【摘要】文章基于幾何思維進階理論，分析小學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的難點，并提出針對不同思維水平的素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計策略，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，提升幾何思維水平，發(fā)展核心素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】幾何思維素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計策略如何更加科學(xué)地分析學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的難點？怎么根據(jù)學(xué)生不同思維水平來設(shè)計素養(yǎng)作業(yè)，通過不同層級作業(yè)的練習(xí)與診斷，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，提升幾何思維水平，發(fā)展空間觀念？下面，文章基于幾何思維進階的視域探討這兩個問題。一、基于幾何思維進階視域的學(xué)生學(xué)習(xí)難點分析幾何思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。根據(jù)范·希爾幾何思維進階理論，學(xué)生的幾何思維發(fā)展水平可以劃分為五個層次，具體見表1。小學(xué)階段學(xué)生的幾何思維水平大致能發(fā)展至層次2。學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識時，遇到的主要難點有如下三個方面：一是空間想象能力弱，難以形成圖形表象，導(dǎo)致直觀水平（層次0）提升困難；二是對幾何概念的理解不透徹，停留于表面，難以深入理解其性質(zhì)和特征，導(dǎo)致描述水平（層次1）提升困難；三是空間推理能力較弱，難以進行幾何性質(zhì)的推理和證明，導(dǎo)致抽象水平（層次2）提升困難。筆者針對不同思維水平的學(xué)生，運用幾何思維進階理論設(shè)計可以隨堂互動的素養(yǎng)作業(yè)，以幫助學(xué)生突破“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)難點，促進不同思維水平學(xué)生的幾何思維和素養(yǎng)的發(fā)展。二、基于幾何思維進階構(gòu)建作業(yè)設(shè)計的路徑基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出的“結(jié)構(gòu)化整合”理念，作業(yè)設(shè)計應(yīng)與單元教學(xué)緊密結(jié)合，形成促進學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的路徑。首先，整體規(guī)劃單元教學(xué)任務(wù)，把握新課標要求、教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，為作業(yè)設(shè)計提供依據(jù)。其次，以單元教學(xué)目標為起點，分析學(xué)生進階難點，明確作業(yè)設(shè)計方向。再次，基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向，通過處理改編或自主創(chuàng)新等方式，設(shè)計一系列觀察、操作、推理等素養(yǎng)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，逐步提升幾何思維水平。最后，將作業(yè)融入單元教學(xué)，實施優(yōu)化，及時調(diào)整教學(xué)策略，形成閉環(huán)的教學(xué)過程，持續(xù)促進核心素養(yǎng)發(fā)展。作業(yè)設(shè)計路徑如圖1。三、基于幾何思維進階構(gòu)建作業(yè)設(shè)計的策略為了幫助學(xué)生逐步提升幾何思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)，筆者根據(jù)范·希爾幾何思維進階水平量表，并結(jié)合小學(xué)生認知特點，提出了不同幾何思維水平階段的素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計的目標，具體見表2。根據(jù)目標，再設(shè)計出不同思維水平的素養(yǎng)作業(yè)。下面，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，探討“圖形與幾何”領(lǐng)域素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計的策略。（一）直觀水平：觀察感知，動手操作直觀水平作業(yè)設(shè)計重點在于引導(dǎo)學(xué)生識別、分類圖形，并感知其形狀、大小、位置等基本特征，從而建立圖形表象，初步發(fā)展空間觀念。1.多角度觀察發(fā)現(xiàn)通過觀察實物或圖片，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度感知圖形特征，如形狀、大小、位置關(guān)系等。