2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期湖南省郴州市北湖區(qū)數(shù)學(xué)模擬試卷（中考?jí)狠S題解題技巧應(yīng)用）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，則函數(shù)的對(duì)稱軸是（）。A.$x=2$B.$x=-2$C.$y=2$D.$y=-2$2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則BD與AC的夾角是（）。A.$45^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$30^\circ$3.已知一元二次方程$x^2-6x+9=0$的解為$x_1$和$x_2$，則$(x_1-x_2)^2$的值為（）。A.6B.9C.12D.184.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）。A.(1,3.5)B.(1.5,3.5)C.(1.5,4.5)D.(1,4.5)5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，則下列結(jié)論正確的是（）。A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$a+b+c>0$6.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是（）。A.45°B.60°C.75°D.90°7.已知一元二次方程$2x^2-3x-2=0$的解為$x_1$和$x_2$，則$(x_1+x_2)^2$的值為（）。A.5B.6C.7D.88.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)B(-2,1)，則線段AB的長(zhǎng)度是（）。A.5B.6C.7D.89.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向下，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,-1)$，則下列結(jié)論正確的是（）。A.$a<0$B.$b<0$C.$c<0$D.$a+b+c<0$10.在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是（）。A.45°B.60°C.75°D.90°二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）1.若函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$的圖像開口向上，則函數(shù)的對(duì)稱軸為______。2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則∠ADB的度數(shù)是______。3.已知一元二次方程$x^2-6x+9=0$的解為$x_1$和$x_2$，則$(x_1-x_2)^2$的值為______。4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為______。5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，則下列結(jié)論正確的是______。三、解答題（本大題共4小題，共50分）1.（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，求函數(shù)的最小值及對(duì)應(yīng)的$x$值。2.（10分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求∠ADB的度數(shù)。3.（15分）已知一元二次方程$x^2-6x+9=0$的解為$x_1$和$x_2$，求$(x_1+x_2)^2$的值。4.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,4)，求線段AB的長(zhǎng)度。四、應(yīng)用題（本大題共3小題，共30分）1.（10分）某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每天可以生產(chǎn)80件，每件產(chǎn)品的成本是20元。如果每天多生產(chǎn)20件，每件產(chǎn)品的成本將增加2元。假設(shè)工廠每天生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出，且售價(jià)不變，求每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，工廠的利潤(rùn)最大？請(qǐng)寫出你的解題步驟和最終答案。2.（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,4)，點(diǎn)C在直線y=x上。如果點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。3.（10分）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是60厘米。求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。五、證明題（本大題共2小題，共20分）1.（10分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，證明：AD垂直于BC。2.（10分）已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，證明：$a>0$。六、綜合題（本大題共1小題，共20分）1.（20分）某市計(jì)劃在市中心修建一座公園，公園的形狀為矩形，長(zhǎng)為200米，寬為150米?，F(xiàn)在計(jì)劃將公園的寬度增加20%，長(zhǎng)度增加10%，問擴(kuò)建后的公園面積是多少？請(qǐng)寫出你的解題步驟和最終答案。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$可以寫成$f(x)=(x-2)^2$，所以對(duì)稱軸是$x=2$。2.B解析：在等腰三角形中，底邊的中線同時(shí)也是高和角平分線，所以∠ADB是底角的一半，即$45^\circ$。3.B解析：由一元二次方程的解的性質(zhì)知，$x_1+x_2=6$，$x_1\cdotx_2=9$，所以$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=6^2-4\cdot9=36-36=0$。4.B解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的均值，即$(\frac{2+(-1)}{2},\frac{3+4}{2})=(1.5,3.5)$。5.A解析：函數(shù)圖像開口向上意味著二次項(xiàng)系數(shù)$a>0$。6.C解析：三角形內(nèi)角和為180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。7.A解析：與第3題類似，$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1\cdotx_2=-1$，所以$(x_1+x_2)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$。8.C解析：使用距離公式計(jì)算AB的長(zhǎng)度，$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(-2-3)^2+(4-3)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$。9.A解析：函數(shù)圖像開口向下意味著二次項(xiàng)系數(shù)$a<0$。10.C解析：與第6題類似，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。二、填空題1.x=2解析：由函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$可知，對(duì)稱軸是$x=1$，因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)是$(1,2)$。2.45°解析：在等腰三角形中，底邊的中線同時(shí)也是高和角平分線，所以∠ADB是底角的一半，即$45^\circ$。3.0解析：由一元二次方程的解的性質(zhì)知，$x_1+x_2=6$，$x_1\cdotx_2=9$，所以$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=6^2-4\cdot9=36-36=0$。4.(1.5,3.5)解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的均值，即$(\frac{2+(-1)}{2},\frac{3+4}{2})=(1.5,3.5)$。5.a>0解析：函數(shù)圖像開口向上意味著二次項(xiàng)系數(shù)$a>0$。三、解答題1.解析：函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$可以寫成$f(x)=(x-1)^2$，所以最小值是0，對(duì)應(yīng)的$x$值是1。2.解析：在等腰三角形中，底邊的中線同時(shí)也是高和角平分線，所以∠ADB是底角的一半，即$45^\circ$。3.解析：由一元二次方程的解的性質(zhì)知，$x_1+x_2=6$，$x_1\cdotx_2=9$，所以$(x_1+x_2)^2=6^2=36$。4.解析：使用距離公式計(jì)算AB的長(zhǎng)度，$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(-2-3)^2+(4-3)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$。四、應(yīng)用題1.解析：設(shè)每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為$x$件，則總成本為$20x+2(x-80)$元，總收入為$80x$元。利潤(rùn)為總收入減去總成本，即$P(x)=80x-(20x+2(x-80))=60x+160$。為了找到利潤(rùn)最大值，我們需要找到$P(x)$的最大值，即求導(dǎo)數(shù)$P'(x)=60$，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是常數(shù)，所以$P(x)$是線性函數(shù)，最大值出現(xiàn)在$x$的最大值處，即$x=80$。所以每天生產(chǎn)80件產(chǎn)品時(shí)，工廠的利潤(rùn)最大。2.解析：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(x,x)$，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線y=x上。點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離，即$\sqrt{(x-1)^2+(x-2)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(x-4)^2}$。平方兩邊并化簡(jiǎn)，得到$x^2-4x+5=x^2-10x+25$，解得$x=5$。所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是$(5,5)$。3.解析：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為$x$厘米，則長(zhǎng)為$2x$厘米。周長(zhǎng)是$2(x+2x)=60$，解得$x=10$。所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是$2x=20$厘米，寬是$x=10$厘米。五、證明題1.解析：因?yàn)锳D是BC