初三數(shù)學(xué)青島版

(一)平行四邊形及其性質(zhì)平行四邊形的判定

知識(shí)強(qiáng)化

一、知識(shí)概述

1、平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，用符號(hào)七”表示.平行四邊形ABCD

記作“oABCD”，讀作“平行四邊形ABCD^^.

連接平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做平行四邊形的對(duì)角線.

如圖，在"BCD中，AB與CD,AD與BC分另I」為DABCD的兩組對(duì)邊，NA與N

C,NB與ND是兩組對(duì)角.AC、BD是平行四邊形的兩條對(duì)角線.

2、平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)較多，按“邊、角、對(duì)角線”分類去研究易于理解和應(yīng)用.

(1)邊：平行四邊形對(duì)邊平行、對(duì)邊相等；

(2)角：平行I四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；

(3)對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

對(duì)角線是將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的橋梁，平行四邊形中也常利用“對(duì)角線互相平分”

這一性質(zhì)解決問(wèn)題.

3、平行四邊形的判定方法

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

VAB/7CD,AD〃BC

兩組對(duì)邊分別平行的

定義判定

四邊形是立行四邊形LJ???四邊形ABCD是平

AB行四邊形

VAB=CD,AD=BC,

兩組對(duì)邊分別相等的

判定定理1Ld???四邊形ARCD是平

四邊形是三行四邊形

行四邊形

VAB^CD,AB=CD,

一組對(duì)邊立行且相等

判定定理2的四邊形是平行四邊

LJ???四邊形ABCD是平

形

A?B行四邊形

VOA=OC,OB=OD,

對(duì)角線互相平分的四

判定定理3?■?四邊形ABCD是平

邊形是平行四邊形兇

AB行四邊形

二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納

1、理解平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的定義要抓住兩點(diǎn)，即“四

邊形”和“兩組對(duì)邊分別平行”.

2、理解平行四邊形的性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系

通過(guò)比較不難發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的判定與性質(zhì)是互逆的.

可以用下圖說(shuō)明平行四邊形判定與性質(zhì)的關(guān)系.

分*Rf

平行且1瞪

分*瞞

從川營(yíng)一兩0對(duì)角分*1第

3、判定一個(gè)四邊形是平行四邊形需兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件必須對(duì)應(yīng)，若已知一組對(duì)邊

平行，可證另一組對(duì)邊平行或這組對(duì)邊相等；若已知一組對(duì)邊相等，可證這組對(duì)邊平行

或另一組對(duì)邊相等；若己知一條對(duì)角線被一點(diǎn)平分，則需證另一條對(duì)角線也被此點(diǎn)平

分.但要注意?組對(duì)邊平行，另?組對(duì)邊相等的四邊形不?定是平行四邊形.

特別說(shuō)明的是：平行四邊形的定義既是它的性質(zhì)，乂是它的判定.

三、典型例題剖析

例1、如圖，在EIABCD中，AE_LBC于E,在AD上取一點(diǎn)G,使DG=AB,過(guò)點(diǎn)G作

GFJ_CD于F.求證：AE=GF.

證明：

西邊形ABCD為平行四邊形，

???NB=/D(平行四邊形對(duì)角相等).

XAE1BC,GF1CD,AZAEB=ZGFD=90°.

Z0-ZA

乙am,

在4ABE和AGDE中，1跖?8

.,.△ABE^AGDF(AAS).

，AE=GF.

點(diǎn)評(píng)：這里利用平行四邊形對(duì)角相等這?性質(zhì)是證題的關(guān)鍵.

例2、如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是平行四邊形，證明NBAE=NDCF.

BE

證明：

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZBAD=ZDCB.

乂四邊形AECF也是平行四邊形，

??.NFAE=NECF.

ZBAD-ZFAE=ZDCB-ZECF,即ZBAE=ZDCF.

點(diǎn)評(píng)：

要證的兩個(gè)角正好是兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角的差，可運(yùn)用平行四邊形的對(duì)角相等的

性質(zhì).

例3、如圖，在四邊形ARCD中，AR=DC.AD=RC,點(diǎn)F.在RC上，點(diǎn)F在AD上.

AF=CE,EF與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)O.求證：點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).

證明：

如圖，連結(jié)FB、DE.

