浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類(lèi)匯編（9套）-03解答題（提升題）1一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共5小題）1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數(shù)y1＝x﹣2﹣k與反比例函數(shù)．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，x取何值時(shí)，y1＜y2；（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)k取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象總有交點(diǎn)．2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數(shù)y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交．（1）判斷y2是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)（k，1）．（2）若y1的圖象過(guò)點(diǎn)（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)x＞0時(shí)，比較y1，y2的大?。?．（2023?杭州一模）設(shè)函數(shù)y1＝k1x+b，函數(shù)（k1，k2，b是常數(shù)，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數(shù)y1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與函數(shù)y2的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B（1，m）．（1）若k2＝3，m＝b+1．①求函數(shù)y1的表達(dá)式．②當(dāng)2＜y1＜y2時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，將點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)D．若點(diǎn)D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點(diǎn)，試寫(xiě)出k1，k2之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．（2023?上城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為P（3，m）．（1）求k的值；（2）將點(diǎn)P向下平移6個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位后，得點(diǎn)P′，試判斷點(diǎn)P′是否在函數(shù)y1的圖象上，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，利用函數(shù)圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．5．（2023?西湖區(qū)一模）若函數(shù)與y2＝3x+k圖象有一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2．（1）求k的值；（2）若y1與y2圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），求的值．二．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）6．（2023?淳安縣一模）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，求證：a＜﹣．三．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共2小題）7．（2023?杭州一模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數(shù)）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）若m＜﹣2，判斷二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位于哪個(gè)象限，并說(shuō)明理由；（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．8．（2023?桐廬縣一模）二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）．（1）求a的值．（2）求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值．（3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y2＝y(tǒng)1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．四．二次函數(shù)綜合題（共1小題）9．（2023?上城區(qū)一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若m+n＝1，試說(shuō)明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時(shí)，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB的延長(zhǎng)線上，AF＝AC，連接EF．（1）求證：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數(shù)．六．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）11．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AE，BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形．（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，①求四邊形ACBF的周長(zhǎng)．②連結(jié)CD，求CD的長(zhǎng)．七．正方形的性質(zhì)（共1小題）12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點(diǎn)P．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長(zhǎng)．八．垂徑定理（共1小題）13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點(diǎn)A為圓心，線段AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長(zhǎng)．九．圓周角定理（共1小題）14．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧上的一個(gè)點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，連結(jié)AM，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E．（1）求證：BE∥AM．（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點(diǎn)H，D．求AH的長(zhǎng)．一十．扇形面積的計(jì)算（共1小題）15．（2023?上城區(qū)一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）證明：；（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）用尺規(guī)作三角形ABC的外接圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D平分，連接AD，BD，CD．（1）求證：AB＝CD．（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交⊙O于點(diǎn)G．①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．18．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB和AC上，且滿(mǎn)足∠DEF＝∠B．（1）求證：△BDE∽△CEF．（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．一十三．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）19．（2023?