第十八講第十八講陣列問(wèn)題 上一講討論了有關(guān)直線和環(huán)形上的排列問(wèn)題，其實(shí)在日常生活中我們遇到的更多是排成一個(gè)陣列，最常見(jiàn)的就是正方形陣和長(zhǎng)方形陣，例如： 其中正方形陣又可以簡(jiǎn)稱為方陣，這就是本講主要討論的問(wèn)題，前圖中的小山羊、卡莉婭和蛋糕就一起組成了一個(gè)三層的方陣，大家可以仔細(xì)觀察圖中小山羊、卡莉婭和蛋糕的位置和數(shù)量，從中找出一些關(guān)于方陣的規(guī)律來(lái)．先來(lái)看看小山羊的數(shù)量，一邊上有6個(gè)小山羊，一共有20只小山羊，并不是只，因?yàn)榻锹渖系男∩窖蚨急凰懔?次，要減去多算的1次，所以有只．?dāng)?shù)一數(shù)，圖中小山羊比卡莉婭多幾個(gè)？卡莉婭又比蛋糕多了幾個(gè)？不難發(fā)現(xiàn)，每個(gè)方向上的小山羊要比卡莉婭多2個(gè)，每個(gè)方向上的卡莉婭要比蛋糕多2個(gè)，而小山羊、卡莉婭和蛋糕分別占據(jù)了這個(gè)方陣的三層，并且小山羊比卡莉婭多8個(gè)，卡莉婭比蛋糕多8個(gè)．一般來(lái)說(shuō)：方陣?yán)锵噜彽膬蓪又g每條邊上的人數(shù)差2，而每層的人數(shù)總和差8．但只有一種情況下不符合這條規(guī)律：當(dāng)這個(gè)方陣最里層只有1個(gè)人的時(shí)候此層不符合．若干名同學(xué)站成一個(gè)的方陣，請(qǐng)問(wèn)：最外層一共有多少人？這個(gè)方陣一共有多少層？從里向外的第七層有多少人？「分析」方陣的最外一層每邊有15人，是不是最外面一層共有人呢？練習(xí)：一批同學(xué)站成一個(gè)的方陣，請(qǐng)問(wèn)：最外一層共有多少人？從外向里的第3層有多少人？一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有44人，請(qǐng)問(wèn)：

（1）這個(gè)方陣共有多少人？

（2）如果讓這個(gè)方陣減少一行一列，一共需要減少多少人？「分析」（1）這個(gè)方陣最外一層每邊有多少人？（2）減少一行一列，那么最外一層每邊多少人？練習(xí)：一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有36人，如果要讓這個(gè)方陣增加一行一列，需要增加多少人？前兩個(gè)例題是有關(guān)實(shí)心方陣的，相比之下空心方陣的問(wèn)題要稍難一些，而“相鄰層每邊差2，總?cè)藬?shù)差8”仍然適用．某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生120人，排成一個(gè)三層的空心方陣．這個(gè)方陣最外層每邊有多少人？如果在外面加一層，變成一個(gè)四層的空心方陣，那應(yīng)該增加幾個(gè)人？如果在內(nèi)部再加一層，變成一個(gè)五層的空心方陣，那么還需要增加幾個(gè)人？「分析」要回答后面兩問(wèn)，第一問(wèn)是關(guān)鍵，所以搞清楚這三層每邊的人數(shù)，就可以了解方陣的結(jié)構(gòu)．然后解決這個(gè)問(wèn)題．練習(xí)：共有240人排成一個(gè)5層空心方陣，這個(gè)方陣最里面一層每邊多少人？如果要在內(nèi)部加一層，變成6層空心方陣，還需要增加多少人？用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個(gè)墻面最外圈鋪的是紅色瓷磚，由外到內(nèi)的第二圈是綠色瓷磚，第三圈是紅色瓷磚，第四圈又是綠色瓷磚，……，這樣依次鋪下去．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)墻面上哪種顏色的瓷磚更多？?jī)煞N瓷磚相差多少塊？「分析」先不看顏色，400塊瓷磚一共鋪了多少層？最外面一層是紅色，那么最里面一層是什么顏色呢？

