專題01平方根、立方根和實數(shù)相關(guān)規(guī)律探究題重難點題型專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一利用平方根、立方根解方程題型二平方根相關(guān)的計算題型三立方根相關(guān)的計算題型四實數(shù)的混合運算題型五實數(shù)相關(guān)的規(guī)律探究題題型六新定義的實數(shù)計算【經(jīng)典例題一利用平方根、立方根解方程】1．（2023上·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)．2．（2023上·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學(xué)校聯(lián)考期中）求下列各式中的值：(1)；(2)．3．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）求x值：(1)；(2)．4．（2023上·江蘇常州·八年級校考期中）求滿足下列各式的未知數(shù)的值．(1)；(2)．5．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習(xí)）解方程．(1)(2)6．（2023上·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）求下列各式中的x．(1)(2)7．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程(1)(2)；8．（2023上·河南平頂山·八年級?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)9．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）計算求下列各式中的x(1)；(2)．10．（2023下·河南周口·七年級期中）求下列各式中的的值：(1)；(2)．【經(jīng)典例題二平方根相關(guān)的計算】11．（2023上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知正數(shù)的兩個平方根分別是和，與互為相反數(shù)，求的平方根．12．（2023上·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)，滿足，求的平方根．13．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求：的平方根．14．（2021下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）解答題．(1)一個正數(shù)a的平方根是與，則a是多少？(2)已知a、b滿足，求的平方根15．（2022上·黑龍江綏化·七年級校考期中）已知，．(1)當(dāng)時，求和的值(2)當(dāng)，求的值．16．（2023下·福建福州·七年級校考期中）已知一個正數(shù)的平方根是和．(1)求出的值；(2)求這個正數(shù)；(3)求的平方根．17．（2023下·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．18．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知一個正數(shù)m的兩個不相等的平方根是與．(1)求這個正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．19．（2023下·四川廣安·七年級校考期中）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．20．（2023下·福建福州·七年級校聯(lián)考期中）（1）已知與互為相反數(shù)．①求的平方根；②解關(guān)于x的方程．（2）已知正實數(shù)y的平方根是m和．①當(dāng)時，求m.②若，求y的值．③在②條件下，k是的小數(shù)部分，求的值．（備注：一個數(shù)的小數(shù)部分是指這個數(shù)減去不超過該數(shù)的最大整數(shù)）【經(jīng)典例題三立方根相關(guān)的計算】21．（2023上·河南駐馬店·八年級校考階段練習(xí)）如果一個正數(shù)m的兩個平方根分別是和，n是的立方根．(1)求m和n的值；(2)求的算術(shù)平方根22．（2023上·福建泉州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：和是的兩個不同的平方根，是的立方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．23．（2023下·吉林松原·七年級校考階段練習(xí)）一個正數(shù)的兩個平方根是和，則這個正數(shù)的立方根是多少？24．（2023上·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：的立方根是3，的算術(shù)平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求的算術(shù)平方根．25．（2023上·山東青島·八年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)已知條件求值：(1)已知實數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡：．(2)已知，、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，求的值．(3)若9的平方根是，的絕對值是4，求的值？(4)已知的平方根為，的算術(shù)平方根為4，求的平方根．(5)若、、滿足，求代數(shù)式的值．26．（2023下·湖北鄂州·七年級?？茧A段練習(xí)）回答下列問題：(1)若一個數(shù)的平方根是和，求的值，并求出該數(shù)；(2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．27．（2022下·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道怎樣迅速地求出計算結(jié)果嗎？請你按下面的步驟試一試．第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000∴，即59319的立方根是一個兩位數(shù)．第二步：∵59319的個位數(shù)字是9，而．∴能確定的個位數(shù)字是9．第三步：如果劃除59319后面的三位數(shù)，得到數(shù)59，而27＜59＜64．∴，可得．∴59319的立方根的十位數(shù)字是3．∴59319的立方根是39．根據(jù)上面的材料解答下面的問題：(1)填空：1728的立方根是一個______位數(shù)，其個位數(shù)字是______；(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并驗證a是157464的立方根．28．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┤鐖D，是一塊體積為立方厘米的立方體鐵塊．(1)求出這個鐵塊的棱長．(2)現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為厘米的小立方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為厘米，求長方形鐵塊底面正方形的邊長．29．（2023下·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期課本44-46頁關(guān)于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請你根據(jù)以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現(xiàn)：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實數(shù)，例如：，那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．30．（2023下·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解，觀察下列式子：①；②；③；④；……根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)【觀察與發(fā)現(xiàn)】：根據(jù)以上式子反映的規(guī)律，請再寫出一個類似的等式：．(2)【分析與歸納】：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)，若，則；反之也成立．(3)【拓展與應(yīng)用】：根據(jù)上述歸納的真命題，解答下列問題：若與的值互為相反數(shù)，且，求的值．【經(jīng)典例題四實數(shù)的混合運算】31．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)；(3)；(4)；(5)．32．（2023上·浙江寧波·七年級寧波市第七中學(xué)?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)(5)(6)33．（2023下·七年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．34．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)；(3)；(4)．35．（2023上·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．36．（2023上·浙江紹興·七年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)37．（2023上·四川達(dá)州·八年級校聯(lián)考期中）計算或者解方程(1)(2)．(3)；(4)38．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)（，結(jié)果精確到0.01）39．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）計算．