臨安區(qū)一模）若小紅的眼睛離地面的距離為1.7米，在一處用眼睛看籃球框，測(cè)得仰角30°，繼續(xù)向正前方走1.6米再看籃球框，測(cè)得仰角60°，問(wèn)籃球框距地面的高度是多少米？一十四．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）20．（2023?淳安縣一模）千島湖某學(xué)校想知道學(xué)生對(duì)“大下姜”，“滬馬公園”，“月光之戀”等旅游景點(diǎn)的了解程度，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷有四個(gè)選項(xiàng)（每位被調(diào)查的學(xué)生必須且只能選一項(xiàng)）：A．不知道，B．了解較少，C．了解較多，D．十分了解．將問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查了多少名學(xué)生？（2）根據(jù)調(diào)查信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)“十分了解”的學(xué)生共有多少名？（4）在被調(diào)查“十分了解”的學(xué)生中，有四名同學(xué)普通話(huà)較好，他們中有2名男生和2名女生，學(xué)校想從這四名同學(xué)中任選兩名同學(xué)，做家鄉(xiāng)旅游品牌的宣傳員，請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率．

浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類(lèi)匯編（9套）-03解答題（提升題）1參考答案與試題解析一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共5小題）1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數(shù)y1＝x﹣2﹣k與反比例函數(shù)．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，x取何值時(shí)，y1＜y2；（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)k取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象總有交點(diǎn)．【答案】（1）當(dāng)x＜0或1＜x＜2時(shí)，y1＜y2；（2）理由見(jiàn)解答部分．【解答】解：（1）k＝1時(shí)，y1＝x﹣3，y2＝，由得或，∴兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）或（2，﹣1）；圖象大致如圖：由圖可得：當(dāng)x＜0或1＜x＜2時(shí)，y1＜y2；（2）由得x﹣2﹣k＝，∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，關(guān)于x的一元二次方程的判別式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0總有實(shí)數(shù)解，∴兩個(gè)函數(shù)圖象總有交點(diǎn)．2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數(shù)y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交．（1）判斷y2是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)（k，1）．（2）若y1的圖象過(guò)點(diǎn)（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)x＞0時(shí)，比較y1，y2的大小．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）點(diǎn)（k，1）滿(mǎn)足反比例函數(shù)的關(guān)系式，因此y2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（k，1）．（2）①把（k，1）代入一次函數(shù)y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，又∵2a+k＝5，解得：a＝2，k＝1，∴y2的函數(shù)表達(dá)式為y2＝．②由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y1＜y2，當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2．3．（2023?杭州一模）設(shè)函數(shù)y1＝k1x+b，函數(shù)（k1，k2，b是常數(shù)，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數(shù)y1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與函數(shù)y2的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B（1，m）．（1）若k2＝3，m＝b+1．①求函數(shù)y1的表達(dá)式．②當(dāng)2＜y1＜y2時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，將點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)D．若點(diǎn)D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點(diǎn)，試寫(xiě)出k1，k2之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①y1＝x+2；②0＜x＜1；（2）k2＝2k1，理由見(jiàn)解析．【解答】解：（1）①若k2＝3，則函數(shù)．∵點(diǎn)B（1，m）在函數(shù)y2的圖象上，∴，∴B（1，3），b+1＝3，∴b＝2，∴函數(shù)y1＝k1x+2．∵點(diǎn)B（1，3）在函數(shù)y1的圖象上，∴3＝k1+2，解得：k1＝1，∴函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝x+2；②根據(jù)兩函數(shù)解析式可畫(huà)出圖象如下，∵求2＜y1＜y2時(shí)，x的取值范圍，即求函數(shù)y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方時(shí)，位于函數(shù)y2的圖象下方時(shí)x的取值范圍，∵由圖象可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方，位于函數(shù)y2的圖象下方，∴當(dāng)2＜y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜1；（2）k2＝2k1．理由：對(duì)于y1＝k1x+b，令x＝0，則y1＝b，∴A（0，b）．∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，∴C（0，﹣b）．∵將點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)D，∴D（﹣2，﹣b）．∵點(diǎn)D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點(diǎn)，∴﹣b＝﹣2k1+b，，∴k1＝b，k2＝2b，∴k2＝2k1．4．（2023?上城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為P（3，m）．（1）求k的值；（2）將點(diǎn)P向下平移6個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位后，得點(diǎn)P′，試判斷點(diǎn)P′是否在函數(shù)y1的圖象上，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，利用函數(shù)圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．【答案】（1）k＝9；（2）點(diǎn)P′不在函數(shù)y1的圖象上；（3）x＜﹣3或0＜x＜3．【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y2＝x的圖象過(guò)交點(diǎn)為P（3，m），∴m＝3，∴P（3，3），∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，∴k＝3×3＝9；（2）將點(diǎn)P向下平移6個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位后，得點(diǎn)P′（﹣2，﹣3），∵﹣2×（﹣3）＝6≠9，∴點(diǎn)P′不在函數(shù)y1的圖象上；（3）由圖象可知，當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍是x＜﹣3或0＜x＜3．5．（2023?