第二十三講行程問題超越提高基本行程、相遇與追及：行程問題的基本公式：相遇問題：

；；．追及問題：

；；．火車問題：火車過橋：；火車過人問題：人站立不動(dòng)：過人的速度為火車本身的速度，路程為火車的車長．人迎向火車：過人的速度為人與火車的速度之和，路程為火車的車長．人背向火車：過人的速度為火車與人的速度之差，路程為火車的車長．火車錯(cuò)車問題：快車追上并超過慢車：路程差等于兩車的車長之和．兩車相遇并錯(cuò)車：路程和等于兩車的車長之和．流水行船問題：；．環(huán)形路線問題：從同一點(diǎn)出發(fā)反向而行：相遇的路程和為環(huán)形路線一圈的長度．從同一點(diǎn)出發(fā)同向而行：追及的路程差為環(huán)形路線一圈的長度．在環(huán)形問題中，運(yùn)動(dòng)總是呈現(xiàn)出很強(qiáng)的周期性．多次往返運(yùn)動(dòng)：從兩端出發(fā)，相向而行：第1，2，3，4……次迎面相遇的路程和分別為1，3，5，7，……個(gè)全程．從兩端出發(fā)，相向而行：第1，2，3，4，……次背后追及的路程差分別為1，3，5，7，……個(gè)全程．從同一端點(diǎn)出發(fā)，同向而行：第1，2，3，4，……次迎面相遇的路程和為2，4，6，8，……個(gè)全程．從同一端點(diǎn)出發(fā)，同向而行：第1，2，3，4，……次背后追及的路程差為2，4，6，8，……個(gè)全程．特別地：在端點(diǎn)處相遇，既算迎面相遇也算追及．常用的解題方法：通過畫線段圖使對象的行程過程以圖形的形式直觀體現(xiàn)出來；分段比較尋找隱藏的數(shù)量關(guān)系；比例方法的運(yùn)用對于解題是非常重要的；方程思想的靈活運(yùn)用，會(huì)使解題事半功倍；周期思想經(jīng)常在求解多次相遇問題中用到；解題技巧和思想還有很多這里就不一一列舉了．總之，題無定法，關(guān)鍵是大家找要到適合自己思維習(xí)慣、適合題目特征的解題方法，切勿就題論題，只見樹木，不見森林，否則遲早迷失在題目的海洋里．小明從家去學(xué)校，出門一段時(shí)間后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明未帶鉛筆盒，便騎車去追他；兩人相遇后爸爸立即回家，小明繼續(xù)向?qū)W校走；爸爸到家后又發(fā)現(xiàn)小明未帶作業(yè)本，拿著本再騎車去追他，而小明到學(xué)校后也發(fā)現(xiàn)了未帶作業(yè)本，于是跑回家去拿，與爸爸在途中相遇．已知兩次相遇地點(diǎn)重合，相遇之后相差8分鐘，且爸爸騎車的速度和小明跑步的速度分別是小明步行速度的4倍和3倍．那么小明步行從家到學(xué)校需要多少分鐘？

「分析」本題可以先畫出線段圖，然后分段比較，根據(jù)題目中已知的速度關(guān)系尋找圖中路程關(guān)系．

練習(xí)1、小明從家去學(xué)校，出門一段時(shí)間后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明未帶鉛筆盒，便騎車去追他；兩人相遇后爸爸立即回家，小明繼續(xù)向?qū)W校走；爸爸到家后又發(fā)現(xiàn)小明未帶作業(yè)本，拿著作業(yè)本再次騎車去追他，恰好在學(xué)校門口追上小明．已知兩次相遇相隔8分鐘，且爸爸騎車的速度是小明步行速度的5倍．那么小明從家步行到學(xué)校需要多少分鐘？

