2025/5/221信息幾何理論2025/5/222微分幾何理論基礎(chǔ)微分幾何的主要研究范疇是流形上不同的微分幾何結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的變換規(guī)律。其中，黎曼幾何扮演著關(guān)鍵的角色，為流形提供了度量方法和基本的幾何概念，構(gòu)成了微分幾何的核心內(nèi)容。接下來(lái)主要針對(duì)流形、聯(lián)絡(luò)等幾何概念進(jìn)行闡述。2025/5/223微分幾何理論基礎(chǔ)

1.1.1微分流形同胚映射：2025/5/224微分幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/225微分幾何理論基礎(chǔ)定義：切空間是定義在每一點(diǎn)的向量空間，其中包含了該點(diǎn)上所有可能的切向量。在黎曼流形上，切空間則描述了該點(diǎn)處的局部線性結(jié)構(gòu)。同時(shí)，在黎曼流形上每一個(gè)切空間都配備有一個(gè)度量，即內(nèi)積，它用來(lái)定義切向量的長(zhǎng)度和夾角。定義：余切空間是切空間的對(duì)偶空間，余切空間中的元素可以看作是一組線性函數(shù)，它們作用于切向量時(shí)返回一個(gè)實(shí)數(shù)，余切空間中的元素由切空間中的所有切向量所對(duì)應(yīng)的余切向量構(gòu)成。1.1.2切空間與余切空間2025/5/226微分幾何理論基礎(chǔ)

加運(yùn)算：數(shù)乘運(yùn)算：

2025/5/227微分幾何理論基礎(chǔ)

加運(yùn)算：數(shù)乘運(yùn)算：

2025/5/228微分幾何理論基礎(chǔ)

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1.1.3聯(lián)絡(luò)對(duì)每個(gè)和。2025/5/2210微分幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/2211微分幾何理論基礎(chǔ)在這里設(shè)置：2025/5/2212微分幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/2213微分幾何理論基礎(chǔ)特別是：也可以重寫為：

2025/5/2214微分幾何理論基礎(chǔ)

1.1.4黎曼流形

2025/5/2215微分幾何理論基礎(chǔ)

黎曼等距是一個(gè)局部等距，它也是一個(gè)微分同態(tài)。2025/5/2216微分幾何理論基礎(chǔ)

因此，保留向量長(zhǎng)度的微分同胚必然是黎曼等距。2025/5/2217微分幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/2218微分幾何理論基礎(chǔ)我們?cè)贛流形上構(gòu)造一個(gè)度量d：如果x和y都是流形M上的點(diǎn)，那么：這確實(shí)給出了M上的度量。由該度量導(dǎo)出的拓?fù)渑cM上的原始拓?fù)湟恢隆?025/5/2219微分幾何理論基礎(chǔ)1.1.5測(cè)地線測(cè)地線：即為該流形上連接兩點(diǎn)局部最短的、連續(xù)參數(shù)化的平滑曲線。

2025/5/2220微分幾何理論基礎(chǔ)

如下式所示：

2025/5/2221微分幾何理論基礎(chǔ)

有且僅當(dāng)：對(duì)所有k,才滿足式2025/5/2222微分幾何理論基礎(chǔ)這種普通的非線性二階微分方程（有時(shí)稱為“測(cè)地線方程”）提供了利用整個(gè)微分方程理論的強(qiáng)大工具來(lái)研究測(cè)地線的進(jìn)一步性質(zhì)，特別是它們的存在性和唯一性，通過(guò)進(jìn)入切叢TM，可以方便地將二階方程變換為兩個(gè)一階方程組。此外，通過(guò)計(jì)算Christoffel符號(hào)并求解這些方程，至少可以在局部坐標(biāo)中計(jì)算測(cè)地線，但這通常與長(zhǎng)計(jì)算相關(guān)。2025/5/2223信息幾何理論基礎(chǔ)指數(shù)分布族(ExponentialFamily)：也稱為指數(shù)族、指數(shù)族分布，是統(tǒng)計(jì)中最重要的參數(shù)分布族。指數(shù)型分布族(exponentialfamily)的概率密度函數(shù)如下：1.2.1指數(shù)分布族

2025/5/2224信息幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/2225信息幾何理論基礎(chǔ)

1.2.2Fisher信息理論

2025/5/2226信息幾何理論基礎(chǔ)Fisher信息定義為分?jǐn)?shù)的方差：

2025/5/2227信息幾何理論基礎(chǔ)

