第九章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體9.2.2總體百分位數(shù)的估計新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀學(xué)科核心素養(yǎng)結(jié)合實例，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.數(shù)學(xué)抽象能用樣本估計總體百分位數(shù).數(shù)學(xué)運算教材梳理明要點某省學(xué)業(yè)水平考試結(jié)果揭曉，根據(jù)規(guī)定，0.8%的同學(xué)需要補考．問題你知道如何確定需要補考的分?jǐn)?shù)線嗎？

情境導(dǎo)入?[提示][提示]一般地，考試成績的第0.8百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有0.8%的分?jǐn)?shù)小于或等于這個值，且至少有(100－0.8)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．知識點百分位數(shù)1．第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有________的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．新知初探p%2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按___________排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝____________；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第_____項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的_________.3．四分位數(shù)________________，________________，________________.這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．從小到大n×p%j平均數(shù)第25百分位數(shù)第50百分位數(shù)第75百分位數(shù)想一想1．班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？提示：不是．是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比．2．“這次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？提示：有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績小于或等于85分．1．判斷(1)一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．(

)(2)第0百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中的最小的數(shù)，第100百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中的最大的數(shù)．(

)(3)一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù)．(

)【答案】

(1)√

(2)√

(3)√預(yù)習(xí)自測2．某讀書會有6名成員，寒假期間他們每個人閱讀的書本數(shù)分別如下：3，2，5，4，3，1，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為(

)A．3 B．4C．3.5 D．4.5【答案】

B【解析】

由題意，這組數(shù)從小到大排列順序為：1，2，3，3，4，5，由6×75%＝4.5，可得這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第5個數(shù)為4.故選B．題型探究提技能題型一總體百分位數(shù)的估計【解析】

把這40名男生的身高數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得151

156

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174

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180由25%×40＝10，50%×40＝20，75%×40＝30，可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為161.5，第50百分位數(shù)為166，第75百分位數(shù)為168.5.據(jù)此可估計該校高二男生身高的第25，50，75百分位數(shù)分別約為161.5，166和168.5.?[方法總結(jié)1][方法總結(jié)1]總體百分位數(shù)估計需要注意的兩個問題(1)總體百分位數(shù)估計的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計算，因此計算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；(2)由于樣本量比較少，因此對總體的估計可能存在誤差，因此對總體百分位數(shù)的估計一般是估計值而非精確值．１某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：421，399，445，359，415，443，367，454，368，375，392，400，423，405，412，427，414，423，430，388，430，357，434，445，451試估計該品種小麥畝產(chǎn)的第80，95百分位數(shù)．【解析】

將25個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454由80%×25＝20，95%×25＝23.75，可知樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為438.5，第95百分位數(shù)為第24項數(shù)據(jù)，為451.據(jù)此估計該品種小麥畝產(chǎn)的第80，95百分位數(shù)分別約為438.5和451.2.某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層隨機抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))．題型二由頻數(shù)(頻率)分布表求百分位數(shù)(1)A類工人中和B類工人中各應(yīng)抽查多少人？(2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表①和表②.表①生產(chǎn)能力分組[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人數(shù)48x53表②生產(chǎn)能力分組[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人數(shù)6y3618先確定x，y的值，再分別計算A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)(保留兩位小數(shù))．(2)由題意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.A類工人生產(chǎn)能力頻率分布表為生產(chǎn)能力分組[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]頻率0.160.320.200.200.12由頻率分布表可知，A類工人生產(chǎn)能力在120以下的所占比例為16%＋32%＝48%，A類工人生產(chǎn)能力在130以下的所占比例為48%＋20%＝68%，因此，60%分位數(shù)一定位于[120，130)內(nèi)．可以估計A類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為126.B類工人生產(chǎn)能力頻率分布表為由頻率分布表可知，B類工人生產(chǎn)能力在130以下的所占比例為8%＋20%＝28%，B類工人生產(chǎn)能力在140以下的所占比例為28%＋48%＝76%，因此，60%分位數(shù)一定位于[130，140)內(nèi)．可以估計B類工人生產(chǎn)能力的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)約為136.67.生產(chǎn)能力分組[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]頻率0.080.200.480.24?[方法總結(jié)2][方法總結(jié)2]由頻率(頻數(shù))分布表求百分位數(shù)的方法(1)確定p%分位數(shù)所在區(qū)間[a，b)(并計算小于a的所有數(shù)據(jù)的頻率fa和小于b的所有數(shù)據(jù)的頻率fb)，即p%∈(fa，fb)；2從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲取了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表如下：排號分組頻數(shù)頻率1[0，2)60.062[2，4)80.083[4，6)17b4[6，8)220.225[8，10)250.256[10，12)120.12(1)求頻率分布表中a，b的值；(2)計算50%分位數(shù)，并估計是否有50%的學(xué)生的閱讀時間達到7.68.排號分組頻數(shù)頻率7[12，14)a0.068[14，16)20.029[16，18]20.02合計1001

(2)閱讀時間小于6小時的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31，閱讀時間小于8小時的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53，所以50%分位數(shù)在[6，8)內(nèi)，因為7.73＞7.68，所以估計有50%的學(xué)生的閱讀時間達到7.68.3．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組(第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45])，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人．題型三由頻率分布直方圖求百分位數(shù)(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)以下是參賽的10人的成績：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求這10人成績的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價參賽人員對“一帶一路”的認(rèn)知程度．(2)由圖可知年齡低于30歲的所占比例為40%，年齡低于35歲的所占比例為70%，所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)在[30，35)內(nèi)，所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)為32.(3)把參賽的10人的成績按從小到大的順序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，評價：從20%分位數(shù)和平均數(shù)來看，參賽人員的認(rèn)知程度較高．?[方法總結(jié)3][方法總結(jié)3]由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的思路(1)頻率分布直方圖中p%分位數(shù)表示左側(cè)小矩形的面積之和等于p%的分點值；(2)由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法與由頻率分布表求百分位數(shù)的方法相同；(3)根據(jù)一組數(shù)據(jù)的直方圖來估計這組數(shù)據(jù)的p%分位數(shù)時，直方圖的分組越多，組距越小，樣本數(shù)據(jù)的信息損失越少，估計效果越好．3為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，你能估計一下60株樹木的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)嗎？【解析】

由題意知在[80，100)上的頻率為0.4，在[100，110)上的頻率為0.3，在[110，120)上的頻率為0.2，可知第50百分位數(shù)一定落在區(qū)間[100，110)上，綜上可知，第50百分位數(shù)和第70百分位數(shù)的估計值分別為103.3cm，112.5cm.隨堂檢測重反饋1．下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(

)2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A．3.2 B．3.0C．4.4 D．2.5【答案】

A【解析】

把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù)．2．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：78，70，72，86，88，79