高等幾何試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.點列之間的射影對應(yīng)是（）A.一對一的對應(yīng)B.多對一的對應(yīng)C.一對多的對應(yīng)D.以上都不對2.直線$3x+2y+1=0$上無窮遠(yuǎn)點的齊次坐標(biāo)是（）A.$(3,2,0)$B.$(2,-3,0)$C.$(-3,2,0)$D.$(3,-2,0)$3.兩個線束成透視對應(yīng)的充要條件是（）A.對應(yīng)直線交點共線B.對應(yīng)直線平行C.對應(yīng)直線垂直D.以上都不對4.已知點$A(1,1),B(2,3),C(4,7)$，則$(ABC)$的值為（）A.1B.2C.3D.45.射影平面上的笛沙格定理是（）A.結(jié)合性定理B.度量性定理C.仿射性定理D.以上都不對6.下列哪個是仿射不變量（）A.長度B.角度C.單比D.交比7.若二次曲線的極點為無窮遠(yuǎn)點，則極線（）A.過原點B.平行于漸近線C.是直徑D.是切線8.無窮遠(yuǎn)直線關(guān)于二次曲線$x^2+y^2=1$的極點是（）A.圓心B.焦點C.頂點D.以上都不對9.射影變換把圓變成（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.二次曲線10.平面上的仿射變換最多由（）個條件決定。A.2B.3C.4D.5多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于射影幾何基本不變量的有（）A.交比B.單比C.結(jié)合性D.平行性2.下列哪些圖形在仿射變換下保持不變（）A.平行四邊形B.三角形C.梯形D.矩形3.二次曲線的類型有（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓4.關(guān)于射影對應(yīng)，正確的有（）A.保持交比不變B.是一一對應(yīng)C.保持單比不變D.保持結(jié)合性不變5.平面上的射影變換可以由（）確定。A.三對對應(yīng)點B.四對對應(yīng)點C.兩對對應(yīng)直線D.三對對應(yīng)直線6.下列哪些是仿射性質(zhì)（）A.平行性B.共線性C.中點D.面積比7.極點與極線的性質(zhì)有（）A.極點在極線上B.若極點$P$關(guān)于二次曲線的極線為$p$，則$P$在$p$上C.共軛點的極線共軛D.共軛直線的極點共軛8.射影平面上，直線的齊次坐標(biāo)可以表示為（）A.$(u_1,u_2,u_3)$B.$[u_1,u_2,u_3]$C.$(x_1,x_2,x_3)$D.$[x_1,x_2,x_3]$9.以下哪些是射影平面上的基本元素（）A.點B.直線C.二次曲線D.線束10.仿射變換的不變量有（）A.共線三點的單比B.兩平行線段的比C.三角形面積比D.角度判斷題（每題2分，共10題）1.射影對應(yīng)保持共線四點的交比不變。（）2.仿射變換一定是射影變換。（）3.平面上任意三點都可以通過仿射變換變成任意三點。（）4.二次曲線的中心一定是其極點。（）5.無窮遠(yuǎn)直線在射影平面上是不存在的。（）6.射影變換把平行直線變成平行直線。（）7.單比是射影不變量。（）8.極點與極線的關(guān)系是相互的。（）9.仿射平面上不存在無窮遠(yuǎn)點。（）10.射影平面上的二次曲線都是非退化的。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述射影對應(yīng)與仿射對應(yīng)的關(guān)系仿射對應(yīng)是特殊的射影對應(yīng)。射影對應(yīng)是射影平面上的一一對應(yīng)且保持交比不變；仿射對應(yīng)是保持無窮遠(yuǎn)直線不變的射影對應(yīng)，它還保持平行性等仿射性質(zhì)。2.什么是二次曲線的極點與極線對于給定二次曲線，若點$P$與二次曲線存在一種對應(yīng)關(guān)系，使得過$P$任意作直線交二次曲線于兩點，這兩點處切線交點的軌跡是一條直線，這條直線就是點$P$關(guān)于該二次曲線的極線，點$P$稱為極點。3.簡述笛沙格定理內(nèi)容若兩個三點形對應(yīng)頂點的連線共點（透視中心），則對應(yīng)邊的交點共線（透視軸）；反之，若兩個三點形對應(yīng)邊的交點共線，則對應(yīng)頂點的連線共點。4.仿射變換有哪些基本不變性和不變量基本不變性：保持共線性、平行性。不變量：共線三點的單比、兩平行線段的比、三角形面積比等。討論題（每題5分，共4題）1.討論射影幾何在計算機圖形學(xué)中的應(yīng)用在計算機圖形學(xué)中，射影幾何用于圖形的投影變換，可實現(xiàn)三維場景到二維屏幕的準(zhǔn)確映射，處理圖形的透視效果。還能用于圖像的校正、匹配與識別，提高圖形處理的準(zhǔn)確性和效率。2.探討仿射變換在實際生活中的例子比如建筑設(shè)計圖紙，通過仿射變換可以將實際建筑的尺寸、形狀等進(jìn)行比例縮放和平移等操作繪制在圖紙上。攝影畫面調(diào)整，對照片進(jìn)行拉伸、旋轉(zhuǎn)、平移等操作以獲得更好構(gòu)圖，這些都利用了仿射變換原理。3.分析二次曲線極點與極線理論在幾何問題中的作用極點與極線理論為解決二次曲線相關(guān)幾何問題提供有力工具。可用于證明點線位置關(guān)系，如證明點在極線上或極線過某點。還能通過極點極線關(guān)系簡化復(fù)雜的二次曲線問題，找到解題思路。4.談?wù)勆溆皩?yīng)在幾何證明中的優(yōu)勢射影對應(yīng)保持交比不變等性質(zhì)，在幾何證明中可簡化圖形。將復(fù)雜圖形通過射影對應(yīng)轉(zhuǎn)化為簡單特殊圖形進(jìn)行證明，利用交比不變性建立等式關(guān)系，解決共線、共點等幾何問題，使證明過程更簡潔清晰。答案單項選擇題1.A2.C3.A4.B5.A6.C7.C8.A9.D10.C多項選擇題1.AC2.ABC