第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編排列與組合一、單選題1．（2025北京西城高二上期末）從數(shù)字中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2025北京昌平高二上期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（2025北京北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期末）某學(xué)校4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2024北京平谷高二上期末）已知展臺(tái)上四個(gè)盲盒中裝有由卡通動(dòng)漫人物設(shè)計(jì)的四款不同的產(chǎn)品，學(xué)生甲喜歡其中的一款.甲從四個(gè)盲盒中抽選兩個(gè)，則“學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款”的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024北京昌平高二上期末）為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運(yùn)會(huì)，學(xué)校開(kāi)展了“爭(zhēng)做運(yùn)動(dòng)達(dá)人，喜迎杭州亞運(yùn)”活動(dòng).現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動(dòng)，則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為（

）A．20 B．30 C．35 D．606．（2024北京西城高二上期末）在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)，則這3個(gè)頂點(diǎn)恰好不在同一個(gè)表面正方形中的選法有（

）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種7．（2024北京石景山高二上期末）用可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．20 C．16 D．158．（2024北京西城高二上期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．14409．（2023北京西城高二上期末）2名輔導(dǎo)教師與3名獲獎(jiǎng)學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種10．（2023北京懷柔高二上期末）從7個(gè)人中選4人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人員不重復(fù)，則不同安排方式的種數(shù)可表示為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2025北京平谷高二上期末）將2名男生和1名女生隨機(jī)排成一排，則2名男生相鄰的概率為.12．（2025北京大興高二上期末）若，則．13．（2024北京海淀高二上期末）從數(shù)字1，2，3，4中選出3個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)共有個(gè)．14．（2024北京昌平高二上期末）北京的三條文化帶——大運(yùn)河文化帶、長(zhǎng)城文化帶、西山永定河文化帶，是北京文化脈絡(luò)乃至中華文明的精華所在.為了讓同學(xué)們了解這三條文化帶的內(nèi)涵，現(xiàn)從4名老師中選3名老師，每人講述一條文化帶，每條文化帶由一名老師講述，則不同的分配方案種數(shù)是.15．（2023北京人大附中高二上期末）現(xiàn)有6人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有種．（用數(shù)字作答）三、解答題16．（2025北京西城高二上期末）某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了種不同的葷菜和種不同的素菜.(1)當(dāng)時(shí)，若每份學(xué)生餐有葷素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？(2)若每位學(xué)生可以任選葷素，要保證至少有種以上的不同選擇，求的最小值.17．（2025北京北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期末）某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名．(1)將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？(2)從6名中選出3人參加某公益活動(dòng)．（i）共有多少種不同的選擇方法？（ii）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？18．（2024北京海淀高二上期末）某區(qū)12月10日至23日的天氣情況如圖所示．如：15日是晴天，最低溫度是零下9℃，最高溫度是零下4℃，當(dāng)天溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）是5℃．

(1)從10日至21日某天開(kāi)始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，求這三天中至少有兩天是晴天的概率：(2)從11日至20日中隨機(jī)抽取兩天，求恰好有一天溫差不高于5℃的概率：(3)已知該區(qū)當(dāng)月24日的最低溫度是零下10℃．12日至15日溫差的方差為，21日至24日溫差的方差為，若，請(qǐng)直接寫出24日的最高溫度．（結(jié)論不要求證明）（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）19．（2024北京西城高二上期末）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)若要求選出的3名志愿者中有2男1女，且他們分別從事經(jīng)濟(jì)?文化和民生方面的問(wèn)卷調(diào)查工作，求共有多少種不同的選派方法？20．（2024北京西城高二上期末）課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男?女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)參加該活動(dòng)；(2)至多有兩名女生參加該活動(dòng).21．（2023北京西城高二上期末）從4男3女共7名志愿者中，選出3人參加社區(qū)義務(wù)勞動(dòng).(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)若要求選中的3人性別不能都相同，求共有多少種不同的選擇方法？

