第6講單調(diào)性與最值(值域)配套必刷好題必會(huì)題型一：函數(shù)單調(diào)性定義及證明1．(2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二期末(文))下列函數(shù)在-∞，0上單調(diào)遞減的是A．y=-1x B．y=x2 C．【答案】B【分析】逐個(gè)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果．【解析】對(duì)于A，函數(shù)y=-1x在區(qū)間-∞對(duì)于B，函數(shù)y=x2在區(qū)間-∞對(duì)于C，函數(shù)y=x3在-∞對(duì)于D，函數(shù)y=x在-∞，0上是增函數(shù)，故故選：B．2．(2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí))函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，則有(

)A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)【答案】C【分析】由減函數(shù)定義，觀察自變量的大小可得．【解析】∵3<5，f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(3)>f(5)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的概念．要注意我們所學(xué)的單調(diào)性都是“嚴(yán)格”單調(diào)的，即在單調(diào)區(qū)間內(nèi)對(duì)任意的x1<x2，有3．[多選](2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

A．y=1fx在R上為減函數(shù) B．y=C．y=-1fx在R上為增函數(shù) D．y=-f【答案】ABC【分析】通過(guò)特例f(x)=x判定選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤；再利用單調(diào)性的定義證明選項(xiàng)D正確.【解析】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以不妨設(shè)f(x)=x，則y=1fx且在定義域上無(wú)單調(diào)性，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以不妨設(shè)f(x)=x，則y=fx=且在(-∞，0)即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以不妨設(shè)f(x)=x，則y=-1fx且在定義域上無(wú)單調(diào)性，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以當(dāng)?x1，x2∈R則-fx1>-f(x2即選項(xiàng)D正確.故選：ABC.4．(2022·黑龍江·綏棱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)fx=ax+2(1)求fx(2)用單調(diào)性的定義證明：fx在0【答案】(1)f(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)將x=1代入原函數(shù)，根據(jù)題意解出a值即可得出fx(2)根據(jù)定義設(shè)x1，x2∈0【解析】(1)f1故fx的解析式為：(2)設(shè)x1，f因?yàn)閤1<故fx2-fx1<0必會(huì)題型二：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1．(2022·四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)函數(shù)y=x2+2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間是(A．[-1，+∞) B．[1，+∞) C．[2，+∞)【答案】C【分析】先求得函數(shù)y的定義域?yàn)?∞，【解析】令x2+2x-8≥0，解得x≤-4即函數(shù)y的定義域?yàn)?∞又函數(shù)fx=x且在(-1，+∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)所以函數(shù)y=x2+2故選：C.2．(2021·四川攀枝花·高一期末)函數(shù)fx=lg20+x-A．-∞，12 B．12，+∞【答案】C【分析】由題可知，令u=20+x-x2>0，求出函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域內(nèi)的【解析】因?yàn)閒x=lg20+x-x可得函數(shù)的定義域?yàn)?4，5，又因?yàn)槎鴘=20+x-x2>0在-4由于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則“同增異減”得，fx的單調(diào)增區(qū)間為-4故選:C.3．(2022·江西省豐城中學(xué)高一期中)函數(shù)y=1-x【答案】1，3【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，即可得到答案【解析】要使y=1-x2+2x+3設(shè)t=-x2+2x+3=-則t=-x2+2x+3在1，3和所以y=1-x2+2故答案為：1，3必會(huì)題型三：?jiǎn)握{(diào)性求參數(shù)范圍1．(2021·福建省永泰縣第二中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，且f(2m)>f(-m+9)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(-∞，3)C．(3，+∞【答案】A【分析】使用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行求解.【解析】∵函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù)，且f(2m)>f(-m+9)∴由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，2m<-m+9解得m<3，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞故選：A．2．(2022·江蘇連云港·高一期中)已知函數(shù)y=6-axa-2(a>0)在(1，2)上單調(diào)遞減，則【答案】(2，3]【分析】分析可知函數(shù)y=6-ax在(1，2)上單調(diào)遞減，所以a-2>0，且對(duì)任意的x∈1，2，6-ax≥0恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a【解析】令u=6-ax，因?yàn)閍>0，所以u(píng)=6-ax為減函數(shù)，故函數(shù)y=6-ax為單調(diào)遞減，所以a-2>0即a>2又u=6-ax≥0在x∈1，2恒成立，故6-2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，3].故答案為：(2，3].3．(2022·湖南·安化縣江英高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)fx=ax+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)判斷fx的奇偶性，并求a、b(2)證明函數(shù)fx在0，【答案】(1)奇函數(shù)，a=-1，b=1(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，然后將點(diǎn)1，0、2，(2)利用單調(diào)性的定義證明單調(diào)性即可.【解析】(1)解：函數(shù)fx的定義域?yàn)?f-x=-ax-b分別將1，0、2，-32代入fx(2)解：由(1)得fx設(shè)x1>x因?yàn)閤1>x2>0，所以x即fx1<fx2，所以4．