20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師展評(píng)課函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)(新

疆奎屯三中)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)

語(yǔ)言來(lái)刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時(shí)，

函數(shù)值的變化規(guī)律；學(xué)生對(duì)于這些概念的認(rèn)識(shí)，都要經(jīng)歷直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三

個(gè)階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號(hào)語(yǔ)言刻畫圖形語(yǔ)言，用定量分

析解釋定性結(jié)果的過(guò)程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法

依據(jù).

函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角

函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、解決各種問(wèn)題中都有著廣

泛的應(yīng)用.函數(shù)單調(diào)性概念的建立過(guò)程中蘊(yùn)涵諸多數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于進(jìn)一步探索、研究函

數(shù)的其他性質(zhì)有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)

學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)

合思想的重要素材.

二、教學(xué)目標(biāo)

按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材和學(xué)情，確定如下教學(xué)目標(biāo)：

1.從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，使學(xué)生通過(guò)觀察、思考，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性.通過(guò)探究，討論

函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)與y值隨自變量x的變化情況之間的關(guān)系.讓學(xué)生體驗(yàn)“任意”二字的

含義，將圖形語(yǔ)言與自然語(yǔ)言建立聯(lián)系.在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論

證的良好思維習(xí)慣.

2.從具體的二次函數(shù)y在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)入手，通過(guò)學(xué)生對(duì)“y值隨x的

增大而增大”的逐層深入認(rèn)識(shí)，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，教師再加以合理引導(dǎo)，順

利突破本課第一個(gè)難點(diǎn)。使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解增、減函數(shù)的概念，掌握運(yùn)用函數(shù)圖像

和單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.在此，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷

從具體到抽象，從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程.

3.通過(guò)對(duì)增、減函數(shù)概念的深入挖掘，初步掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟，培養(yǎng)學(xué)

生歸納、概括、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，提高學(xué)生的推理論證能力.

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的增減性有一個(gè)初

步的感性認(rèn)識(shí)，已具備了一定的觀察事物能力和抽象思維能力，但對(duì)于感性思維向理性思維

的過(guò)渡仍有一定的障礙，對(duì)于自然語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，學(xué)生會(huì)覺(jué)得比較困難.另外，單

調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證

能力是比較薄弱的.

四、重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：增、減函數(shù)概念的形成及單調(diào)性的初步應(yīng)用.

難點(diǎn)：增、減函數(shù)的概念形成以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

五、教學(xué)策略分析

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)新課改的教學(xué)理念，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)

生的認(rèn)知水平，主要采用讓學(xué)生自主探究、獨(dú)立思考、合作交流、探究成果展示及教師啟發(fā)

引導(dǎo)的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué).同時(shí)使用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性，提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)

量.

在學(xué)生的學(xué)法上我重視讓學(xué)生利用圖形直觀啟迪思維，完成從感性認(rèn)識(shí)到理性思維的

質(zhì)的飛躍.讓學(xué)生從問(wèn)題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)、運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題

和分析解決問(wèn)題的能力.

六、教學(xué)過(guò)程

(-)創(chuàng)設(shè)情境

引例

某品牌電熱水壺，燒開(kāi)一壺水需要6分鐘，水開(kāi)后自動(dòng)斷電，50分鐘后冷卻至室溫.

(1)你能描述一下，水溫隨時(shí)間的變化時(shí)如何變化的嗎？

(2)你能用圖像表示出這種變化關(guān)系嗎？

(3)你能將“圖像的變化趨勢(shì)”與“水溫隨著時(shí)間的增加而變化”相結(jié)合起來(lái)嗎？

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，在描述上述變化關(guān)系時(shí)，把定義域分成了兩個(gè)區(qū)間去研究.函數(shù)圖

像上升、下降的趨勢(shì)反應(yīng)的是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)-----函數(shù)的單調(diào)性.

(通過(guò)樸素的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生把增、減函數(shù)的圖形語(yǔ)言與自然語(yǔ)言對(duì)應(yīng)起來(lái)，同時(shí)

為理解函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)打下伏筆.)

(-)自主探究

1.個(gè)人獨(dú)立完成或?qū)W習(xí)小組合作完成.

任意寫出一個(gè)函數(shù)的解析式及定義域，畫出草圖，任意列出一些自變量和相應(yīng)的函數(shù)

值，將“圖像的上升、下降趨勢(shì)”與“y值隨x的變化”結(jié)合起來(lái).

2.展示探究成果.

探究成果預(yù)設(shè)：

y=2x(xeR)y=—{x|x^O)

X<0

Xy

-3-4

-2-3

-1-2

0-1

10

21

32

-5-0.2

-4-0.25

-3-0.33

y=2x(x￡R),在(一oo,+8)上，y值隨x的增大而增大，圖像

-2-0.5

是上升的.

-1-1

y=—當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，y值隨x的增大而

-0.5-2

減小，圖像是下降的；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，y值也隨x的增大

而減小，圖像也是下降的.

教師追問(wèn)：能不能說(shuō)y的圖像在整個(gè)定義域上是下降的？

X

能不能說(shuō)整個(gè)定義域上y值隨x的增大而減??？

3.教師用兒何畫板演示二次函數(shù)y=/的函數(shù)值y隨X的變

化血受化的也程，開(kāi)仕總選取目義里給出相反日勺y值，讓學(xué)生冉次感

受圖像上升與y隨x的增大而增大相對(duì)應(yīng)；圖像下降與y隨x的增大而減小相對(duì)應(yīng).

