北京高中數(shù)學知識應用競賽初賽及答案

1、（滿分16分）永強加工廠接到一批訂單，為完成訂單任務，需用a米長的材料440根，b米長

的材料-480根，可采購到的原料有三種，一根甲種原料可截得a米長的材料4根，b米長的材料6根，b米

長的材料2根，成本為50元：一根丙種原料可截得a米長的材料4根，成本為40元，問怎樣采購，可使

材料成本最低？

解設甲種取x根，乙種取y根，丙種取z根，則已知為X、\、z滿足

4x+6y+4z=440（I）

8x*2y+4zM80（2）

設總成本為p元，則求p-60x*50y+40z-最小fS.......8分

22

由（1）和（2）,得x=50-52,7=40-$z,因為x、y都是正敬，所以

OSzWIOO.又因為對都是非負整瓶，所以令z=5t,則0MW20,于是

p-60x*50y*40z

-60（50-2t）+5Q（40-2t）4-40X5t

-5000-20t,

顯然?2。時，成本最低,SPx-IO,y-O,z-IOOW.取得材料的最低成本4Mo

???為了取得最低成本，啊買甲種材料10根，乙種0根,丙種100根，成

本是4600元.........忖分

2、（滿分16分）中國青年報2002年9月19日報道：據(jù)北京市交通管理局的最新統(tǒng)計，目前北京

機動車總量已突破180萬輛，每100個家庭擁有超過10輛汽車，城市汽車擁有量已躍居全國首位?！?

到2008年左右，北京機動車保有量將達到300萬輛。

（1）請你按以上信息，計算北京今后6年的機動車平均年增長率；

（2）給出一個適合北京遠景規(guī)劃的汽車新牌號設計原則和設計方案，設計

原則中應考慮城區(qū)普通車、農(nóng)用車、警用車、外籍車等不同車種的區(qū)分。

解（1）設平均年增長率為x,則據(jù)已知信息，有

180(1+x)6-300.

即x1.088-1、1.09-1?9%.

北京今后6年的機動車平均年增長率約為濟.

...............6分

（2）這個詞也是開放性的，不給差考解答.

...............16分

（只要曖則合理，斯牌號的總量不少與500萬個即可得滿分，總量不足

300萬的減4分，在30。-500的堿1分，原則不合理的前情朦分.）

3、（滿分16分）體育彩票的抽獎是從寫在36個球上的36個號碼隨機搖出7個。有人統(tǒng)計了過去

中特等獎的號碼，聲稱某一號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個幸運號碼，人們應該買這一號

碼，也有人說，若一個號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個號碼出現(xiàn)的機會相等，應該買這一

號碼,你認為他們的說法對嗎？

解體育彩票應本36個號碼的36個球大小、重量等應該是一致的，嚴格說，為了保證公平，每次

用的36個球，應該只允許用一次，除非能保證用過一次后，球沒有磨損、變形，和沒有用過的球一樣。

因此，當你把這36個球看成每次抽獎中只用了一次時，不難看出，以前抽獎的結果對今后抽獎的結

果沒有任何膨響，上述兩種說法都是錯的。.......16分

4、（湎分16分）寶石加工廠經(jīng)常需要格礦石原料內(nèi)已知位直上的一塊精品切30

出來，現(xiàn)有一塊長方體的原科石材，具長X寬X高的尺寸分別為1”14“2（53）3,

需要求個下來的摘品部分相應的尺寸為5x4x2??）3的力*方體，且二者的左例

面、前面和展面相互平行,距離分別為&1小,7sw比?冽已知切S1的加T滑用為垂百

縱向切割（即行于前面）3元水平方向的制（即切剖面平行于底面）

5元/匕用2,為了湛少族轉刀具的次數(shù)，要求同向切割連嬪兩次后再旋轉刀具，m

作方便，母次切勤都要把石材切斷，切劄時要求石材的高垂宜于水平面，試給出場圭!

的程序使切割的總費用最少?

解法1建立坐標系（八.勺,勺），使得/軸、心軸X3船分別與長方體的長、

血、高平行，令分別表示原舞長方體的長、質和高，/,■Q=L23分

別表示忖品第分長方崢的長、寬和高.垂直和水平炳器的些用分別為8和b元.

根相題意可知,整個切量的過程可以分為三次,即垂苴縱向切和、垂百橫向切卻和水

平方向切國.督次包括平行的兩刀，這兩刀切變的面積是一樣的,在我們的坐標系下這三

次切削可以記為沿勺勺向X/3向和/叼向的切削，被切割的原料的形狀在野次壞卻后部

要發(fā)生受化，即，某一個方向上的長度由于切割而激小，如沿著X/3面切卻《垂直橫向

切卻）時，格使得長方體在勺（即亮）的方向裱少為沿著七勺面切割（水平方向切

劄）時將使得長方體在勺（即高）的方向減少為八.因此后面切割的面積會由于前面的

切3BJ而不同.