因此，F(xiàn)isher信息可以被視為支持曲線的曲率（對(duì)數(shù)似然圖），并且，在最大似然估計(jì)附近，較低的Fisher信息表明最大值顯得“鈍”，即最大值很淺，并且存在許多具有類似對(duì)數(shù)似然的附近值。相反，高Fisher信息表明最大值很尖銳。2025/5/2228信息幾何理論基礎(chǔ)

Fisher信息矩陣是一個(gè)N×N正半定矩陣。如果它是正定的，那么它定義了N維參數(shù)空間上的黎曼度量。信息幾何使用它來(lái)將Fisher信息矩陣連接到微分幾何，在這種情況下，該度量稱為

Fisher信息度量。2025/5/2229信息幾何理論基礎(chǔ)在一定的規(guī)律性條件下，F(xiàn)isher信息矩陣也可以寫為：如果Fisher信息矩陣是塊對(duì)角矩陣，并且這些分量位于單獨(dú)的塊中，我們稱兩個(gè)參數(shù)分量向量θ1和θ2是信息正交的。2025/5/2230信息幾何理論基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)流形是黎曼流形，其每個(gè)點(diǎn)都是概率分布。統(tǒng)計(jì)流形為信息幾何領(lǐng)域提供了一個(gè)背景。Fisher信息度量提供了這些流形的度量。1.2.3統(tǒng)計(jì)流形

2025/5/2231信息幾何理論基礎(chǔ)

2025/5/2232信息幾何理論基礎(chǔ)自然梯度：是典型梯度的概括，它解釋了當(dāng)前函數(shù)的曲率。1.2.4自然梯度算法

優(yōu)化問(wèn)題中，自然梯度算法能大大提高收斂速度。

2025/5/2233信息幾何理論基礎(chǔ)

自然梯度算法的優(yōu)勢(shì)：自然梯度算法具備考慮參數(shù)空間中概率分布幾何結(jié)構(gòu)的能力，以適當(dāng)?shù)目s放梯度方向方式更加準(zhǔn)確地體現(xiàn)參數(shù)的更新方向，從而提高了優(yōu)化的效果。對(duì)于概率模型訓(xùn)練來(lái)說(shuō)，該算法能通過(guò)適當(dāng)?shù)膮?shù)縮放，防止在參數(shù)空間中某些方向過(guò)度更新，特別是當(dāng)存在高度相關(guān)的參數(shù)時(shí)，更能保證模型收斂的平穩(wěn)性。2025/5/2234Finsler幾何度量：在通常意義下，度量是用來(lái)測(cè)量空間中兩點(diǎn)之間的“距離”，因此從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離函數(shù)稱為度量。1.3.1Finsler度量這里所考慮的空間是一個(gè)有限維光滑流形，所考慮的度量是可以用來(lái)計(jì)算曲線長(zhǎng)度的一個(gè)函數(shù)。更確切地說(shuō)，它是流形上點(diǎn)和切向量的函數(shù)。2025/5/2235Finsler幾何

2025/5/2236Finsler幾何構(gòu)成正定的矩陣，則稱F為M上的一個(gè)芬斯勒度量(Finslermetric)。

2025/5/2237Finsler幾何Randers度量

2025/5/2238Finsler幾何

1.3.2Finsler聯(lián)絡(luò)

2025/5/2239Finsler幾何根據(jù)以下屬性：

2025/5/2240Finsler幾何

2025/5/2241Finsler幾何仿射系數(shù)不是張量場(chǎng)的組成部分，可以證明，在坐標(biāo)變化下，它們服從變換定律：

2025/5/2242Finsler幾何介紹其中一種芬斯勒聯(lián)絡(luò)陳聯(lián)絡(luò)：

2025/5/2243Finsler幾何

2025/5/2244Finsler幾何

1.3.3Finsler測(cè)地線

2025/5/2245Finsler幾何

2025/5/2246Finsler幾何

2025/5/2247Finsler幾何Finsler流形中的Ricci曲率是一個(gè)二階張量，描述了Finsler流形切叢上切矢量場(chǎng)的曲率。Ricci曲率的計(jì)算涉及到Finlser度量的二次導(dǎo)數(shù)和聯(lián)絡(luò)系數(shù)(Christoffel符號(hào))。1.3.4Ricci曲率

2025/5/2248Finsler幾何里奇曲率張量,其中：里奇曲率張量也可以表示為，其中：2025/5/2249Finsler幾何

其中。里奇曲率張量可以通過(guò)其垂直的Hessian矩陣來(lái)恢復(fù)：2025/5/2250Finsler幾何

2025/5/2251Finsler幾何將里奇曲率張量的概念推廣到芬斯勒度量上可以表示為：

2025/5/2252Finsler幾何

2025/5/2253小結(jié)本章旨在介紹微分幾何、信息幾何及Fi