2023-2024學(xué)年五年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列數(shù)學(xué)好玩其二：圖形中的規(guī)律（數(shù)形規(guī)律探究）專項練習(xí)一、填空題。1．按規(guī)律填數(shù)：1，，，，()?！敬鸢浮俊痉治觥坑^察題意可知：1＝，＝，＝，＝，據(jù)此可得第n個數(shù)的分母是n的平方，分子是1，據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，第5個數(shù)為＝按規(guī)律填數(shù)：1，，，，。【點睛】通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力。2．笑笑按這樣的順序擺三角形，如果擺60個三角形，一共要用()根小棒?！敬鸢浮?21【分析】觀察可知，小棒根數(shù)＝三角形個數(shù)×2＋1，據(jù)此列式計算?！驹斀狻?0×2＋1＝120＋1＝121（根）一共要用121根小棒?！军c睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。3．如圖，把圖畫每兩張重疊在一起釘在墻上，現(xiàn)在有5張畫，需要()個圖釘?！敬鸢浮?2【分析】觀察圖形可知：1張畫需要4個圖釘，每增加1張畫，可多需要2個圖釘；去掉左兩邊的2個圖釘，每張畫需要2個圖釘?？偨Y(jié)規(guī)律：2＋2×畫的張數(shù)＝需要圖釘個數(shù)?！驹斀狻?＋2×畫的張數(shù)＝需要圖釘個數(shù)2＋2×5＝2＋10＝12（個）如圖，把圖畫每兩張重疊在一起釘在墻上，現(xiàn)在有5張畫，需要（12）個圖釘?！军c睛】仔細(xì)觀察，比較總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。4．像……這樣擺下去，擺10個三角形需要()根小棒，用61根小棒可以擺()個這樣的三角形?！敬鸢浮?130【分析】由圖可知，擺1個三角形需要3根小棒，可以寫成：2×1＋1根；擺2個三角形需要5個小棒，可以寫成：2×2＋1根；擺3個三角形需要7個小棒，可以寫成：2×3＋1根…；擺n個三角形需要2n＋1根，由此求出擺10個三角形需要小棒的數(shù)量，以及用61個小棒可以擺多少個三角形?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，擺10個三角形需要小棒：2×10＋1＝20＋1＝21（根）當(dāng)小棒的數(shù)量是61時：（61－1）÷2＝60÷2＝30（個）這樣擺下去，擺10個三角形，需要21根小棒，用61根小棒可以擺30個這樣的三角形?！军c睛】分析圖形找出三角形的個數(shù)與小棒根數(shù)的變化規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。5．一張桌子可以坐6人，如圖排下去，五張桌子可以坐()人，()張桌子可以坐42人。

【答案】2210【分析】根據(jù)題意可知，每增加一張桌子就增加4人，每張桌子上下兩側(cè)可以坐4人，則n張桌子的上下兩側(cè)可以坐4n人，再加上左右兩側(cè)的兩個人，則n張桌子可以坐：（4n＋2）人。將n＝5代入含有字母的式子解答；根據(jù)題意可知，4n＋2＝42，求出n即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知n張桌子可知（4n＋2）人，當(dāng)n＝5時：4×5＋2＝20＋2＝22（人）4n＋2＝42解：4n＝42－24n＝40n＝40÷4n＝10一張桌子可以坐6人，如圖排下去，五張桌子可以坐22人，10張桌子可以坐42人。

