/專題18.19平行四邊形最短路徑問(wèn)題（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．102．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（）A．3 B． C． D．3．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，且DF＝1，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是線段AE、AF的中點(diǎn)，連接EF和MN，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，線段MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．已知點(diǎn)與點(diǎn)，是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值為（

）A．8 B． C． D．65．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF．則EF的最大值與最小值的差為（）A． B． C．2﹣ D．﹣16．如圖，△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值是（）cmA．4 B．6 C．8 D．108．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足.E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE，BE為鄰邊畫平行四邊形CEBF，則下列線段的長(zhǎng)等于對(duì)角線EF最小值的是（

）.A．AC B．BC C．CD D．AB9．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，以AC為對(duì)角線的平行四邊形AECF，則EF的最小值是（）A．5 B．4 C．1.5 D．310．如圖在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），以、為一組鄰邊作平行四邊形，平行四邊形的對(duì)角線的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．如圖，在中，，，，點(diǎn)E在上，，點(diǎn)P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是________．12．已知邊長(zhǎng)為4的等邊，D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．13．如圖，在?ABCD中，AD＝8，AB＝，∠B＝60°．E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為_____．14．如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為__．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是ED、EC的中點(diǎn)，則FG的最小值是______．17．如圖，在中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為______．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作，連接，則的最小值為______．19．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，以為對(duì)角線的所有中，的最小值是____．20．如圖在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=6，M為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），以MA、MB為一組鄰邊作平行四邊形MADB，則平行四邊形MADB的對(duì)角線MD的最小值是______．21．如圖，已知?OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為__．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為_____23．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以BA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ長(zhǎng)度的最小值為___．24．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，AD是BC邊中線，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以EA，ED為邊作平行四邊形AEDF．（1）AD的長(zhǎng)為_________．（2）EF的最小值為_________．參考答案1．B【分析】平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．解：平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最小，即DE最?。逴D⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故選B．【點(diǎn)撥】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵．2．B【分析】設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)，得，當(dāng)P與重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，進(jìn)行計(jì)算即可得．解：如圖所示，設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，在中，，∴，∴，∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴，∵，，∴，當(dāng)P與重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值為：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì)．3．B【分析】利用三角形中位線性質(zhì)求解即可.解：∵M(jìn)、N分別是線段AE、AF的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置時(shí)，EF最小，此時(shí)，EF=4-1=3，∴線段MN的最小值為1.5.故選：B【點(diǎn)撥】此題考查三角形的中位線的性質(zhì)，知道當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置時(shí)EF最小是解答此題的關(guān)鍵.4．B【分析】①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD；②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，過(guò)C作CM⊥AO于M，過(guò)D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過(guò)B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D((8-a，6+a)，由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，求出即可．解：①CD是平行四邊形的一條邊，則AB=CD=；②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AO于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)OC，則∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM十∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，OM=CM，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD=AC，∠BCA=∠BDA，BDAC，∴∠BDF=∠FQA，∴∠DBN=∠CAM，∴△DBN≌△CAM(AAS)，∴DN=CM=OM=a，BN=AM=8-a，D(8-a，6+a)，由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，當(dāng)a=時(shí)，CD有最小值，是，∵<10，∴CD的最小值是=．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】連接，，過(guò)點(diǎn)作于，由已知以及平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，勾股定理求得，根據(jù)求得，有題意可知，最大值為的長(zhǎng)，最小值為的長(zhǎng)，求其差即可求得答案．解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，EF的最大值與最小值的差為，四邊形是平行四邊形，，，，，，,，，，，，，，即EF的最大值與最小值的差為．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)四邊形APCQ是平行四邊形得到AQ＝PC，再由垂線段最短得到：當(dāng)PC⊥AB時(shí)AQ的值最小，根據(jù)面積求PC即可；解：∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AQ＝PC，由垂線段最短可得，當(dāng)PC⊥AB時(shí)，AQ值最小，∵AB＝10，△ABC的面積是25，∴PC＝5，∴AQ＝5，故選：C．【點(diǎn)撥】此題利用三角形面積考查平行四邊形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度一般，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．7．B【分析】如圖，由題意易得，由平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OB，OD=OE，要使的值為最小，則OD的值為最小，即當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，然后問(wèn)題可求解．解：如圖所示：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴OA=OB，OD=OE，∴要使的值為最小，則OD的值為最小，即當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，∴由三角形中位線定理可得，∴，即的最小值為6cm，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形中位線、勾股定理及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線、勾股定理及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EF⊥AB時(shí)，對(duì)角線EF為最小值.