西湖區(qū)一模）若函數(shù)與y2＝3x+k圖象有一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2．（1）求k的值；（2）若y1與y2圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），求的值．【答案】（1）k＝4；（2）﹣1．【解答】解：（1）將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2代入一次函數(shù)得，y2＝3×（﹣2）+k＝﹣6+k，再將（﹣2，﹣6+k）代入反比例函數(shù)可得，，解得：k＝4；（2）由（1）得，，y2＝3x+4，聯(lián)立可得，，解得：，x2＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴，∵y1與y2圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），∴，n＝6，∴．二．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）6．（2023?淳安縣一模）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，求證：a＜﹣．【答案】（1）；（2）y＝﹣2（x+1）2；（3）見(jiàn)解析．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0≠1，因此不過(guò)（﹣1，1）點(diǎn)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過(guò)（﹣2，3）點(diǎn)，故拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，∴a＝﹣2，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），，0），∴函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，∵當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，∴，∴，解得，舍去；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∵x1＜x2時(shí)，y1＞y2，∴，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴，∴．故．三．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共2小題）7．（2023?杭州一模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數(shù)）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）若m＜﹣2，判斷二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位于哪個(gè)象限，并說(shuō)明理由；（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；（2）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位于第一象限；（3）m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．【解答】解：（1）∵拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴A（0，﹣4），∵y＝mx2﹣4mx﹣4＝m（x﹣2）2﹣4m﹣4，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2∴B（2，0）；（2）∵y＝mx2﹣4mx﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4﹣4m），∵m＜﹣2，∴﹣4﹣4m＞0，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位于第一象限；（3）∵方程mx2﹣4mx﹣4＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），∴拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在1，3之間（包括1，3），∴拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在第一象限，∴﹣4m﹣4＞0，解得m＜﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，解得m≥﹣，∴m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．8．（2023?桐廬縣一模）二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）．（1）求a的值．（2）求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值．（3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y2＝y(tǒng)1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．【答案】（1）a的值為；（2）二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值為2；（3）y3的解析式為y3＝．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），∴1＝a（0﹣2）2﹣2a，解得a＝，∴a的值為；（2）由（1）知，a＝，∴y1＝（x﹣2）2﹣2×＝（x﹣2）2﹣1，令y1＝0，則（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴|x1﹣x2|＝2，答：二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值為2；（3）∵y1＝（x﹣2）2﹣1，∴y2＝y(tǒng)1﹣kx＝（x﹣2）2﹣1﹣kx＝x2﹣（k+2）x+1，∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝k+2，當(dāng)k+2＜﹣2即k＜﹣4時(shí)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y2有最小值，∴y3＝×（﹣2）2﹣（k+2）×（﹣2）+1＝2k+7；當(dāng)﹣2≤k+2≤1時(shí)，即﹣4≤k≤﹣1，當(dāng)x＝k+2時(shí)，y2有最小值，∴y3＝×（k+2）2﹣（k+2）2+1＝﹣（k+2）2+1；當(dāng)k+2＞1即k＞﹣1時(shí)，當(dāng)x＝1時(shí)，y2有最小值，∴y3＝×1﹣（k+2）×1+1＝﹣k﹣．綜上所述，y3的解析式為y3＝．四．二次函數(shù)綜合題（共1小題）9．（2023?上城區(qū)一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若m+n＝1，試說(shuō)明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時(shí)，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x﹣2．（2）見(jiàn)解答．（3）k＝或3．【解答】解：（1）將A（1，0），B（2，0）代入y＝﹣x2+2mx+n得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x﹣2．（2）若m+n＝1，則n＝1﹣m，∴y＝﹣x2+2mx+1﹣m，令0＝﹣x2+2mx+1﹣m，則Δ＝4m2+4（1﹣m）＝（2m﹣1）2+3＞0，∴函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（3）∵y＝﹣x2+2mx+n，∴拋物線開(kāi)口象限，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣＝m，將x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+n），∴m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時(shí)，函數(shù)的最大值為p＝m2+n．當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x＝m﹣1時(shí)，函數(shù)最小值q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1為最小值，∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1，∴k＝．當(dāng)k≥1時(shí)，x＝m+k時(shí)，函數(shù)最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n，∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2，解得k＝0（舍）或k＝3．