【點睛】解答本題的關(guān)鍵是明確每增加一張桌子就增加4人，進(jìn)而用含字母的式子表示這一規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決實際問題。6．下面圖形是由一些小正方形和實心圓按一定規(guī)律擺成的，第1個圖中有4個實心圓，第2個圖中有6個實心圓，第3個圖中有8個實心圓……，按此規(guī)律，第7個圖中有()個實心圓。【答案】16【分析】由圖可知：第1個圖中有4＝2×（1＋1）個實心圓，第2個圖中有6＝2×（2＋1）個實心圓；第3個圖中有8＝2×（3＋1）個實心圓……第n個圖中有2×（n＋1）個實心圓；將n＝7代入計算即可?！驹斀狻康?個圖中有4個實心圓，第2個圖中有6個實心圓，第3個圖中有8個實心圓……，按此規(guī)律，第7個圖中有2×（7＋1）＝2×8＝16個實心圓?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形，找出其中的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。7．用一根長48厘米的繩子在地上擺正方形。當(dāng)這根繩子擺出4個正方形時，正方形的總面積是()平方厘米，當(dāng)這根繩子擺出n個正方形時，正方形的邊長是()厘米?！敬鸢浮?6【分析】因為是用一根長48厘米的繩子在地上擺正方形，那么在每個圖形中，所有正方形的周長之和就是48厘米；正方形的邊長等于周長÷4，正方形的面積等于邊長×邊長；因為第二個圖形中圍成兩個一樣的正方形，所以第二個圖形的每個正方形的邊長為第一個圖形邊長的一半，面積也是它的一半；當(dāng)圍成3個小正方形時，邊長為第一個的三分之一，面積也是三分之一。以此類推：圍成n個小正方形時，邊長為第一個的n分之一，面積也是n分之一，據(jù)此解答即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可得：圍成一個正方形：48÷4＝12（厘米）12×12＝144（平方厘米）圍成2個正方形：12÷2＝6（厘米）144÷2＝72（平方厘米）圍成3個正方形：12÷3＝4（厘米）144÷3＝48（平方厘米）圍成4個正方形：12÷4＝3（厘米）144÷4＝36（平方厘米）圍成n個小正方形時，邊長為第一個的n分之一，也就是12×＝（厘米），面積也是n分之一，也就是144×＝（平方厘米）。當(dāng)這根繩子擺出4個正方形時，正方形的總面積是36平方厘米，當(dāng)這根繩子擺出n個正方形時，正方形的邊長是厘米?！军c睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過觀察圖形，得出圖形的變化與邊長及其面積的規(guī)律，并能應(yīng)用規(guī)律解決問題。8．如下圖，笑笑用小棒擺三角形，擺一個需要3根小棒，擺2個需要5根小棒，擺3個需要7根小棒……擺n個需要()根小棒，139根小棒可以擺()個三角形。

【答案】2n＋169【分析】根據(jù)圖形可知，擺一個三角形用3根（即2×1＋1根）小棒，擺2個三角形用（2×2＋1）根小棒，擺3個三角形用（3×2＋1）根小棒，擺n個三角形，則需要2×n＋1＝2n＋1（根），由此解答即可。【詳解】擺n個三角形需小棒（2n＋1）根。那么，139根小棒可以擺：（139－1）÷2＝138÷2＝69（個）擺n個需要（2n＋1）根小棒，139根小棒可以擺69個三角形?！军c睛】本題考查了數(shù)與形的組合，仔細(xì)觀察，比較總結(jié)出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。9．按這樣的規(guī)律擺正方形，擺10個正方形需要()根小棒；100根小棒可以擺()個正方形。【答案】3133【分析】擺一個正方形需要4個小棒，可以寫成：3×1＋1；擺二個正方形需要7個小棒，可以寫成：3×2＋1；擺3個正方形需要10個小棒，可以寫成：3×3＋1；……擺n個正方形需要3n＋1個小棒，由此求出當(dāng)n＝10時，求出需要小棒的數(shù)量，以及100根小棒可以擺多少個正方形?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，擺10和正方形需要小棒：3×10＋1＝30＋1＝31（根）（100－1）÷3＝99÷3＝33（個）按這樣的規(guī)律擺正方形，擺10個正方形需要31根小棒；100根小棒可以擺33個正方形。【點睛】本題考查數(shù)與形，解答本題的關(guān)鍵是找到每個圖形的規(guī)律。10．如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓…按此規(guī)律排列下去，第10個圖形中有()個圓，第20個圖形中有()個圓?！敬鸢浮?12422【分析】根據(jù)題意可知，第一個圖形一共有圓：1×（1＋1）＋2＝4個；第二個圖形一共有圓：2×（2＋1）＋2＝8個；第三個圖形一共有圓：3×（3＋1）＋2＝14個；第四個圖形一共有圓：4×（4＋1）＋2＝22個；圓的個數(shù)等于圖形序號與序號數(shù)多1數(shù)的積，上面圓的個數(shù)為2，根據(jù)圖形得出第n個圖形中圓的個數(shù)是n×（n＋1）＋2，據(jù)此進(jìn)行解答?！驹斀狻康谝粋€圖形一共有圓：1×（1＋1）＋2＝4（個）第二個圖形一共有圓：2×（2＋1）＋2＝8（個）第三個圖形一共有圓：3×（3＋1）＋2＝14（個）第四個圖形一共有圓：4×（4＋1）＋2＝22（個）第n個圖形一共有圓：n×（n＋1）＋2個所以第10個圖形中圓的個數(shù)為：10×（10＋1）＋2＝10×11＋2＝110＋2＝112（個）第20個圖形一共有圓：20×（20＋1）＋2＝20×21＋2＝420＋2＝422（個）按此規(guī)律排列下去，第10個圖形中有112個圓，第20個圖形中有422個圓?！军c睛】本題考查圖形的變換規(guī)律；根據(jù)圖形的排列規(guī)律得到下面圓的個數(shù)等于圖形的序號與序號數(shù)多1數(shù)的積，上面圓的個數(shù)為2是解決本題的關(guān)鍵。11．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想。請你仔細(xì)觀察，找出如圖所示圖形與算式的關(guān)系，再填空。1