參考答案1．C【分析】分別討論和為6的情況，再結(jié)合排列組合概念即可求解；【詳解】三個(gè)數(shù)字和為6的情況有：222,114,123，對(duì)于3個(gè)2的排列只有1個(gè)；對(duì)于1，1，4的排列有個(gè)，對(duì)于1，2，3的排列有個(gè)，所以這樣的三位數(shù)有10個(gè)，故選：C2．C【分析】利用插空法可得.【詳解】由題意，先把3位男生排成一排，然后將2位女生插入3個(gè)男生中間或兩邊，不同的站法共種，故選：C3．D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先從4人中選出2人作為一組，有種方法，再與另外2人一起進(jìn)行排列，有種方法，相乘即可得到答案.【詳解】4名學(xué)生分到3個(gè)小區(qū)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，∴4名同學(xué)不同的分組方法只能為2，1，1，∴不同的安排方法有(種).故選：D.4．D【分析】根據(jù)題意，根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算，求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，甲四個(gè)盲盒中抽選兩個(gè)，共有種不同的選法，其中學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款，有種不同的選法，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為.故選：D.5．B【分析】根據(jù)題意，分為兩類：一男兩女或兩男一女，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩類：一男兩女或兩男一女，當(dāng)一男兩女時(shí)，有種不同的選法；當(dāng)兩男一女時(shí)，有種不同的選法，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法.故選：B.6．C【分析】根據(jù)題意可知共種選法，由正方體性質(zhì)可知在6個(gè)表面中選取3個(gè)點(diǎn)的情況不合題意，共種，即可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：在正方體中，共有6個(gè)表面，在這6個(gè)表面內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，共有種；在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)共有種；所以這3個(gè)頂點(diǎn)恰好不在同一個(gè)表面中的選法共有種.故選：C7．C【分析】利用間接法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】從中任選兩個(gè)數(shù)字，組成兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)，其中數(shù)字0排首位的有4個(gè)，所以滿足條件的兩位數(shù)有個(gè).故選：C8．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法和插空法，即可求解.【詳解】把甲乙捆綁成一個(gè)元素，則題設(shè)中的7個(gè)元素變?yōu)?個(gè)元素，先排除去丙的5個(gè)元素，共有種排法，再在中間的4個(gè)空隙中，插入丙，共有種插法，所以甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有種.故選：B.9．B【分析】先排好教師再排學(xué)生即可.【詳解】2名教師排在兩邊有種排法，3名學(xué)生排在中間有種排法，所以共有種排法；故選：B.10．D【分析】用分步計(jì)數(shù)原理.先選出2人安排在第一天，再選出2人安排在后兩天，將結(jié)果乘起來(lái)即可.【詳解】用分步計(jì)數(shù)原理.第一步，從7個(gè)人中選2人的負(fù)責(zé)值班第一天，不同安排方式的種數(shù)；第二步，剩余5人選取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的種數(shù).所以，不同安排方式的種數(shù)可表示為.故選：D.11．【分析】利用“相鄰”問(wèn)題捆綁法求得2名男生相鄰的排法數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式即可求得概率.【詳解】將2名男生和1名女生隨機(jī)排成一排，方法數(shù)有種，而2名男生相鄰的排法數(shù)有種，由古典概型概率公式，可得2名男生相鄰的概率為.故答案為：.12．【分析】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】若，則，解得，或舍去.故答案為：.13．72【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理與插空法即可得解.【詳解】根據(jù)題意，完成這個(gè)事情可分為三步：第一步驟：選數(shù)字，有種；第二個(gè)步驟：將選好的三個(gè)數(shù)字確定一個(gè)重復(fù)的數(shù)字，有種，第三個(gè)步驟：安排這三個(gè)數(shù)字在四個(gè)位置上，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，即先安排兩個(gè)不同的數(shù)字，再讓兩個(gè)相同的數(shù)字去插空，則有種排序方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得這樣的四位數(shù)共有：個(gè).故答案：14．24【分析】根據(jù)排列的含義結(jié)合排列數(shù)的計(jì)算，即可得答案.【詳解】從4名老師中選3名老師，每人講述一條文化帶，每條文化帶由一名老師講述，相當(dāng)于從4個(gè)不同元素中選3個(gè)元素的排列問(wèn)題，則不同的分配方案種數(shù)為，故答案為：2415．【分析】先將除甲、乙之外的其他人排列，再安排甲、乙兩人即可.【詳解】先排除甲、乙之外的其他人有，此時(shí)中間形成3個(gè)空隙，再把甲安排到這個(gè)位置上，有種方法.由于甲、乙不相鄰，再把乙放在包括端點(diǎn)的其他個(gè)位置上，有種方法，∴共有種．故答案為：288.16．(1)(2)【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出不同的選擇方法種數(shù)；（2）利用組合計(jì)數(shù)原理可得出每位學(xué)生的不同選擇方法種數(shù)，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，由此可求得正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，學(xué)校共有種不同的葷菜和種不同的素菜，若每份學(xué)生餐有葷素，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇方法為（種）.（2）從種不同的葷菜和種不同的素菜中，任取葷素，不同的選擇方法為（種）.由題意，得，整理可得，

因?yàn)?，所以，所以的最小值?17．(1)480(2)20，16【分析】（1）根據(jù)插空法即可求解；（2）根據(jù)組合定義即可求解（i）；用“6名學(xué)生中選出3人參加某公益活動(dòng)”所有情況減去“6名學(xué)生中選出3名男生參加某公益活動(dòng)”的情況即可求解（ii）．【詳解】（1）男生先排有種，女生插空有種，所以共有種不同排法．（2）（i）6名中選出3人共有種方法；（ii）6名中選出3名男生有種方法，所以至少有1位女生入選，共有種不同的選擇方法．18．(1)；(2)；(3)0℃.【分析】（1）根據(jù)給定信息，利用古典概率公式列式計(jì)算即得.（2）利用組合求出試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，所求概率的事件所含基本事件數(shù)，再利用古典概率求解即得.（3）利用平均數(shù)、方差公式計(jì)算，求出24日的溫差即可得解.【詳解】（1）設(shè)“這三天中至少有兩天是晴天”為事件A，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天共有12個(gè)基本事件，事件A共有8個(gè)基本事件，所以.（2）從11日至20日中隨機(jī)抽取兩天共有個(gè)基本事件，設(shè)“恰好有一天溫差不高于5℃”為事件B，不高于5℃有11日，12日，13日，14日，15日，16日，20日，事件B有個(gè)基本事件，所以.（3）顯然12日至15日溫差為4，2，5，5，平均數(shù)為4，方差，21日至24日溫差為8，11，11，a，平均數(shù)為，方差，依題意，，即，整理得，解得，而24日的最低溫度是零下10℃，所以24日的最高溫度是0℃.19．(1)120(2)360【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)，求選擇的方法數(shù)；（2）利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算，求選派的方法數(shù).【詳解】（1）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，選擇方法數(shù)為種.（2）從10名志愿者中選2男1女，選擇方法數(shù)共有種，故從10名志愿者中選2男1女，且分別從事經(jīng)濟(jì)?文化和民生方面的問(wèn)卷調(diào)查工作的選派方法數(shù)為種.20．(1)825；(2)966.【分析】（1）分有一