綜上所述，k＝或3．五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB的延長(zhǎng)線上，AF＝AC，連接EF．（1）求證：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）80°．【解答】（1）證明：射線AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠FAE，在△AEC和△AEF中，，∴△AEC≌△AEF（SAS）；（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），∴∠C＝∠F，∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，∴∠FAE+∠F＝50°，∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝80°，∴∠BEF為80°．六．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）11．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AE，BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形．（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，①求四邊形ACBF的周長(zhǎng)．②連結(jié)CD，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①22；②．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△FAD≌△EBD（AAS），∴AF＝BE，∴四邊形AEBF是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形．（2）解：①∵四邊形AEBF是菱形．∴AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，∴∠AEC＝∠EBF，∴，∵∠ACB＝90°，∴，∴AC＝4，∴，∴四邊形ACBF的周長(zhǎng)為AC+CE+BE+BF+AF＝22．②在△ABC中，∠ACB＝90°，∴，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴．七．正方形的性質(zhì)（共1小題）12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點(diǎn)P．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：過(guò)P作PH⊥BC于H，∵PH∥AB，∴△PHE∽△ABE，∴，設(shè)HE＝a，PH＝3a，∵PH∥BF，∴△PHC∽△FBC，∴，即，解得：a＝，∴HE＝，PH＝，在Rt△PHC中，PC＝八．垂徑定理（共1小題）13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點(diǎn)A為圓心，線段AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解答】（1）證明：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，由作圖可知：AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF＝DC＝AB．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，∵BE＝6，CE＝3，∴AD＝AE＝BC＝9，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴CE＝EF＝3，∴AF＝6，∴，設(shè)AG＝x，則FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，解得：x＝5，即AG＝5，∴，F(xiàn)G＝1，∴．九．圓周角定理（共1小題）14．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧上的一個(gè)點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，連結(jié)AM，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E．（1）求證：BE∥AM．（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點(diǎn)H，D．求AH的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解答】（1）證明：∵M(jìn)C是圓的直徑，∴∠MAC＝90°，∴MA⊥AC，∵BE⊥AC，∴BE∥MA；（2）連接MB，∵M(jìn)C是圓的直徑，∴∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，∵AD⊥BC，∴BM∥AD，∵BE∥MA，∴四邊形AMBH是平行四邊形，∴AH＝MB，∵圓的半徑是2，BC＝3，∴MC＝4，∴MB＝＝＝，∴AH＝．一十．扇形面積的計(jì)算（共1小題）15．（2023?上城區(qū)一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）證明：；（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．【答案】（1）見(jiàn)證明：（2）﹣．【解答】（1）證明：如圖1，連接BE、CD，∵BC為直徑，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∴；（2）解：如圖2，連接OD、OE，∵等腰△ABC中∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵OB＝OD＝OC＝OE＝1，∴△BOD和△EOC是等邊三角形，∴∠DOB＝∠EOC＝60°，∴∠DOE＝60°，∴S陰影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE＝﹣2×﹣＝﹣．一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）用尺規(guī)作三角形ABC的外接圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．【答案】（1）．（2）畫(huà)圖見(jiàn)解答；2．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝＝，AD＝AC?cos30°＝＝，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝，∴AB＝AD+BD＝．（2）如圖，⊙O即為所求．連接OC，OB，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴OC＝BC，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BC＝＝2，∴OC＝2，即此外接圓的半徑為2．一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D平分，連接AD，BD，CD．（1）求證：AB＝CD．（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交⊙O于點(diǎn)G．①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；（2）①；②證明見(jiàn)解析過(guò)程．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D平分，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，∴2∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD，∴AB＝CD；（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，則，∴，∴∠BCD＝∠ABC，∵DG∥AB，∴∠DFC＝∠ABC，∴∠BCD＝∠DFC，∴DF＝CD，∴DF＝AB，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABFD是菱形，∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：，∴線段EF的長(zhǎng)為；②證明：∵∠ABC＝72°，∴∠ACB＝36°，∴∠CAB＝72°，∵DG∥AB，∴∠CEF＝∠CFE＝72°，∵∠DFC＝∠DCF＝72°，∴△CEF∽△DCF，∴，即EF?DF＝CF2，如圖，連接CG，∴∠DGC＝∠DBC＝36°，∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，∴∠DGC＝∠FCG