在我們的問題中這三次用卻投加工先后次序的不用總共有3-6種情於它們是

xx

①縱《叼叼）、橫（八平（XjX）②縱（）、平（XJXJ）、橫（XJXJ）

l32X2X3

③橫（X/6、縱（X3Xj）%平（XjX2）④模（々X"、平（公與）、姒（x/J

⑤平《七彳2）、縱《勺/）、情（X]G）?￥（七必）、惜（七勺）、縱（X2X3）

根據(jù)上面的分析，這六個情況中每一個的三次切割的切割面積（只記兩個平行面中的一個）分別是

（DL2k.叫.心.②khhMh③kkhih

④，，.卬].，.3,⑤Ak13k.耳卜Oijij./jij./j/j,

于是，這六觸情況的切割助用應該是

①耳?印(。2。3”也)。?￥/)，②瑪?咕)。?，//],

③尸3?2((44〃出)"卬例，④&-2((卬3+心?火】，

⑤呂，陽/#2+4)。+4口]，⑥為，&W4*J3M+鵬力】

由題目的假設可知.￡1?19.J?14,4?124?5,4?44?2力?5

代入上或可其得，

^-2((168*60)x3+20x5]-1568,

^-2((168+10)x3+70x5]-1768,

姆-2((228+48)x3*20x5]-1856,

&-2((228+8)》3?76x5]-2176,

片-2((28?10)x3*226x5]-2888,

&=2((38+8)x3+266x5]=2936.

比較這六種情況的費用可知，第一種切割方式，即先縱切，再橫切，最后平切的切割方式費用最

低。.........................16分

解法2首先考慮垂直和水平切割鉞用相同的情況，即a=b時，六種情況的費用為

①片白②居

③瑪?3（￡右?，山?兒],④4?2a%％?小+3J

⑤生一-—?￥】?“J⑥4一-岫?LM

由此可以得到耳＜瑪O44+優(yōu)＜3+3O4-4＜G-4Q的＜S?

這里我們引入了記法立,4-4,它表示當W期相應的長度時的切割量，類似

的我們有如下的結論

A＜丹=片＜$2,月〈用=邑＜八.氏〈尸60s2＜$1.

耳〈居O$2＜4,段〈&oS§＜$＞?居〈&。$3＜叼

格上述關系中的〈摟成=、＞耳樣成立,綜合這些不等式的關系-我們可以將到：

當＞的時，有與＜&＜生＜外和耳＜瑪＜卅，①種恬況（縱橫平）芾

S]＞s2@PM

用最味

當6＞邑＞$2時，有段＜用〈尸6＜片和呂〈尸1〈瑪，即第②種情況（縱平楸）卷

用最|品

當J＞$＞Sa時，有/＜鳥＜/＜凡和網(wǎng)＜居〈片，即第③種情況（橫縱平）費

用段低1

當場＞與＞$】時，有片＜吊＜鳥＜&和尼＜瑪〈耳，即第④種情況（悔平縱）S

用1函

當匈＞%＞s?時，有其＜其＜居＜用和為＜用（耳，即第⑤種情況（平縱橫）贊

用最低I

當今＞S2＞5時，有為＜不＜耳＜片和片＜片＜號，即第⑥種情況（梅平姒）身

用殿的

由這些結論可以看出，當各方向切割的費用相同時，切割策略的制定只需要選擇切割量大的方向首

先切割就可以了，我們不妨稱之為大切割量原理?！?0分

當b4時,我們可以通過改變長方體高度的方法化刈日等費用的問題來#?決就可以

了,在我們的間題中,可以通過變換乙3，=3兄?3」；=（。必刈來實現(xiàn)，這時在X/3

和X20方向切割長方體的有關系

=="山二和〃山

0ga（bta）lkL^-a（bla）LkL^?名工

它表明當使用原型用a在原長方體上沿上述方向切卻時的受用相當于用戔用b在新長

方體上切割，這樣就化為等費用的問題了.

這樣一來，只需要格原問題中的高度與=12和A=2變換為￡/=（3乃）外2=72

和％??（3/5）x2-L2.然后計菖

5「J-19-5-14,S2H?￡-4-10,＜--72-1.2-6.

