第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南師大附中高一（下）期中考試 數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)z=5+i，則i(z?+z)=A.10i B.2i C.10 D.?22.已知正方形ABCD的邊長為1，AB=a,BC=bA.0 B.3 C.2 D.3.已知三條不同的直線l，m，n和兩個不同的平面α，β，下列四個命題中正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若l//α，m?α，則l//m

C.若α⊥β，l?α，則l⊥β D.若l//α，l⊥β，則α⊥β4.已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為3，AB=2，A.2π B.4π C.8π D.10π5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.對任意點P，DP//平面AB1D1

B.三棱錐P?A1DD1的體積為16

C.線段DP長度的最小值為66.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是邊長為4的正三角形，AA1=2，N為棱A1B1上的中點，M為棱CC1上的動點，過N作平面ABMA.π6

B.π4

C.π3

7.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=π3.半圓面AMD⊥底面ABCD，點M為圓弧AD上的動點.當(dāng)三棱錐M?BCD的體積最大時，二面角M?BC?D的余弦值為A.32 B.12 C.8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，(a+c)(sinA?sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，CA=3CD?2CB，則線段CDA.2 B.223 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA=(3b?c)sinB，且cosA=13，則下列結(jié)論正確的是A.a+c=3b B.tanA=22

C.△ABC的周長為4c D.△ABC10.《九章算術(shù)》里說：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”.如圖，底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，沿截面PAC將一個“塹堵”截成兩部分，其三棱錐稱為“鱉臑”.在鱉臑P?ABC中，PA⊥AB，AB=2，其外接球的體積為32π3，當(dāng)此鱉臑的體積V最大時，下列結(jié)論正確的是(

)A.PA=BC=6

B.V=6

C.直線PC與平面PAB所成角的正弦值64

D.11.對非零向量a,b，定義運算“(?)”：a(?)b=|a|cosθ+|b|sinθ，其中A.若a//b，則|a(?)b|=|a|

B.若a=(?1,2),b=(?3,1)，則(a?b)(?)a=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+32?mPC(m為常數(shù))，則13.設(shè)e1，e2為單位向量，滿足|2e1?e2|≤2，a=e114.在三棱錐P?ABC中，∠ABC=60°，∠PBA=∠PCA=90°，點P到底面ABC的距離為2，若三棱錐P?ABC的外接球表面積為6π，則AC的長為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a,b,c，且a=(?2,1)．

(1)若a//c，且|c|=25，求向量c的坐標(biāo)；

(2)若b16.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，在底面ABCD中，BC=23AD，E在棱PD上且PE=2ED．

(1)求證：BC//平面PAD；

(2)線段AD上是否存在點N，使得平面CEN//平面PAB17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanA+tanB=23c2a2+c2?b2．

(1)求角A18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2C+sin2B=2?cos2A?sinAsinC．

(1)求角B；

(2)若∠ABC的角平分線交AC于點D，a=3，c=4，求BD；

19.(本小題17分)

如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a．

(1)過正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點A，B，C1截下一個三棱錐B1?A1BC1，求正方體剩余部分的體積；

(2)若M，N分別是棱AB，

參考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.D

6.C

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.0/1813.282914.315.解：(1)設(shè)c=(x,y),a=(?2,1)，

∵a//c，

∴x=?2y，

又|c|=25，

∴x2+y2=625，

∴y2=125，

∴y=±55，

∴x=?10516.(1)證明：因為BC=23AD，所以BC//AD，

所以BC//AD，

因為AD?平面PAD，BC?平面PAD，

所以BC//平面PAD；

(2)解：存在，且當(dāng)點N為AD上靠近D點三等分點時，

即ANAD=23時，平面CEN//平面PAB．

下面給出證明：

因為BC=23AD，所以BC//AD，BC=23AD，

又因為點N為AD上靠近D點三等分點，所以AN=23AD，

所以BC//AN，BC=AN，

所以四邊形ABCN為平行四邊形，所以CN//AB，

又因為AB?平面PAB，CN?平面PAB，

所以CN//平面PAB，

因為E在棱PD上且PE=2ED，即DE=13PD，

又因為ND=13AD，所以△END～△PAD，

所以EN//PA，又PA?平面PAB，EN?17.解：(1)因為tanA+tanB=23c2a2+c2?b2，

由余弦定理及正弦定理得：

tanA+tanB=23c22accosB=3cacosB=3sinCsinAcosB，

則tanA+tanB=3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB

=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，

又△ABC是銳角三角形，所以sinC>0，cosB>0，

所以sinA=3cosA，所以tanA=3，

又A∈(0,π2)18.解：(1)因為cos2C+sin2B=2?cos2A?sinAsinC，

可得sin2B=(1?cos2A)+(1?cos2C)?sinAsinC=sin2A+sin2C?sinAsinC，

由正弦定理得b2=a2+c2?ac，

由余弦定理可得b2=a2+c2?2accosB，

可得cosB=12，

且0<B<π，

所以B=π3；

(2)因為∠ABC的角平分線交AC于點D，a=3，c=4，可知∠ABD=∠CBD=π6，

因為S△ABC=19.解：(1)因為正方體ABCD?A1B1C1D1，所以BB1⊥平面A1B1C1，

則BB1為三棱錐B?A1B1C1的高，∵S△ABC=12a2，BB1=a，

則VB1?A1BC1=VB?A1B1C1=13×a×12a2=16a3，

則正方體剩余部分的體積為a3?16a3