1＋3＝22

1＋3＋5＝9＝32

1＋3＋5＋7＝16＝42(1)推算：1＋3＋5＋…＋19＝()2。(2)應(yīng)用：81個“●”＝()2。(3)拓展：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝()?！敬鸢浮?1)10(2)9(3)113【分析】審題明確題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解題。（1）1＋3＋5＋…＋19是從1開始到19結(jié)束的相鄰奇數(shù)相加，由圖可以看出：1＝12；1與3之和等于4，是22；1、3、5之和等于9，是32；1、3、5、7之和等于16，是42；第一個算式（1個數(shù)）12；第二個算式（2個加數(shù)）22；第三個算式（3個加數(shù)）32；第n個是n2；1＋3＋5＋…＋19＝有10個數(shù)相加，結(jié)合規(guī)律可知為10的平方；（2）由（1）分析可知，第n個是n2；（3）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＝82＋72據(jù)此答題即可。【詳解】（1）推算：1＋3＋7＋…＋19＝102。（2）應(yīng)用：81個“●”＝92。（3）拓展：1＋3＋6＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋3＋7＋5＋2＋1＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＝82＋72＝64＋49＝113【點睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)各算式的特征，從1開始的相鄰奇數(shù)相加，找算式中加數(shù)的個數(shù)與算式的敘述之間關(guān)系，然后根據(jù)這一關(guān)系解答。12．仔細(xì)觀察點陣，在括號里填上合適的算式。(1)1

1＋2

()

()

()(2)1

1＋4

1＋4×2

()【答案】(1)1＋2＋31＋2＋3＋41＋2＋3＋4＋5(2)1＋4×3【分析】（1）觀察題意可知，每個圖形的每層都比上一層多1個點，n層的點數(shù)有（1＋2＋3…＋n）個，據(jù)此填寫；（2）觀察題意可知，每個圖形比前一個圖形多4個點，據(jù)此可知，第n個圖形個數(shù)是：1＋4（n－1），據(jù)此填寫。【詳解】（1）（2）【點睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。二、解答題。13．我國苗家的“長桌宴”風(fēng)俗歷史悠久，起源是苗家接親嫁女、外寨來訪貴客的聯(lián)誼。如果按照這樣的方式擺放，接待58人需要準(zhǔn)備多少張桌子？