VAB=DC,AD=BC,

.?.四邊形ABCD是平行四邊形.

，F(xiàn)D〃BE.又AD=BC,AF=CE,

???FD=BE.???四邊形FBED是平行四邊形.

AOB=OD,即點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：

這里是根據(jù)條件，靈活地選擇平行四邊形的判定方法，再運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，

推出對(duì)角線互相平分.

例4、(1)有四邊形ABCD和卜.列條件:①AB〃CD；②AD〃BC；③AB=CD：④AD=BC.從

上面4個(gè)條件中選出兩個(gè)，能說(shuō)明四邊形ABCD是平行四邊形的有;

(2)如圖，BD是DAECD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四

邊形，還需要增加的一個(gè)條件是(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)即可).

分析：

(1)首先確定共有六種選法：①②，①③，①④，②③，②④，③④，然后根據(jù)判定

方法選出正確的結(jié)論.(2)研究補(bǔ)充條件后，只要能證明四邊形AECF有兩組對(duì)邊分別平

行(或兩組對(duì)邊分別相等，或一組對(duì)邊平行旦相等，或?qū)蔷€互相平分)即可.如圖，若

添加條件BE=DF,連接AC交BD于0,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AO=CO,

BO=DO,所以BO—BE=DO—DF,即OE=OF.所以四邊形AECF是平行四邊形.

解：

(1)①②為定義；①③，②④為一組對(duì)邊平行旦相等；①④，②③為一組對(duì)邊平行，

另一組對(duì)邊相等，可能是等腰梯形故排除；③④為兩組對(duì)邊分別相等.綜上所述有：符

合的是①②，①③，②④，③④，共四種方法.

(2)BE=DF或BF=DE或AE〃FC等

點(diǎn)評(píng):

（2）題是一道與平行四邊形判定有關(guān)的題設(shè)開(kāi)放型題Fl,關(guān)鍵要理解平行四邊形的判

定方法.

例5、如圖，在AABC中，ZACB=90°,CF是斜邊上的高，AT平分NCAB交CF于點(diǎn)

D,過(guò)D作DE〃AB交BC于點(diǎn)E.求證：CT=EB.

C

證明:

過(guò)D作DG//CB交AB于點(diǎn)G.

VDE/7AB,

???四邊形DEBG為平行四邊形.

???DG=EB,Z3=ZB.

在RtAABC與RtAAFC中，易知N4=NB.

AZ4=Z3,VZ1=Z2,AD=AD,

AAACD^AAGD,；?CD=GD.

又Nl+N5=90。，Z2+Z7=Z2+Z6=90°,

AZ5=Z6,ACD=CT.

ACT=EB.

中考解析

例1、（山東日照）如圖，在周長(zhǎng)為20cm的EJABCD中，AB^AD,AC、BD相交于點(diǎn)

O,OE_LBD交AD于E,則aABE的周長(zhǎng)為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

分析：

平行四邊形對(duì)邊相等，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm,所以AB+AD=10cm.

又因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，所以O(shè)為BD中點(diǎn)，而OE_LBD交AD于E,

所以BE=ED,所以AABE的周長(zhǎng)為AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=10cm.

答案：D.

例2、(四川省)如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE=CF.

(1)求證：AABE^ACDF；

(2)若M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，連結(jié)MF、EN,試判斷四邊形MFNE是怎樣

的四邊形，并證明你的結(jié)論.

證明：

(1)???四邊形ABCD為平行四邊形，

AAB=CD,ZA=ZC.

又AE=CF,.,.AABE^ACDFCSAS).

(2)四邊形MFNE是平行四邊形.證明如下:

由4ABE咨Z\CDF得BE=DF.

又M、N分別為BE、DF的中點(diǎn)，??.EM=NF.

由四邊形ABCD為平行四邊形知Q/R.又AE=CF,

?.?加＞1*,四邊形BEDF為平行四邊形，故BE〃DF.

??.,四邊形MFNE為平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：

本例兩次用到“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，并且兩次

用到平行四邊形的性質(zhì)定理.

課外拓展

例、如圖，在aABC中，ZC=90°,點(diǎn)M在BC上，且BM=AC；點(diǎn)N在AC上，且

AN=MC.AM、BN相交于點(diǎn)P.求證：ZBPM=45°.

