由集合，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)虛部的定義即可得出.【詳解】，則的虛部為.故選：A3.已知，，則與同方向的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，即可得出與同方向的單位向量為.【詳解】由題意可得，則，所以與同方向的單位向量為.故選：D.4.如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，其中，則原四邊形的周長(zhǎng)為（）A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】由題意，結(jié)合斜二測(cè)畫法將直觀圖還原為原圖，進(jìn)而求解.【詳解】由題意知，，將直觀圖還原為原圖，如圖，則，所以，所以原四邊形的周長(zhǎng)為12.故選：C5.若向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，所以向量在向量上的投影向?故選：C6.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.故選：D7.在平行四邊形中，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用、作為基底表示出、，再由數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍尹c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，所以.故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，若對(duì)任意的，都有，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先可得關(guān)于對(duì)稱且在上單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式等價(jià)于，再分、兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得即可；【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，又對(duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，因?yàn)?，所以不等式無解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，即，所以，解得；綜上可得關(guān)于的不等式的解集為；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐B.棱柱至少有五個(gè)面C.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)D.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】A：若其余各面三角形沒有公共頂點(diǎn)（如下圖），則幾何體不是棱錐，故A錯(cuò)誤；B：面最少的就是三棱柱，共有五個(gè)面，故B正確；C：由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故C正確；D：在直角梯形中，如下圖所示：以直角梯形的直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，若以直角梯形的腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.是關(guān)于的方程的一個(gè)根【答案】ABD【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的模的定義可判斷AB；利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可判斷C；因是的根，并將因式分解即可判斷D.【詳解】由題意可得，，則，，故A正確；B正確；，則，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知，是的根，又，則是的一個(gè)根，故D正確.故選：ABD11.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為定值C.若點(diǎn)在線段上，則為定值D.若，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法判斷A、B，由及向量共線的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示得到，設(shè)，，利用輔助角公式計(jì)算D.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，因?yàn)樗?，即；?duì)于A：若，則，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，又點(diǎn)在線段上，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D：若，又，所以，即，設(shè)，，所以，其中為銳角且，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，則該圓錐的底面直徑為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式求出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知扇形的弧長(zhǎng)，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，則，即，得，即該圓錐的底面圓的直徑為.故答案為：13.已知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義建立不等式組，解之即可求解.【詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

故答案為：14.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則_________；若的外接圓的圓心是，則的最大值為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】空1：由正弦定理邊化角即可求解；空2：取中點(diǎn)，連接，則，則，從而得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】由正弦定理得，則，，所以；取的中點(diǎn)，連接，則，所以，同理可得，所以，由余弦定理，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量．（1）設(shè)，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由，列出方程組，即可求得的值，得到答案；（2）根據(jù)題意，求得，，結(jié)合，列出方程，即可求解.小問1詳解】解：由，因?yàn)?，可得，所以，解得【小?詳解】解：由可得，，因?yàn)椋傻?，解?16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若且，求的值．【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為（）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的范圍求得，然后由兩角差的余弦公式代入求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，令（），解得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；【小問2詳解】由（1）可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）設(shè)，則，，在中利用正弦定理得到關(guān)于的方程，利用和差角公式化簡(jiǎn)可得.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，所以，又，所以；【小?詳解】設(shè)，又，所以，則，，在中，由正弦定理，又，所以，即，所以，即，所以，即.18.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求證：平面；（3）已知點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且平面平面，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，即可證明，，從而得證；（2）連接、分別交、于點(diǎn)、，連接，即可證明，從而得到，即可得證；（3）根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，即可得到，從而得解.【小問1詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，又在正方體中且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面；【小問2詳解】連接、分別交、于點(diǎn)、，連接，在正方體中，且，所以，則，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；【小問3詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，又，所以，因?yàn)?，所?19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，且．（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求的值；（3）已知的面積為，且所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，求的值．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；（2）依題意可得，將兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律以及余弦定理得到方程組，即可求出、，從而得解；（3）由面積公式求出，再分點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)與同側(cè)兩種情況討論，設(shè)，利用正弦定理表