ABCOABCOA、B、C、O四個(gè)小鎮(zhèn)如圖分布．其中A、O兩鎮(zhèn)相距20千米，B、O兩鎮(zhèn)相距30千米．某天甲、乙二人同時(shí)從B出發(fā)，甲經(jīng)O鎮(zhèn)再向A鎮(zhèn)走，到達(dá)A鎮(zhèn)后又立刻返回，而乙到達(dá)O鎮(zhèn)后直接向C行進(jìn)；丙從C鎮(zhèn)與甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，在距離O鎮(zhèn)15千米處與乙相遇；當(dāng)丙到達(dá)O鎮(zhèn)后又向A鎮(zhèn)前行，在與O鎮(zhèn)相距6千米的地方與甲相遇．已知甲、乙的速度比為8:9，求O、C兩鎮(zhèn)之間的距離．

「分析」本題可以分段計(jì)算即可，注意比例計(jì)算的應(yīng)用．

練習(xí)2、A、B、C、O四個(gè)小鎮(zhèn)如圖分布．其中A、O兩鎮(zhèn)相距4千米，B、O兩鎮(zhèn)相距6千米．某天甲、乙二人同時(shí)從B出發(fā)，甲經(jīng)O鎮(zhèn)再向A鎮(zhèn)走，到達(dá)A鎮(zhèn)后又立刻返回，而乙到達(dá)O鎮(zhèn)后直接向C行進(jìn)；丙從C鎮(zhèn)與甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，在距離O鎮(zhèn)3千米處與乙相遇；當(dāng)丙到達(dá)O鎮(zhèn)后又向A鎮(zhèn)前行，在與O鎮(zhèn)相距2千米的地方與甲相遇．已知甲、乙的速度比為2:3，求O、C兩鎮(zhèn)之間的距離．

ABCOABCO阿呆和阿瓜要從公園門口沿馬路向東去博物館，而他們回家則要從公園門口沿馬路向西行．他們商量是先回家取車，再騎到博物館；還是直接從公園門口走到博物館．小高算了一下：如果從公園到博物館距離超過2千米，則回家取車比較省時(shí)間；如果公園和博物館的距離不足2千米，則直接走過去省時(shí)間．若騎車與步行的速度比為，那么公園門口到他們家的距離是多少千米？

「分析」本題可以先假設(shè)公園和博物館的距離恰好2千米．

練習(xí)3、姐弟倆正要從博物館門口沿馬路向西去公園，而他們回家則要從公園門口沿馬路向東行．他們商量是先回家取車，再騎到公園，還是直接從博物館門口走到公園．姐姐算了一下：如果從博物館到公園距離超過2千米，則回家取車比較省時(shí)間；如果公園和博物館的距離不足2千米，那么直接走過去省時(shí)間．已知騎車與步行的速度比為，那么博物館門口到他們家的距離是多少千米？

徐老師的司機(jī)每天都開車在下午5時(shí)準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校接徐老師回家．有一天，徐老師下午4時(shí)從學(xué)校出發(fā)，中途被司機(jī)接上了車，結(jié)果比平常提前20分鐘到家．第二天，徐老師下午4:30從學(xué)校出發(fā)，再次中途上車，那么他將早多少分鐘到家？

「分析」本題可以先畫出線段圖，注意題目中汽車的路程是徐老師走的路程的兩倍．

練習(xí)4、某科研單位每天派汽車早8點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到工程師家接他去上班．但今天早晨，工程師臨時(shí)決定提前到單位，于是他沒有等汽車來接，就自己步行去單位．步行途中遇到了前來接他的汽車，他馬上上車回到單位，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比平時(shí)早到了30分鐘，問：工程師上車時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

甲、乙、丙三個(gè)車站。乙站到甲、乙兩站距離相等，小強(qiáng)和小明分別從甲、丙兩站同時(shí)出發(fā)相向而行，小明過乙站100米后與小強(qiáng)相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)。小明到達(dá)丙站后立即返回，經(jīng)過乙站300米后又追上小強(qiáng)。求甲、丙兩站之間的路程？

「分析」本題可以先畫出線段圖，然后分段比較，尋找解題突破口．

從A地到機(jī)場有高速路和普通路兩條，高速路的平均車速為每小時(shí)120千米，而普通路平均車速只有高速路的五分之二．甲車從A出發(fā)走普通路去機(jī)場．乙車在甲車出發(fā)6分鐘后從A走高速路去機(jī)場，在機(jī)場逗留20分鐘后走普通路返回，過了2分鐘與甲相遇．問A到機(jī)場的路程是多少千米？