證明:

如圖，過(guò)M作DM1BC且使DM=AN,連結(jié)ND,則四邊形AMDN為平行四邊形,

AM=DN,ZMDN=ZMAC.

連結(jié)BD,由DM=AN=CM,BM=AC,得Rt^BMD絲RtZXACM,

貝ijBD=AM=DN,ZBDM=ZAMC.

，ZBDN=ZBDM+ZMDN=ZAMC+ZMAC=90°.

.,.△BDN為等腰直角三角形.NBPM=NDNB=45。.

（二）特殊的的平行四邊形

知識(shí)強(qiáng)化

一、知識(shí)概述

1、定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.（長(zhǎng)方形和正方形都是矩形）

一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.

2、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定方法

母面，g個(gè)角部現(xiàn)角

IShBttffi*t。三制的《6上的中線等于■邊的T

1有三個(gè)角是?Aa?9邊影是短

'呼邊婚相串

W角線互相垂.肅且第一條例角線千分

賓京a角線互相垂?增平行四沏曜班

加條邊呼相等f(wàn)fl四晚f*齡

演相硒wav

正方靜即線相等.互相平分且垂?

我由沁碰相降的矩動(dòng)是跖刀

［有T角圖1角的10屣正方希

3、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系

平行四邊形

正

矩

形

菱形

方

形

二、典型例題講解

例1、已知：如圖所示，M,N分別是EJABCD的對(duì)邊AD,BC的中點(diǎn)，且AD=2AB.求

證：四邊形PMQN為矩形.

錯(cuò)證：

連接MN.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD〃BC且AD=BC.

VM,N分別為AD,BC的中點(diǎn)，

???四邊形AMNB是平行四邊形.

AB^-AD,

:?2；?AB=AM.

???□AMNB是菱形（菱形的定義）.

AANIBM（菱形的對(duì)角線互相垂直）.

ZMPN=90°.

同理可證/MQN=90。.

，四邊形PMQN為矩形.

正確證法：

連接MN.???四邊形ABCD是平行四邊形，

Z.AD/yBCJGLAD=BC.

又,:22???DM〃BN且DM=BN.

???四邊形BNDM是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

，BM〃DN.

同理，可證四邊形ANCM是平行四邊形.???AN〃CM.

???四邊形PMQN是平行四邊形（平行四邊形定義）.

「AM〃BN且AM=BN,，四邊形ABNM是平行四邊形.

又?.?AD=2AB,AD=2AM,AAB=AM.

???四邊形ABNM是菱形（菱形的定義）.

AANIBM,AZMPN=90°.

.??四邊形PMQN為矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）.

錯(cuò)證分析:

錯(cuò)誤在于只知兩個(gè)角是直角便判定四邊形是矩形，應(yīng)需證明還有一個(gè)角是直角.為

防止以上錯(cuò)誤出現(xiàn)，初學(xué)的同學(xué)在解題中遇到與本例類似題目時(shí)應(yīng)注明理由.

例2、如圖，平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作Rt^ACE,BEJ_DE于E.求證:

四邊形ABCD是矩形.

證明：

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.??對(duì)角線AC、BD互相平分.

又已知4AEC為RtA,

???取AC中點(diǎn)0,連接0E,

：.-2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.

OB=-BD

同理，對(duì)于RtABED,2,AAC=BD.

四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行叫邊形是矩形）

例3、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與AD,BC分別交于點(diǎn)E,F,

求證：四邊形AFCE是菱形.

分析：

已知對(duì)角線互相垂直，還需什么條件就能說(shuō)明四邊形是菱形？

證明：

???四邊形ABCD是矩形，

???AE〃FC（矩形的定義）.

AZ1=Z2.

又???NAOE=NCOF,AO=CO,

.,.△AOE^ACOF（ASA）.

AEO=FO.

???四邊形AFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又???EF_LAC,

???四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

例4、在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交與點(diǎn)O,ZBAC=30°,BD=6.求菱形的邊

長(zhǎng)和對(duì)角線AC的長(zhǎng).

B

分析：

本題是菱形的性質(zhì)定理2的應(yīng)用，由NBAC=30。，得出4ABD為等邊三角形，就

抓住了問(wèn)題解決的關(guān)鍵.