(1)(2)40．（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）計算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【經(jīng)典例題五新定義的實數(shù)計算】41．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）定義一種新的運算※，對于任意實數(shù)和，規(guī)定，例如：．(1)求的值．(2)若，求的取值范圍．42．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個實數(shù)的整數(shù)部分是不大于這個數(shù)的最大整數(shù)，這個實數(shù)的小數(shù)部分為這個數(shù)與它的整數(shù)部分的差的絕對值．例如：的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；的整數(shù)部分為，小數(shù)部分可用表示；再如，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．由此我們得到一個真命題．如果，其中是整數(shù)，且，那么，．(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．43．（2023春·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）【閱讀理解】對于正整數(shù)n，定義為不大于的最大整數(shù)，例如：，，．【問題解答】(1)直接寫出的值為______；(2)對72進行如下操作：，即對72進行3次操作后可變?yōu)?．類似地：對進行______次操作后可變?yōu)?；(3)先化簡，再求值：，其中．44．（2021春·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）定義等于不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，定義，例如，．(1)填空（直接寫出結(jié)果）：__________，__________，__________．(2)計算：．45．（2021春·廣東汕頭·七年級?？计谥校┫矚g探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”，例：1，4，9這三個數(shù)，，，，其結(jié)果分別為2，3，6，都是整數(shù)，所以1，4，9三個數(shù)稱為“和諧組合”，其中最小算術(shù)平方根是2，最大算術(shù)平方根是6．(1)請直接判斷3，12，32是不是“和諧組合”，______．(2)請證明2，18，8這三個數(shù)是“和諧組合”，并求出最小算術(shù)平方根和最大算術(shù)平方根．(3)已知9，，25三個數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的3倍，求的值．46．（2023春·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個實數(shù)的整數(shù)部分是不大于這個數(shù)的最大整數(shù)，這個實數(shù)的小數(shù)部分為這個數(shù)與它的整數(shù)部分的差的絕對值．例如：的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；的整數(shù)部分為，小數(shù)部分可用表示；再如，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．由此我們得到一個真命題．如果，其中是整數(shù)，且，那么，．(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．47．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期課本44-46頁關(guān)于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請你根據(jù)以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現(xiàn)：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實數(shù)，例如：，那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．48．（2023春·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期中）規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，將與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：當(dāng)，時，，，數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與．(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是______與______；(2)若數(shù)對的一對“對稱數(shù)”相同，則的值是多少？(3)若數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，則的值是多少？49．（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“近整區(qū)間”為，如，所以的“近整區(qū)間”為．(1)無理數(shù)的“近整區(qū)間”是_________；無理數(shù)的“近整區(qū)間”是_________；(2)實數(shù)x，y滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“近整區(qū)間”．50．（2023春·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期中）給出定義如下：若點滿足，（，），則稱這個點為“show點”．如：，故點是“show點”．(1)點，點，點中，是“show點”的是______；(2)若點是“show點”，求的值；(3)是否存在點，使點是“show點”，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【經(jīng)典例題六實數(shù)相關(guān)的規(guī)律探究題】51．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下表回答下列問題：x18.318.418.518.618.718.818.919x2334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)在和之間．（填表中相鄰的兩個數(shù)）(2)，(3)338.56的平方根是．52．（2021春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）觀察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根據(jù)觀察所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想第4個等式為______，第9個等式為______．(2)歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想，用含的式子表示第個等式所反映的規(guī)律為______．53．（2023春·云南昆明·七年級云南師范大學(xué)實驗中學(xué)?？计谥校┰谖倚？萍脊?jié)活動中愛探究思考的小明，在實驗室利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù)：．．．．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．(1)通過觀察可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)被開方數(shù)擴大100倍時，它的算術(shù)平方根擴大________倍；(2)已知，根據(jù)上述規(guī)律直接寫出下列各式的值；________；________；(3)已知，，，則________，________；(4)小明思考如果把算術(shù)平方根換成立方根，若，，________，________．54．（2023春·安徽淮南·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）計算：（2）求中的x的值．（3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的過程，請補充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是，且設(shè)，畫出如下示意圖．

由面積公式，可得因為x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到），即．55．（2023春·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎粋€三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)等于十位數(shù)和個位數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為“諧數(shù)”．如果一個數(shù)既是“和數(shù)”又是“諧數(shù)”，則稱這個數(shù)為“和諧數(shù)”．例如，，是“和數(shù)”，，是“諧數(shù)”，是“和諧數(shù)”．(1)最小的和諧數(shù)是___________，最大的和諧數(shù)是___________．(2)觀察下列各式：，，，，請你用含字母的式子寫出你所觀察到的一般規(guī)律，并證明任意的“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)．(3)已知（，，且，均為整數(shù)），是一個“和數(shù)”求的值．56．（2023春·湖北咸寧·