(三)抽象出增、減函數(shù)的定義

1.問(wèn)題引導(dǎo)：究竟如何理解“y隨x的增大而增大”呢？

學(xué)生探討，得出“y隨x的增大而增大”可以用符號(hào)語(yǔ)言表示為“當(dāng)當(dāng)時(shí)，都有

/(王)</區(qū))”■

函數(shù)y=Y,在xe(0,+8)上滿足，當(dāng)再<*2時(shí)，/(%,)</(x2),則y=x?在

(0,+8)上是增函數(shù).

2.一般的，對(duì)于函數(shù)y=/(x),在定義域的某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如何說(shuō)明它是增函數(shù)

呢？

讓學(xué)生歸納出增函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,

如果對(duì)于定義域/內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量項(xiàng)，/，當(dāng)王時(shí)，都有

/(%,)</(%2).那么就說(shuō)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

用圖像刻畫增函數(shù).

3.對(duì)比增函數(shù)的定義，由學(xué)生歸納出減函數(shù)的定義.

一般地，設(shè)函數(shù)y=.f(x)的定義域?yàn)?,

如果對(duì)于定義域/內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量再，々，當(dāng)當(dāng)<%2時(shí)，都有

/(%,)>f(x2),那么就說(shuō)y=/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

用圖像刻畫減函數(shù)。

4、函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=/(x)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

5.比較增函數(shù)、減函數(shù)的定義.

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量再，七，沒(méi)有例外.

6、深化增、減函數(shù)的概念。

讓學(xué)生找到增(減)函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞有哪些.

7、概念辨析

問(wèn)題(1):函數(shù)y=/(x)在定義域的區(qū)間3")上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量，/(x)的值隨自變

量x的增大而增大.能不能說(shuō)明y=/(x)在區(qū)間(a,切上是增函數(shù)？

問(wèn)題(2):函數(shù)y=/(x)在定義域的區(qū)間(a,/?)上有兩個(gè)自變量陽(yáng)，％2,當(dāng)再*；/時(shí),

有/(項(xiàng))</U2)，能不能說(shuō)明y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)？

(四)例題講解

例1.課本P2s如圖，是定義在閉區(qū)間-5,5］上的函數(shù)y=/(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)

出y=/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=/(x)是增函數(shù)還減函數(shù).

一5-2135

類型：根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.

練習(xí)1:根據(jù)下列函數(shù)的圖像，指出其單調(diào)區(qū)間.

兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間能并在一起嗎？比較以下三個(gè)函數(shù)。

例2.課本P”物理學(xué)中的玻意爾定律p=K(k正為常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的氣

V

體，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。

類型：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

說(shuō)明：這兩道例題介紹了

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的兩種方法：根據(jù)圖像觀察，根據(jù)定義證明；

(2)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①取值，并規(guī)定大??；

②作差/(芭)一/(々)，并判斷差值的正負(fù)；

③下結(jié)論.

2

練習(xí)2：證明函數(shù)/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數(shù)。

X

證明：設(shè)七，》2是(一°°，°)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且項(xiàng)<%2，

則/(匹+)

X[x2X]x2xxx2

由Xi,乙e(-8,0),得x/2>0,又為<%2，x2-X1>0

于是/(%))-f(x2)>0,即/(X])>f(x2)

2

所以，函數(shù)/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數(shù)。

X

思考：對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量2，％2,當(dāng)王<%2時(shí)，以下條

件能判斷y=/(x)的單調(diào)性嗎？

①(X,-x2)[/(%,)-f(x2)]>0；

②(玉一x2)[/(%))-f(x2)]>0;

③------1——-——>0

/Ui)-f(x2)

④

（五）本課小結(jié)

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共

同完成小結(jié).

①概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

②證明方法和步驟：取值并規(guī)定大小、作差并判斷差值的正負(fù)、下結(jié)論.

③數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等.

（六）作業(yè)布置

1.習(xí)題L3第1,2題。

2.歸納以下函數(shù)的單調(diào)性。

y=kx+b(k*。);

y=ax1+bx+c,

1

y=_.

X

3.預(yù)習(xí)作業(yè)：

你知道二次函數(shù)的最值嗎？最值的含義是什么？

你知道什么樣的函數(shù)存在最值嗎？

（七）板書設(shè)計(jì)

課后反思：

i.給出生活實(shí)例和函數(shù)單調(diào)性的圖形語(yǔ)言，調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，通過(guò)直觀圖形得出

結(jié)論，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是學(xué)生思維的開(kāi)始，問(wèn)題是學(xué)生

興趣的開(kāi)始。這里，通過(guò)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心。

2.從具體的二次函數(shù)到一般函數(shù)，使學(xué)生把定義與直觀圖象結(jié)合起來(lái)，加深對(duì)概念的

理解，得出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。教師再用圖像說(shuō)明，分析定義，提問(wèn)等辦法，滲透數(shù)形

結(jié)合分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。

3.通過(guò)安排基本練習(xí)題，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展

的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜

悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)

氛圍的形成。

4.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程應(yīng)該成為這節(jié)課的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)。函數(shù)的

單調(diào)性的定義是對(duì)函數(shù)圖象特征的一種數(shù)學(xué)描述，它經(jīng)歷了由圖象直觀感知到自然語(yǔ)言描

述，再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述的進(jìn)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程充分反映了數(shù)學(xué)的理性精神，是一個(gè)很有

價(jià)值的數(shù)學(xué)教育載體。

函數(shù)的單調(diào)性--課堂練習(xí)單

探究：

任意寫出一個(gè)具體函數(shù)的解析式.

(1)畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢(shì).

(2)用列表法列出一些自變量x的值，并計(jì)算出相應(yīng)的y值，觀察x增大時(shí),y值如何變化.

(3)你能不能將x增大時(shí)y值的變化情況與圖像的特征結(jié)合起來(lái)？

Xy

Xy

概念辨析：

問(wèn)題(1):函