解：

???四邊形ABCD是菱形，

???AB=AD.（菱形的定義）

AC平分NBAD.（菱形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角）

XVZBAC=30°,

???ZBAD=60°.

???△ABD為等邊三角形.

AAB=BD=6.

又?:OB=OD=3,（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）

AC1BD,（菱形的對(duì)角線互相垂直）

由勾股定理得AO^+BO-AB2.

???A0=S,AC=2AO6".

例5、設(shè)M、N是正方形ABCD的兩邊AD、DC的中點(diǎn)，且CM與BN相交于點(diǎn)P.求

證：PA=AB.

證明:

若PA=AB,則點(diǎn)A在PB的中垂線上，取CB的中點(diǎn)G,連AG.

???只需證NMPB=90。，并且證明四邊形MCGA是平行四邊形

.?可證ACDBKNABCN

.\ZDCM=ZCBN

VZDCM+ZPCB=90°

.,.ZPCB+ZCBP=90°

/.ZCPB=90°,.??CM_LBN

又可證四邊形MACG是平行四邊形

AAG//CM

AAG1BP

VBG=CG

???AG過(guò)BP的中點(diǎn)

???AG垂直平分BP

AAP=AB

例6.如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE±MC,PF

_LBM,垂足分別為E、F.

(1)當(dāng)四邊形PEMF為矩形時(shí)，矩形ABCD的長(zhǎng)與寬應(yīng)滿足什么條件？

(2)在(1)中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PEMF變?yōu)檎叫危繛槭裁矗?/p>

分析：

(1)四邊形PEMF中已經(jīng)有兩個(gè)直角了，若為矩形，還需再有一個(gè)直角，即N

BMC=90。.點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD中點(diǎn)，四邊形PEMF為矩形時(shí)，ZAMB=Z

DMC=45°,即AB=AM=MD.

(2)四邊形PEMF為正方形，只需PE=PF,因此P是BC中點(diǎn).

解：

(1)當(dāng)BC=2AB時(shí)，四邊形PEMF為矩形

由于M是AD中點(diǎn)，矩形ABCD,得到三角形ABM和DCM都是等腰直角三角形,

ZAMB=ZDMC=45°,

因此NBMC=90。，又PE_LMC,PF1BM,所以西邊形PEMF為矩形.

(2)當(dāng)P為BC中點(diǎn)，BC=2AB時(shí)，BM=CM.乂三角形PBM和PCM的面積相

等，因此得至UPE=PF,所以四邊形PEMF為正方形.

中考解析

例1、(隴南)四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.

(1)求證：AE=CG：

（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

⑴證明：如圖，

VAD=CD,DE=DG,ZADC=ZGDE=90°,

乂ZCDG=90°+ZADG=ZADE,

AAADE^ACDG.???AE=CG.

(2)猜想：AE±CG.

證明：如圖,

設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N.

VAADE^ACDG,AZDAE=ZDCG.

XVZANM=ZCND,AZAMN=ZCDN.

AZAMN=ZADC=90°.AAE1CG.

例2、(淄博)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,ADXBC,垂足為點(diǎn)D,AN是4

ABC外角NCAM的平分線，CE1AN,垂足為點(diǎn)E,

(1)求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當(dāng)aABC滿足什么條件時(shí)。，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明.

8DC

(1)證明：在aABC中，AB=AC,AD1BC.

:.ZBAD=ZDAC.

VAN是AABC外角/CAM的平分線，

-1-■

，NDAE=NDAC+NCAE=2180°=90°.

XVAD1BC,CE1AN,

.?.NAZX7,m"=90。，

???四邊形ADCE為矩形.

%

(2)例如，當(dāng)AD=，時(shí)，四邊形ADCE是正方形.

證明：VAB=AC,AD_LBC于D.

???DC=7

又AD=9,ADC=AD.

由(1)四邊形ADCE為矩形，

???矩形ADCE是正方形.

課外拓展

例1、如圖,四邊形ABCD中,NB=135。,ZC=120°,AB=BC=5一下，CD=6.求

AD的長(zhǎng).

解:

過(guò)A、D作直線BC的垂線，垂足為F、E,過(guò)D作DG_LFA的延長(zhǎng)線于G,則四

邊形EFGD是矩形.

AEF-DG,DE-FG.