例如，在學(xué)習(xí)一年級上冊“認識立體圖形”單元時，學(xué)生難以區(qū)分四種立體圖形，教師可以采用“自主創(chuàng)新”方式，將作業(yè)設(shè)計如圖2。主題：“立體圖形”認認認1.“分一分”游戲：提供不同大小、形狀、位置關(guān)系的長方體、正方體、圓柱和球的圖片，讓學(xué)生辨別圖形并根據(jù)特征進行分類。2.“猜一猜”游戲：將長方體、正方體、圓柱和球四種立體圖形分別放入不同的魔法箱中，只露出部分特征，讓學(xué)生根據(jù)露出的部分猜測圖形，并說出理由，再通過摸一摸驗證猜測的結(jié)果是否正確。學(xué)生通過觸摸和觀察，初步感知不同立體圖形的特征。3.“找一找”游戲：從生活中尋找長方體、正方體、圓柱和球四種立體圖形，有條件可拍照記錄，通過尋找生活中的實例，進一步理解不同立體圖形的特征。作業(yè)實施效果：提供四種圖形，學(xué)生通過觀察和操作，建立立體圖形的表象，感知其特征。學(xué)生通過表達圖形特征，進行簡單的空間想象和推理。2.多形式動手操作通過折紙、拼圖、畫圖等活動，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，感受圖形的變化和特征。例如，在學(xué)習(xí)一年級下冊“認識平面圖形”單元時，學(xué)生難以將抽象的立體圖形概念與實物聯(lián)系起來，教師可以采用“自主創(chuàng)新”的方式，將作業(yè)設(shè)計如圖3。主題：“立體圖形”變變變1.“建筑師”游戲：嘗試用積木搭建成不同的組合圖形，通過搭建，體會立體圖形的組合和變化，發(fā)展空間想象能力。2.“魔法師”游戲：印一印、玩一玩，將立體圖形的面印在橡皮泥上，先想象不同積木的底面印出的圖形，再操作驗證，并畫出立體圖形的面在橡皮泥上的印痕，直觀感知立體圖形的特征，感受“面在體上”。3.“設(shè)計師”游戲：準備一些平面圖形卡片，如正方形、長方形、三角形等，嘗試將平面圖形進行折疊、剪切、拼貼等操作，創(chuàng)造出新的圖形。作業(yè)實施效果：學(xué)生通過搭一搭、印一印、折一折等操作活動，加深對圖形的理解，體會圖形的組合和變化。（二）描述水平：想象轉(zhuǎn)換，對比關(guān)聯(lián)描述水平作業(yè)設(shè)計通過動態(tài)想象、關(guān)聯(lián)對比等方式，幫助學(xué)生深入理解圖形特征和關(guān)系，提升描述能力，發(fā)展幾何直觀，為抽象水平的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。1.多維度想象轉(zhuǎn)換此策略旨在引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形與平面圖形進行轉(zhuǎn)換，并想象圖形的運動，從而發(fā)展空間觀念。（1）動態(tài)與靜態(tài)轉(zhuǎn)換。可圍繞靜態(tài)圖形的動態(tài)想象和動態(tài)圖形的靜態(tài)分析進行設(shè)計。如在教學(xué)五年級下冊“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，教師可采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“挑戰(zhàn)你的眼力”為主題，將作業(yè)設(shè)計如圖4、圖5、圖6。觀察想象：出示圖4，想象左邊的圖是由右邊哪幅圖旋轉(zhuǎn)得到的？出示圖5，猜想后跟隨動態(tài)幾何畫板演示二次想象驗證。動態(tài)想象：出示圖6，想象不斷旋轉(zhuǎn)左邊的三角形、正方形，會得到怎樣的圖案？跟隨幾何畫板動態(tài)演示，不斷想象旋轉(zhuǎn)后的位置與形狀。作業(yè)實施效果：學(xué)生首先觀察靜態(tài)的圖形，接著想象它們繞著某個點旋轉(zhuǎn)后的樣子，這是一個從靜態(tài)到動態(tài)的轉(zhuǎn)換過程。然后再觀察旋轉(zhuǎn)的三角形和正方形，并想象它們旋轉(zhuǎn)后的位置和形狀，這是將動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的圖形分析。學(xué)生通過靜態(tài)到動態(tài)、動態(tài)到靜態(tài)的轉(zhuǎn)換，理解圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，發(fā)展空間想象能力。（2）二維與三維轉(zhuǎn)換。通過操作和想象，將二維圖形與三維圖形關(guān)聯(lián)，提升空間想象力。如在教學(xué)五年級下冊“長方體和正方體的認識”時，教師可采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“二維三維穿梭之旅”為主題，將作業(yè)設(shè)計如圖7、圖8。猜猜我是誰：已知長方體的長、寬、高，想象下面兩幅圖分別可能是什么？A.一本數(shù)學(xué)書B.一張A4白紙C.一個教室"""D.一輛公共汽車圖形拼拼樂：如圖8，要圍成圖7中的a圖長方體的形狀，應(yīng)怎么配面？說明理由。立體還原記：首先提供不同形狀的長方體和正方體展開圖，嘗試將其還原成立體圖形；然后根據(jù)長方體和正方體的特征，設(shè)計并制作展開圖；最后比較它們的異同，總結(jié)出長方體和正方體展開圖的規(guī)律。作業(yè)實施效果：首先，凸顯二維圖形的三維想象。“猜猜我是誰”針對學(xué)生難以從二維圖形中想象出三維圖形的特征的難點，提供長、寬、高數(shù)據(jù)，讓學(xué)生猜一猜可能是什么物體?！