(2022·江蘇宿遷·高一期中)已知函數(shù)f(x)＝x﹣1x(1)判斷并用定義法證明y＝f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性；(2)若?x∈[1，2]，使得x2+1x+1【答案】(1)y＝f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析(2)[﹣1，5]【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、判斷符號(hào)、比較大小，即可得證；(2)令t＝f(x)，由(1)可得t＝f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，可得t∈0，32，令g(t)=t2-t+74，t∈0，32【解析】(1)y＝f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；下面用定義法證明：?x1，x2∈(0，+∞)，x1＜x2，f(x因?yàn)閤1，x2∈(0，+∞)，x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)﹣f(x2)＜0，f(xy＝f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；(2)由x2+1令t＝f(x)，由(1)可得t＝f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以t∈0令g(t)=t當(dāng)t∈0，12時(shí)，g(t)單調(diào)遞減，當(dāng)t∈12由g(0)=7所以12m2-2m≤所以m的取值范圍是[﹣1，5]．必會(huì)題型四：利用單調(diào)性及分離常數(shù)法求函數(shù)值域(最值)1．(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=x+1x-3x>3的值域是A．1，+∞ B．0，+∞【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)值域的求法先將分式分離常數(shù)后化求解.【解析】∵y=x-3+4x-3∴y>1，所以函數(shù)y=x+1x-3故選：A2．(2019·陜西省商丹高新學(xué)校高一階段練習(xí))函數(shù)fx=2+1xA．2，+∞ B．2，3 C．【答案】B【分析】求出1x2【解析】當(dāng)x∈R時(shí)，0<1x2故函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分式函數(shù)的值域，注意可根據(jù)定義域和不等式的性質(zhì)來(lái)求，本題屬于容易題.3．(2021·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高一期中)函數(shù)y=31-x的值域?yàn)锳．-∞，3 B．0，1 C．【答案】C【分析】根據(jù)x的范圍得到1-x≤1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)函數(shù)y=【解析】∵x≥0，∴1-x≤1，故選：C4．(2022·寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高一期中)函數(shù)f(x)=x+4x在區(qū)間[1，【答案】[4【分析】先判斷單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求值域.【解析】設(shè)1≤xf(x∵1≤x∴x當(dāng)1≤x1<x∴f(x1)-f(x2)>0，即當(dāng)2<x1<x∴f(x1)-f(x2)<0，即∴f(x)min故函數(shù)值域?yàn)閇4故答案為：[4必會(huì)題型五：利用復(fù)合函數(shù)及換元法求函數(shù)值域(最值)1．(2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí))函數(shù)f(x)=x2+3的值域是(A．[0，+∞) B．[3，+∞) C．[3，+∞) D．[0，3]【答案】C【解析】首先計(jì)算x2+3【解析】∵x2+3≥3∴函數(shù)fx=x故選：C2．函數(shù)f(x)=x+x，x∈[0，A．0 B．2 C．6 D．12【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【解析】令t=x，因?yàn)閤∈0，則y=t當(dāng)t=3，即x=9時(shí)，y有最大值12，即函數(shù)f(x)=x+x，故選：D.3．函數(shù)y=5-7+6x-A．[-11，5] B．[1，5] C．【答案】B【解析】試題分析：由于7+6x-x2≥0解得-1≤x≤7，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值為1，當(dāng)x=-1，4．(2022·重慶璧山·高一階段練習(xí))函數(shù)fx=x-1-2x的值域?yàn)锳．-∞，12 B．(-∞，【答案】A【分析】利用換元法即可求值域.【解析】設(shè)t=1-2x，則所以x=1-t所以y=1-二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)t=0時(shí)，y有最大值12所以函數(shù)fx=x-1-2故選：A5．(2022·湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)f(x)=3x【答案】[3【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性解決即可．【解析】由題知f(x)=3令t=x由二次函數(shù)圖像性質(zhì)可知，t在(-∞，0)所以f(x)在(-∞，0)所以3x所以f(x)=3x2故答案為：[3必會(huì)題型六：利用判別式法及不等式求函數(shù)值域(最值)1．(2022·全國(guó)·高一專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=3x2+x+3x2+1的最大值為aA．4 B．6C．7 D．8【答案】B【分析】直接用判別式法求函數(shù)的最大值和最小值．【解析】設(shè)y=3x2+x+3xx=0時(shí)，y=3，y≠3時(shí)，因?yàn)閤∈R，所以Δ=1-4(y-3)2≥0，解得52≤y≤綜上52≤y≤72，最大值是72故選：B．2．(2021·江蘇·高一專題練習(xí))求函數(shù)y=2x+1x2【答案】[【分析】由解析式知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為方程yx2-2(y+1)x+2y-1=0，即該方程在x∈R上有解，討論【解析】由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R，且y(x∴整理可得：yx2-2(y+1)x+2∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-1當(dāng)y≠0時(shí)，有Δ=4(y+1)2-4y(2y-1)≥0∴綜上，有函數(shù)值域?yàn)閇3-故答案為：[3-3．(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的最值．(1)y=x(2)y=x+2【答案】(1)2-23(2)【分析】(1)面對(duì)分式函數(shù)，采用分離常數(shù)項(xiàng)法，再結(jié)合基本不等式，可得答案；(2)面對(duì)根號(hào)，利用整體還原的思想，再結(jié)合基本不等式，可得答案；．(1)y=≤2-21-x?31-x=2-2所以y=x2+2(2)設(shè)t=x+2t>0，則y=t當(dāng)且僅當(dāng)2t=1t，即t=故y=x+22x+54．(2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試)求下列函數(shù)的值域：(1)fx(2)f(3)fx(4)fx【答案】(1)0(2)(-(3)0(4)-【分析】(1)將-2，-1，(2)形如y=ax+bcx+dac