又NB=135。，AZ1=Z2=45°.

又/C=120。，故N3=30°.

在RtAABF和RtACED中，由勾股定理可得

AF=BF=?,CE="D=3,

又DG=EF=BF+BC+CE=$+(5—$)+3=8,

?4D?伍用2?2j叵

點(diǎn)撥：

通過(guò)構(gòu)造矩形，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，往往可以溝通已知條件與結(jié)論的

關(guān)系，使隱含的聯(lián)系顯露出來(lái)，使問(wèn)題巧妙、簡(jiǎn)捷地獲解.

例2、（“希望杯”試題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,且NABC=120。，E是BC的中

點(diǎn).在BD上求點(diǎn)P,使PC+PE取最小值，并求這最小值.

解：

連結(jié)AE,與BD的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

???點(diǎn)A、C關(guān)于BD成軸對(duì)稱，.?.PA=PC.

???點(diǎn)A、P、E在一條直線上時(shí)，PC+PE的值最小.

連結(jié)DE.由已知得4ABDfilABCD都是等邊三角形.

乂E是BC的中點(diǎn)，/.ZDEC=90°,ZCDE=30°,ZADE=90°.

在RlZ\DCE中，DE-DC2-CEM2-22=12,

在Rt^ADE中，AE2=AD2+DE2=P+12=28,

.?.松?W?.即PC+PE的最小值為務(wù)后.

（三）圖形的中心對(duì)稱

知識(shí)強(qiáng)化

一、知識(shí)概述

1、中心對(duì)稱圖形

在平面內(nèi)，把一個(gè)佟形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180%如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重

合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心.

旋轉(zhuǎn)前后圖形上能夠重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn).

理解中心對(duì)稱的定義要抓住以下三個(gè)要素：

（1）有一個(gè)對(duì)稱中心——點(diǎn)；

（2）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180°；

（3）旋轉(zhuǎn)后兩圖形重合.

2、中心對(duì)稱的性質(zhì)

連接中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.

3、中心對(duì)稱

在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么

就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)圖形上能夠

重合的點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn).

如圖,△ABC繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。，和能夠完全重合,則這兩個(gè)三角形關(guān)

于點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)O叫對(duì)稱中心，A與A',B與C與C叫關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn).

A

注意:(1)中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形只有一個(gè)對(duì)稱中心,

并且一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，反過(guò)來(lái)，另一個(gè)圖

形上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)中心的對(duì)稱點(diǎn)都在這個(gè)圖形上：

(2)中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形之間的關(guān)系

區(qū)別：①中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系，中心對(duì)稱圖形是指具有某種性質(zhì)的圖形.

②成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上，中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱點(diǎn)在一

個(gè)圖形上.

聯(lián)系：若把中心對(duì)稱圖形的兩部分看成兩個(gè)圖形，則它們成中心對(duì)稱；若把中心對(duì)

稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么這個(gè)整體也就是中心對(duì)稱圖形.

4、中心對(duì)稱的特征及識(shí)別方法

(1)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而旦被對(duì)稱中心所

平分；

(2)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；

(3)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并旦被該點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)

圖形關(guān)于這點(diǎn)成中心對(duì)稱；

(4)中心對(duì)稱的特征揭示了其圖形的特征.如上圖所示，如果AABC與△ABC關(guān)于

點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則:①A,O,AlB,O,Bf；C,O,C均三點(diǎn)共線,且OA=OA\

OB=OB\OC=OC；②△ABCqZ\ABC；

(5)如果已知aABC與△AB，C關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱,則點(diǎn)0必為AArBB\CC

的中點(diǎn)，且它們是同?點(diǎn)，故也可以連結(jié)AA\BBS則其交點(diǎn)即為對(duì)稱中心.

5、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

P'(_x「y).

理解關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征時(shí)，要結(jié)合圖形理解記憶，要善于將點(diǎn)的位置

關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系或?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的位置關(guān)系.

二、典型例題講解

例1、下列說(shuō)法：

①成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀一樣，大小一樣；

②成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形必須重合；

③形狀一樣，大小一樣的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱；

④旋轉(zhuǎn)后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱.