【答案】14張【分析】根據(jù)圖示，一張桌子可以坐4×1＋2＝6（人），兩張桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n張桌子可以坐（4n＋2）人，據(jù)此可知桌子的張數(shù)等于人數(shù)減2的差除以4；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?8－2）÷4＝56÷4＝14（張）答：接待58人需要準(zhǔn)備14張桌子。【點睛】本題考查了數(shù)與形的組合知識，結(jié)合找出規(guī)律，難度一般。14．如果每個正方形的邊長均為3厘米，那么如下圖搭6層后圖形的周長是多少？如果搭20層，那么周長又是多少呢？【答案】72厘米；240厘米【分析】通過平移的方法求周長，根據(jù)可知，1層的周長是由邊長為3厘米的正方形周長組成，2層的周長是由邊長為（3×2）厘米的正方形周長組成，3層的周長是由邊長為（3×3）厘米的正方形周長組成，……以此類推，n層的周長是由邊長為（3×n）厘米的正方形周長組成。根據(jù)正方形的周長公式，用3×n×4即可求出n層的周長，據(jù)此解答。【詳解】3×n×4＝12n（厘米）根據(jù)題意可知，n層的周長是12n厘米。當(dāng)n＝6時，12×6＝72（厘米）當(dāng)n＝20時，12×20＝240（厘米）答：搭6層后圖形的周長是72厘米；如果搭20層，那么周長是240厘米。【點睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。15．用小棒如下圖連擺H，35根小棒可以擺多少個H？要擺20個H需要多少根小棒？【答案】11個；62根?！痉治觥坑蓤D可知，擺1個H需要5根小棒，擺2個H需要8根小棒，擺3個H需要11根小棒……即個數(shù)×3＋2＝小棒根數(shù)，據(jù)此解答即可。【詳解】（35－2）÷3＝33÷3＝11（個）20×3＋2＝60＋2＝62（根）答：35根小棒可以擺11個H。要擺20個H需要62根小棒?！军c睛】此題考查了規(guī)律型中的圖形變化問題，要能夠從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。16．按下圖中的方式擺放三角形積木，如果最下層放21塊，那么共需放幾層？【答案】11層【分析】觀察題意可知，2層的最下層有（2＋1）個小三角形，3層的最下層有（3＋2）個三角形；4層的最下層有（4＋3）個小三角形……以此類推，n層的最下層小三角形個數(shù)是n＋（n－1）。據(jù)此解答?！驹斀狻縩＋（n－1）＝n＋n－1＝（2n－1）個根據(jù)分析可知，n層的最下層是（2n－1）個小三角形。2n－1＝21解：2n－1＋1＝21＋12n＝222n÷2＝22÷2n＝11答：共需放11層?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。17．淘氣和笑笑用小棒按下圖的順序擺八邊形。

（1）根據(jù)上圖填表。八邊形的數(shù)量12345…n小棒的數(shù)量81522（

）（

）…（

）（2）如果擺成7個八邊形，需要（

）根小棒。（3）當(dāng)n＝20時，需要多少根小棒？用85根小棒能擺多少個八邊形？【答案】（1）見詳解（2）50（3）141根；12個【分析】（1）根據(jù)圖分析，擺一個八邊形用了8根小棒，擺兩個八邊形就多用了7根小棒，擺三個八邊形就多了（7×2）根小棒，由此找到規(guī)律，據(jù)此填表；（2）7個八邊形，就是n＝7，將其代入規(guī)律計算即可；（3）當(dāng)n＝20時，將其代入規(guī)律計算即可；把85代入計算即可?！驹斀狻坑煞治隹傻茫海?）1個八邊形小棒數(shù)量：8根2個八邊形小棒數(shù)量：8＋7＝15（根）3個八邊形小棒數(shù)量：8＋7×2＝8＋14＝22（根）……n個八邊形小棒數(shù)量：8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝7n＋14個八邊形，即n＝4，代入7n＋1：7×4＋1＝28＋1＝29（根）5個八邊形，即n＝5，代入7n＋1：7×5＋1＝35＋1＝36（根）填表如下：八邊形的數(shù)量12345…n小棒的數(shù)量815222936…7n＋1（2）7個八邊形，就是n＝7，代入7n＋17×7