高數(shù)2試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\geq0\)B.\(x+y\gt0\)C.\(x+y\neq0\)D.\(x+y\leq0\)2.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)3.二重積分\(\iint_{D}d\sigma\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區(qū)域，其值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂的條件是（）A.\(p\leq1\)B.\(p\gt1\)C.\(p\geq1\)D.\(p\lt1\)5.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,k,6)\)，若\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(k\)的值為（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(-1\)D.\(1\)6.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件是（）A.\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在C.\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)D.\(A\)和\(B\)同時成立7.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在點(diǎn)\((1,1,1)\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)D.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2}\)8.設(shè)\(D\)是由\(x^2+y^2\leq4\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_{D}(x^2+y^2)d\sigma\)的值為（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(16\pi\)D.\(32\pi\)9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n\)在\(x=0\)處收斂，則該冪級數(shù)在\(x=3\)處（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定10.設(shè)\(z=e^{xy}\)，則\(dz\)等于（）A.\(e^{xy}(xdx+ydy)\)B.\(e^{xy}(ydx+xdy)\)C.\(e^{xy}dx+e^{xy}dy\)D.\(e^{xy}(dx+dy)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于多元函數(shù)極限的說法正確的是（）A.若\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\)存在，則\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處有定義B.若\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處的兩個累次極限都存在且相等，則\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\)存在C.若\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\)存在，則\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處的兩個累次極限可能不存在D.若\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處的兩個累次極限都不存在，則\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\)可能存在2.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則下列說法正確的是（）A.\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)在\(f(x,y)\)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時成立B.\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)是\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)處可微的定義式C.若\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)D.若\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在3.下列哪些區(qū)域是有界閉區(qū)域（）A.\(x^2+y^2\leq1\)B.\(x^2+y^2\lt1\)C.\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leq1\)D.\(x\geq0\)，\(y\geq0\)4.關(guān)于級數(shù)的斂散性，下列說法正確的是（）A.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)B.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂C.正項(xiàng)級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列\(zhòng)(\{S_n\}\)有界D.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)絕對收斂，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂5.設(shè)向量\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)B.\(\vec{a}\times\vec=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)\)C.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直，則\(\vec{a}\cdot\vec=0\)D.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\times\vec=\vec{0}\)6.曲線\(x=\cost\)，\(y=\sint\)，\(z=t\)的參數(shù)方程具有的性質(zhì)有（）A.該曲線在\(xOy\)平面上的投影是單位圓B.隨著\(t\)的增大，\(z\)值增大C.曲線的切線方向向量為\((-\sint,\cost,1)\)D.曲線是螺旋線7.下列關(guān)于多元函數(shù)極值的說法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處取得極值，且\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)存在，則\(f_x(x_0,y_0)=0\)，\(f_y(x_0,y_0)=0\)D.用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時，需要計(jì)算\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)，當(dāng)\(AC-B^2\gt0\)且\(A\gt0\)時，\((x_0,y_0)\)是極小值點(diǎn)8.對于二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)\(f(x,y)=1\)時，\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)的值等于區(qū)域\(D\)的面積B.若\(D=D_1\cupD_2\)，且\(D_1\)與\(D_2\)無公共內(nèi)點(diǎn)，則\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma\)C.二重積分的幾何意義是曲頂柱體的體積D.交換積分次序可能會簡化二重積分的計(jì)算9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)可以通過（）方法求得。A.公式\(R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)（當(dāng)極限存在時）B.公式\(R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\verta_n\vert}}\)C.比值審斂法D.根值審斂法10.設(shè)\(z=u^2+v^2\)，\(u=x+y\)，\(v=x-y\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=4x\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=4y\)C.\(\frac{\partialz}{\partialx}=2(x+y)+2(x-y)\)D.\(\frac{\partialz}{\partialy}=2(x+y)-2(x-y)\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(z=\frac{1}{\sqrt{x-y}}\)的定義域是\(x-y\gt0\)。（）2.若\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處一定連續(xù)。（）3.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)的數(shù)量積為\(0\)。（）4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是收斂的。（）5.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)中，\(d\sigma\)表示面積元素。（）6.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（）7.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=3\)處發(fā)散，則在\(x=4\)處也發(fā)散。（）8.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在點(diǎn)\((1,1,1)\)處的切線向量為\((1,2,3)\)。（）9.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)與\(\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)一定相等。（）10.正項(xiàng)級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)，若\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\lt1\)，則該級數(shù)收斂。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述多元函數(shù)可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系。答案：可微能推出連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)能推出可微；但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，連續(xù)也不一定偏導(dǎo)數(shù)存在。2.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：由\(R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}=1\)，收斂半徑\(R=1\)。當(dāng)\(x=1\)時，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。所以收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。3.計(jì)算\(\iint_{D}xyd\sigma\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區(qū)域。答案：\(D\)可表示為\(0\leqy\leq1-x\)，\(0\leqx\leq1\)。則\(\iint_{D}xyd\sigm