解：根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知，EF⊥AB時(shí)為最小值.∵四邊形CEBF為平行四邊形，∴FC∥BE，即FC∥BA.故CD的長(zhǎng)等于對(duì)角線EF最小值.【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂線段的性質(zhì).9．D【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OE⊥AB時(shí)，EF取最小值．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴當(dāng)OE取最小值時(shí)，線段EF最短，此時(shí)OE⊥AB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝BC＝1.5，∴EF＝2OE＝3，∴EF的最小值是3．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及垂線段最短，解答該題時(shí)，利用了“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)．10．C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，故取最小值時(shí)，也取最小值，根據(jù)“在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短”，故當(dāng)時(shí)，取最小值，再根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求出從而可求出此時(shí)的.解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，也取最小值，根據(jù)“在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短”∴當(dāng)時(shí)，取最小值∵∴此時(shí)此時(shí)故的最小值故選C.【點(diǎn)撥】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和最值，掌握垂線段最短和所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解決此題的關(guān)鍵.11．【分析】過(guò)點(diǎn)A作直線的對(duì)稱點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作直線的垂線，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．解：過(guò)點(diǎn)A作直線的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，連接交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，∵點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，則，∴是等邊三角形，∵在中，，∴，過(guò)點(diǎn)E作直線的垂線，垂足為點(diǎn)G，∵，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．12．4【分析】連接，，設(shè)交于點(diǎn)J，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得出，，由三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．解：如圖，連接，，設(shè)交于點(diǎn)J，∵是等邊三角形，D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．22【分析】當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．∴AE＝3，BE，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝8，∴四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為：8+8+3+3＝22，故答案為：22．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小進(jìn)行分析．14．【分析】過(guò)作于，依據(jù)是等腰直角三角形，即可得出，依據(jù)，即可得到當(dāng)時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．解：如圖所示，過(guò)作于，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，對(duì)角線的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．6【分析】平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．解：平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最小，即DE最?。逴D⊥BC，BC⊥AB，∴ODAB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故答案為：6．【點(diǎn)撥】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵．16．【分析】連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理可得，從而得到當(dāng)CD最小，即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí)，F(xiàn)G最小，再根據(jù)，求出CH的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵F、G分別是ED、EC的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)CD最小，即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí)，F(xiàn)G最小，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC=6，∵，∴，∴FG的最小值為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過(guò)O作BC的垂線P′O，根據(jù)垂線段最短即可解決問(wèn)題．解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO=QO，CO=AO=，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線OP′，當(dāng)P與P'重合時(shí)，OP的值才是最小，∴則PQ的最小值為2OP′=2×OC=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題．18．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，EF最短也就是EO最短，故應(yīng)該過(guò)O作BC的垂線OD，所以點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，OE長(zhǎng)度最小．解：如圖，在中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)最短也就是最短，則過(guò)作的垂線，垂足為，在中，，，．點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，長(zhǎng)度最小，此時(shí)．．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．19．6【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC．∴OD是△ABC的中位線，∴，，∴，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，，，∴，∴.故答案為：6.【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及垂線段最短的知識(shí)．正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵．20．3．【分析】如圖，作BH⊥AC于H．因?yàn)樗倪呅蜛DBM是平行四邊形，所以BD∥AC，所以當(dāng)DM⊥AC時(shí)，DM的值最小，此時(shí)DM=BH．解：如圖，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB=6，∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，∵四邊形ADBM是平行四邊形，∴BD∥AC，∴當(dāng)DM⊥AC時(shí)，DM的值最小，此時(shí)DM=BH=3，故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形30度角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．21．5．解：試題分析：當(dāng)B在x軸上時(shí)，對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小，如圖所示：直線x=1與x軸交于點(diǎn)D，直線x=4與x軸交于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案為5．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．22．解：試題分析：根據(jù)菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長(zhǎng)．∵E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∴BC=2BE=2×2a=4a，故BC=AC，∴平行四邊形ABCD為菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分線．作E關(guān)BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′，PE，則PE=PE′，此時(shí)，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即為PE+PC的最小值．∵