其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

解析:

要注意能重合與必須重合,旋轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn)180。的區(qū)別.由成中心對(duì)稱的性質(zhì)知,成中

心對(duì)稱的兩個(gè)圖形必定能重合，故①山確；成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能重合，但是繞中心

旋轉(zhuǎn)180。后能重合，未旋轉(zhuǎn)時(shí)它們不是必須重合，故②錯(cuò)誤;形狀一樣，大小一樣的兩

個(gè)圖形不一定處在成中心對(duì)稱的位置，由中心對(duì)稱的判定知I,能重合的兩個(gè)圖形不一定

成中心對(duì)稱，故③錯(cuò)誤;成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后能重合，關(guān)鍵是要旋轉(zhuǎn)180。后能

重合，并非旋轉(zhuǎn)任意角度就重合，故④錯(cuò)誤.說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)只有1個(gè)，故選B.

例2、如圖所示，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出四邊形ABCD，，使它與原四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成

中心對(duì)稱.

思路:

尋找A、B、C、D關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn)A，、B\C\D\如A點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)畫(huà)法：①

連結(jié)OA；②延長(zhǎng)AO至Al使OA，=OA,A，即為所求.

畫(huà)法：

(1)連結(jié)0人，并延長(zhǎng)AO；

(2)在AO延長(zhǎng)線上截取OA，=OA,得A的對(duì)稱點(diǎn)A，：(用刻度尺或圓規(guī)截取，不能

估計(jì))

(3)依次畫(huà)出B、C、D關(guān)于點(diǎn)O,的對(duì)稱點(diǎn)W、C\D\連結(jié)AB,B，C,CTT,D'A\

如圖所示，得四邊形AB，CD，為所求的四邊形.

總結(jié)：

(1)由中心對(duì)稱圖形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與中心連線在一條直線上，并且被對(duì)稱中心平分，

因此畫(huà)圖時(shí)，將A與O連結(jié)并延長(zhǎng)一倍即可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)Af；

(2)網(wǎng)格上對(duì)應(yīng)點(diǎn)也可以通過(guò)數(shù)單位長(zhǎng)度來(lái)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn).

例3、(1)已知點(diǎn)P(a-1團(tuán)-9)在x軸的負(fù)半軸上，求P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(l,—6)關(guān)于y軸對(duì)稱，求點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P(-l-2a,2a—4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則a的整數(shù)值是多少？

思路：

(1)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，則知其橫坐標(biāo)小于0.縱坐標(biāo)等于0,由此可求得點(diǎn)P

的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求解；

(2)點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,b),由此先求A點(diǎn)坐標(biāo)，再求C點(diǎn)坐標(biāo)：

(3)由于點(diǎn)P(—l—2a,2a—4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)P應(yīng)在第三象限，

于是有一1—2a<0,2a-4<0,由此求出a的整數(shù)值.

解:

(l)VP(a-l,a2-9)Sx軸的負(fù)半軸上,

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,0),?,?點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B(l,—6)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-6)

又???點(diǎn)C和點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

???C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,6)：

(3)因?yàn)辄c(diǎn)P(一l—2a,2a—4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)P(-l-2a,2a-

4)在第二象限

乂??”為整數(shù)，?,.a的值為?；?.

即a的整數(shù)值為0或1.

例4、如圖，矩形ABCD利矩形ABP=關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱.四邊形同皿是菱形嗎？為

什么？

解:

矩形ABCD和ABW關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱,

??.M和互相平分.

.??四邊形即即,是平行四邊形.

VZBAD=W,.-.BfflDIT,

???四邊皿叩是菱形.

例5、如圖所示，已知△ABC和互相垂直的兩條射線OP、0Q,畫(huà)出aABC關(guān)于0P對(duì)

稱的再畫(huà)出AWB，C關(guān)于OQ對(duì)稱的AA“B”C”，觀察AABC和“‘唱'心",

它們是否關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱？為什么？

解：

(1)作AA，BB',CC'垂直于OP.并使op平分AA'.BB\CC'.

(2)連結(jié)BC,C'A.',得則AA'BQ和AABC關(guān)于OP對(duì)稱，

用同樣的方法作出AA"B''C"和AA'B?U關(guān)于OQ對(duì)稱.發(fā)現(xiàn)aABC與從‘%'七”關(guān)于

0點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閮纱螌?duì)稱相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，它的旋轉(zhuǎn)中心是兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)0,它的旋

轉(zhuǎn)角是兩對(duì)稱軸交角的2倍，即旋轉(zhuǎn)角是180。.所以aABC和AA''B''C"應(yīng)關(guān)于點(diǎn)O

成中心對(duì)稱.