「分析」本題注意速度與時(shí)間正反比例的運(yùn)用．

馬拉松馬拉松賽是一項(xiàng)長跑比賽項(xiàng)目，其距離為42.195公里．這個(gè)比賽項(xiàng)目要從公元前490年9月12日發(fā)生的一場戰(zhàn)役講起．這場戰(zhàn)役是波斯人和雅典人在離雅典不遠(yuǎn)的馬拉松海邊發(fā)生的，史稱希波戰(zhàn)爭，雅典人最終獲得了反侵略的勝利．為了讓故鄉(xiāng)人民盡快知道勝利的喜訊，統(tǒng)帥米勒狄派一個(gè)叫裴里庇第斯的士兵回去報(bào)信．裴里庇第斯是個(gè)有名的“飛毛腿”，為了讓故鄉(xiāng)人早知道好消息，他一個(gè)勁地快跑，當(dāng)他跑到雅典時(shí)，已上氣不接下氣，激動(dòng)的喊道“歡樂吧，雅典人，我們勝利了！”說完，就倒在地上死了．為了紀(jì)念這一事件，在1896年舉行的現(xiàn)代第一屆奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上，設(shè)立了馬拉松賽跑這個(gè)項(xiàng)目，把當(dāng)年裴里庇第斯送信跑的里程——42.195公里作為賽跑的距離．馬拉松原為希臘的一個(gè)地名．在雅典東北30公里．其名源出腓尼基語marathus，意即“多茴香的”，因古代此地生長眾多茴香樹而得名．體育運(yùn)動(dòng)中的馬拉松賽跑就得名于此．1896年舉行首屆奧運(yùn)會(huì)時(shí)，顧拜旦采納了歷史學(xué)家布萊爾(MichelBreal)以這一史事設(shè)立一個(gè)比賽項(xiàng)目的建議，并定名為“馬拉松”．比賽沿用當(dāng)年裴里庇第斯所跑的路線．1908年第4屆奧運(yùn)會(huì)在倫敦舉行時(shí)，為方便英國王室人員觀看馬拉松賽，特意將起點(diǎn)設(shè)在溫莎宮的陽臺(tái)下，終點(diǎn)設(shè)在奧林匹克運(yùn)動(dòng)場內(nèi)，起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離經(jīng)丈量為26英里385碼，折合成42.195公里．國際田聯(lián)后來將該距離確定為馬拉松跑的標(biāo)準(zhǔn)距離．女子馬拉松開展較晚，1984年第23屆奧運(yùn)會(huì)才被正式列入比賽項(xiàng)目．由于馬拉松比賽一般在室外進(jìn)行，不確定因素較多，所以在2004年1月1日前馬拉松一直使用世界最好成績，沒有世界記錄．在2004年雅典奧運(yùn)會(huì)上，首次將奧運(yùn)會(huì)的最后一個(gè)比賽項(xiàng)目男子馬拉松的頒獎(jiǎng)典禮安排在閉幕式上舉行．在東道主希臘人看來，馬拉松比賽是奧運(yùn)會(huì)的“靈魂”之一，在閉幕式上為馬拉松運(yùn)動(dòng)員頒獎(jiǎng)，是奧林匹克回家的一種象征．2008年北京奧運(yùn)會(huì)繼承了這一做法．

作業(yè)A，B兩輛汽車從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，在距離甲地40公里處第一次迎面相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)（保持原速），各自到達(dá)乙、甲兩地后沿原路返回，在距離乙地10公里處第二次迎面相遇．那么甲、乙兩地之間的距離為多少公里？

快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人．這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人．現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么慢車每小時(shí)走多少千米？

A，B兩城相距56千米，甲、乙、丙三人分別以每小時(shí)6千米、5千米、4千米的速度前進(jìn)．甲、乙兩人從A城，丙從B城同時(shí)出發(fā)，相向而行．請問：出發(fā)多長時(shí)間后，乙正好在甲和丙的中點(diǎn)？

甲、乙、丙三人騎車同時(shí)出發(fā)沿某公路直行，出發(fā)時(shí)丙在甲前10千米，乙在丙后6千米；甲、乙、丙三人騎車