皥D形拼拼樂”再讓學(xué)生通過觀察長方體六個面的圖，想象長方體六個面的形狀。其次，凸顯三維物體的二維表征?！傲Ⅲw還原記”引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作深入理解長方體和正方體的特征，并能用展開圖進行表征。學(xué)生通過二維到三維、三維到二維的轉(zhuǎn)換，理解長方體和正方體的特征，并建立空間觀念。2.多方面對比關(guān)聯(lián)此策略旨在通過對比不同圖形的特征、關(guān)系，以及圖形運動前后的變化，幫助學(xué)生深入理解圖形的本質(zhì)，并進行推理和判斷。（1）對比與分析。通過對比分析，發(fā)現(xiàn)圖形之間的差異和聯(lián)系，凸顯本質(zhì)，建立正確的圖形表象，并能夠進行推理和判斷。（2）關(guān)聯(lián)與整合。在對比分析的基礎(chǔ)上，整體把握圖形之間的關(guān)系，將零散的知識點串聯(lián)起來，形成完整的幾何知識體系。下面，以四年級上冊“平行四邊形和梯形”一課為例，基于核心知識，將數(shù)學(xué)知識進行串聯(lián)，以題組形式展開作業(yè)設(shè)計。采用“處理改編”的方式，以“點D藏在哪兒”為主題，作業(yè)設(shè)計如圖9?！靖木幥白鳂I(yè)設(shè)計】收集資源：來源于四年級上冊課本“練習(xí)十一”。分析：圖9中第7題主要考查圖形表象建立，第13題主要考查概念本質(zhì)及關(guān)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在辨認不全、圖形關(guān)系不清的難點。通過改編處理，借助點的運動，凸顯平行四邊形和梯形的本質(zhì)屬性，并梳理各圖形的關(guān)系，提高空間想象能力。【改編后作業(yè)設(shè)計】主題：點D藏在哪兒？第一層次：分析比較。在格子圖上各畫一個與眾不同的平行四邊形與梯形。說一說你畫的圖形哪里與眾不同？第二層次：關(guān)聯(lián)整合。畫一畫：尋找一個D點和A、B、C點構(gòu)成一個梯形或平行四邊形。想一想：這個D點還可能在哪里？你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生作品預(yù)設(shè)：點D位置主要有如下三類。（圖10）變一變：移動A、B、C、D點的位置，依次變成四邊形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形，怎么移？分一分：如果用一個大圓圈表示四邊形家族，四邊形、梯形、平行四邊形、長方形、正方形的家在哪兒？作業(yè)實施效果：化靜為動，緊扣本質(zhì)，整體把握，在運動與關(guān)聯(lián)中深化概念理解。先通過對比不同四邊形的特征，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，再感知概念間的包含關(guān)系和并列關(guān)系。（三）抽象水平：符號表征，問題驅(qū)動抽象水平作業(yè)設(shè)計應(yīng)突出推理過程，提供多樣化圖形，鼓勵探究性學(xué)習(xí)，結(jié)合實際情境，注重邏輯思維。1.多元化符號表征引導(dǎo)學(xué)生運用符號、圖形、公式等多種形式表達圖形的特征和關(guān)系，并逐步提升抽象程度，經(jīng)歷從具體圖形的特征描述到符號化的表達和推理的過程。如在教學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的周長”一課時，教師采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“折紙中的數(shù)學(xué)問題”為主題，設(shè)計作業(yè)如下：（1）想一想：在圖11卡紙中，折出一個最大的正方形，這個正方形的邊長是（"""）厘米。（2）算一算：剩下小長方形的周長是（"""）厘米。（可以先在圖11中畫一畫）（3）畫一畫：將這張卡紙分成周長相等的兩部分。你有幾種分法？在圖12中畫出來。作業(yè)實施效果：通過折紙活動，學(xué)生推理出最大的正方形邊長，并用周長公式計算剩余圖形周長，將具體圖形特征抽象為符號表達，最后將周長相等的分割方法用圖形表示出來，發(fā)展邏輯推理能力。2.多層次問題驅(qū)動設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生從多個層次運用所學(xué)知識進行邏輯推理，并逐步提升推理的復(fù)雜程度。如在教學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的周長”一課時，教師采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“樂行果園中的數(shù)學(xué)問題”為主題，設(shè)計作業(yè)如下：（1）學(xué)校用柵欄將果園圍成了各種形狀（圖13）。“桃子果園”一共需要柵欄16米（不靠墻），圍成的周長可用算式“（6+2）×2＝16（米）”表示。你覺得下面哪種圍的方法是合適的？（"""）（2）學(xué)校有一個長方形“枇杷果園”（一面靠墻），長6米，寬2米。如果靠墻的邊不圍柵欄，那么最少需要多少米的柵欄？（畫一畫，算一算）（3）用24米長的柵欄圍一塊長方形“李子果園”，每條邊都是整米數(shù)。①如果一條長邊靠墻，你有幾種不同的圍法？在下表中寫一寫。②如果兩條邊靠墻，你有幾種不同的圍法？（可