由于s]＞“＞＜.根據(jù)大切街壁原理可知應采用方案①，初切、橫切在平切的程

序總的切割費用最低.............16分

5、（滿分18分）北京時間2002年9月27日14點,國航CA981航班從首都國際機場準時起飛，當

地時間9月27日15點30分，該航班正點平穩(wěn)降落在紐約肯尼迪機場；北京時間10月1日19點M分，

CA982航班在經(jīng)過13個小時的飛行后，準點降落在北京首都國際機場，至此國航北京一紐約直飛首航成功

完成。這是中國承運人第一次經(jīng)極地經(jīng)營北京一紐約直匕航線。從北京至紐約原來的航線K經(jīng)上海［北緯

31,東經(jīng)122）東京（北緯36,東經(jīng)140）和舊金山（北緯37,西經(jīng)123）等處，如果飛機飛行的

高度為10千米，并假設地球是半徑為6371千米的球體，試分析計算新航線的空中航程較原航線縮短了多

少。

解在地球上，兩地間飛行的最短距離是這兩地所在大圓［其半徑為地球的半徑與飛行高度之和）

的兩地間劣弧長。

本題應計算以北京、紐約為端點的大圓劣弧長，再計算北京到上海、上海到東京、東京到I口金山、

舊金山到紐約各段大圓劣弧長度和，然后求它們的差。

(1)對于地球上任意兩點AsB,當其經(jīng)緯度已知時，可用如下方法求出其間

大圓劣弧的長。

如圖，設點A的緯度和經(jīng)度分別為名,a?,點B的緯度和經(jīng)度分別為￡i,￡?，

A、B所在緯線的房口分別為0卜。2.大扇半徑為R.過點A作點B所在緯線的平面的

垂線，設垂足為C.

因為=Rsin%-Ksin4,。。=O2A=Reos1,

OXB=Rcos0i/BO[C=a2一色，

所以

一

BC2=OXB2+0i5-2(?!5,O]Ccos(%

AB2-AC2+BC2=2R2(1-sina】sin-cos的coscos(%-4)),

/…OB2+OA2-AB2

cosABOA=---------------------------

2OA'OB

=(sin/sin+cos%cos0、cos(%-/?2)).

設/8Q4的度數(shù)(弧度)為6,則A與BN間的大圓劣孤長為.1。分

(2)計苴瘡骯疣的距離

因為sm40*sin3r?cos40Bcos3rcos6"-0.98,

co尸(sin40r$m31*+co$40*co$31'cosS-10*),

所以上海到北京的距離為“-6381型0=111369/掰)

180

因為sin31"sin36■+cos31"cos36'cos18--096,

cos-1(sin31'stn36"?cos31'cos36"co:18")=16*.

所以上海到東京的距籬為匚6381*16

17819(M

180

因為向36?sm37'+cos36cos3Tcos263-027.

cos4(sm36'sin37-*cos36ecos37-cos267)-74*,

所以東京到舊金山的距離為匚理馬=824134(bi).

180

因為向37?m4Q?.8$37?C840?C84”-0.78,

cos4(sin37'即40rcos37-cos40-cos4夕)-33?

所以舊金山到妞約的距離為土經(jīng)隹7232.04(七頊

180

所師喝的距喜為11136X178L91+824134+423204=1536898(km).

(3)計算新航線的距離

a^sin40-40'+cos40B40°cos190"=0.17,

cos-1(sin40°sin40°+cos40°cos40°cos190°)=100",

所以新航線的距離為叱6381x100=[]]3695G㈤........1分

180

(4)新航線比原航線飛行距離縮短了423203(km),縮短為原來的72%.

6、（滿分18分）中國國家郵政局2002年1月28日宣布，從2月1日起，使用多年的民居、長城

等普通郵票將停止出售，新發(fā)行普通郵票兩套。每套普票面值均暫定為十種：5分、10分、30分、60分、

80分、1元、1.5元、2元、4.2元、5.4元。

下表是目前國內(nèi)郵件資費情況，單位：元。

崢資費標準

編導種類計費單位外埠

資費資費

1信函首重100克內(nèi)，每重20克（不0.600.80

足20克按20克計算）

續(xù)重10L2000克，每重100克1.202.00

（不足100克按100克計算）

2明信片每件0.60

說明：

1、本埠以市屬區(qū)（不含市轄縣和飛地）為范圍，本縣以

縣境為范圍.

2、國內(nèi)信函、印刷品郵件計費方式由原遞重等額累進計費改為

分首、續(xù)重分別計費。

3、取消郵政附加費。

根據(jù)以上信息，假如在信封上最多可以貼四張郵票，試回答下面問題：

（1）請你在0.6元、0.8元兩種面值基礎上再從新發(fā)行的郵票中選出兩種面值，形成一套四面值且能

滿足重量不超過500克的所有國內(nèi)信函（含明信片）付組需要的郵票，

（2）請你設計九套均為四種面值的郵票，要去含0.6元、0.8元兩種面值，另兩種面值的郵票隨意確

定，但要滿足重量不超過500克的所有國內(nèi)信函（含明信片）付費需要；

（3）在實際中，有很多指標nJ"以用來衡量一套郵票的合理新。請你試列舉出兩個指標，并分別用它們

衡量你在前兩間中所設計出的十套郵票，找出其中你認為最合理的一套郵票。

解（1）另兩種面值選2元，5.4元........6分

（2）符合題目要求的答案至少有一下20套：（單位：元）

的

a

%&。4i%%4

106082541106082452