練習(xí)：用黑、白兩種顏色的正方形瓷磚共256塊鋪滿一面正方形的墻，最外一層是黑色，第二層是白色，第三層是黑色，……，這樣下去，那么整面墻上共有黑色瓷磚多少塊？圖4圖41個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)5個(gè)6個(gè)7個(gè)右圖就是一個(gè)每邊7人的三角形陣列．如果我們從上往下數(shù)，就會(huì)發(fā)覺(jué)人數(shù)正好構(gòu)成一個(gè)自然數(shù)列．最上面那層是1個(gè)人，第二層是2個(gè)人，第三層是3人，……，最后一層正好是7個(gè)人，總數(shù)就等于1234567=28．由此可見(jiàn)，只要知道三角形陣列的大小，就可以從上往下把總?cè)藬?shù)加出來(lái)．上圖是一個(gè)每邊7人的陣列，所以總?cè)藬?shù)正好是1一直加到7，如果是每邊8個(gè)人，總?cè)藬?shù)就應(yīng)該是從1一直加到8．如果每邊人數(shù)是n，那總?cè)藬?shù)就是：

這就是實(shí)心三角形陣列總數(shù)的求法．下面來(lái)看一個(gè)有關(guān)三角形陣列的問(wèn)題．

草地草地草地水池ABC如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個(gè)水池構(gòu)成．現(xiàn)在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點(diǎn)都種上（即圖中的A、B、C草地草地草地水池ABC「分析」總共有三片草地，每一片草地上應(yīng)該種多少朵花？有沒(méi)有花同時(shí)算在兩片草地里的？在學(xué)校的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，同學(xué)們集體表演一個(gè)節(jié)目，站成了一個(gè)空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內(nèi)一共8層，分別站著兩層六年級(jí)的同學(xué)、兩層五年級(jí)的同學(xué)、兩層四年級(jí)的同學(xué)以及兩層三年級(jí)的同學(xué)．已知參加表演的六年級(jí)同學(xué)有126名，那么：

（1）最外層有多少人？

（2）現(xiàn)在陣列中一共有多少人？

（3）如果想要讓一、二年級(jí)的同學(xué)把這個(gè)空心陣列填滿，還需要多少人？課堂內(nèi)外課堂內(nèi)外自公元前333年的伊薩斯之戰(zhàn)和公元前332年的高伽米拉會(huì)戰(zhàn)以來(lái)，馬其頓方陣的威名傳遍了古代地中海區(qū)域，馬其頓的敵人提起馬其頓方陣就會(huì)感到顫栗，因?yàn)閬啔v山大大帝使得方陣變成了一種傳奇：他是不可戰(zhàn)勝的．馬其頓方陣，是一種早期步兵作戰(zhàn)時(shí)的戰(zhàn)術(shù)．在荷馬時(shí)代以前，步兵打起仗來(lái)像一窩蜂似地雜亂無(wú)章，所以，具有嚴(yán)格陣法的馬其頓方陣能輕易地打敗數(shù)量上占優(yōu)勢(shì)但較混亂的敵人，這在當(dāng)時(shí)可以說(shuō)是戰(zhàn)術(shù)上的創(chuàng)新．古代戰(zhàn)爭(zhēng)同現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)一樣，戰(zhàn)術(shù)也是很重要的因素．馬拉松之戰(zhàn)希臘人之所以大勝波斯人，主要就是在戰(zhàn)術(shù)上占了上風(fēng)．.馬其頓方陣作業(yè)：請(qǐng)問(wèn)：一個(gè)的方陣中，最外一層共有多少人？從里向外的第3層有多少人？一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有56人，那么這個(gè)方陣一共有多少人？共有200人排成一個(gè)5層空心方陣，這個(gè)方陣最外面一層每邊多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？用白、藍(lán)兩種顏色的正