小結(jié)：

要識(shí)別aABC與是否關(guān)于點(diǎn)o成中心對(duì)稱,也可由中心對(duì)稱的識(shí)別方法

來(lái)識(shí)別，即說(shuō)明兩圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都經(jīng)過(guò)點(diǎn)0.并且被點(diǎn)0平分.

中考解析

（長(zhǎng)春中考題）圖①、圖②均為7x6的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)匕

（1）在圖①中確定格點(diǎn)D,并畫(huà)出以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)

稱圖形.（畫(huà)一個(gè)即可）

（2）在圖②中確定格點(diǎn)E,并畫(huà)出以A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形，使其為中心

對(duì)稱圖形.（畫(huà)一個(gè)即可）

分析:

考查軸對(duì)稱，軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱性質(zhì),以及中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形.

解:

（1）有以下答案供參考:

（2）有以下答案供參考:

課外拓展

例、兩個(gè)同學(xué)輪流往一個(gè)圓桌上平放同樣大小的硬幣，每一次放一枚，但不允許任何兩

枚硬幣有重疊的部分，規(guī)定誰(shuí)放最后一枚硬幣，并使對(duì)方?jīng)]有再放的位置就算獲勝，試

問(wèn)怎樣做才能穩(wěn)操勝券.

思路：

設(shè)想桌面很小，僅與硬幣同樣大小，先放者顯然獲勝，再設(shè)想桌面直徑僅為硬幣宜

徑的兩倍，這時(shí)先放者為了獲勝，肯定不會(huì)將硬幣放得挨上桌面的邊緣，只要讓他把硬

幣壓在桌面中心就使對(duì)方無(wú)法再放「看來(lái)桌面中心是一個(gè)關(guān)鍵的位置，設(shè)想中先置一

枚硬幣于圓桌中心，使乙放置一枚硬幣于桌面的A處，甲再往A處關(guān)于中心的對(duì)稱位

置放置一枚，這樣輪流下去，只要乙有位置放，甲就也有位置放.

解：

先放者按適當(dāng)方法可獲勝，放法如下：

先放者將第一枚棋子放在桌面的對(duì)稱中心，以后對(duì)方每放一顆棋子，你就在這顆棋

子關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的位置上放一枚棋子，這樣只要對(duì)方還有位置放，你也就有位置放.

而桌面的大小是有限的，總有某個(gè)時(shí)候無(wú)法再放棋子,那必然是后放者先無(wú)處可放.

總結(jié)：

理解中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵所在，事實(shí)上，桌面是否是圓形并不重

要，只要是中心對(duì)稱圖形即可.

（四）梯形

知識(shí)強(qiáng)化

一、知識(shí)概述

1、梯形的有關(guān)概念

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.

說(shuō)明：要判定是否是梯形應(yīng)滿足三個(gè)條件：（1）是四邊形；（2）一組對(duì)邊平行；

（3）另一組對(duì)邊不平行.

底

梯形中平行的兩邊叫做底，不平行的兩邊叫做腰，梯形中夾在兩底之間的垂線段叫

做梯形的高.

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

一腰與底垂直的梯形叫做直角梯形.

2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，上下底的中點(diǎn)連線所在直線是對(duì)稱軸.

（2）等腰梯形兩腰相等.

（3）等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等.

（4）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等

3、梯形的判定

在判斷一個(gè)四邊形是梯形時(shí)，不能只看有一組對(duì)邊平行，必須有另一組對(duì)邊不平行，

但證明不平行比較困難；通常是證一組對(duì)邊平行且不相等.

4、等腰梯形的判定

?般是先判定一個(gè)四邊形是梯形，然后再由“兩腰相等”或“同?底上的兩個(gè)角相鏟

或“對(duì)角線相等''來(lái)判定它是等腰梯形.

5、解決梯形問(wèn)題常用的方法

（1）“平移腰”：把裸形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖1）;

（2）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中（圖2）；

（3）“延長(zhǎng)腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)等腰三知形（圖3）；

（4）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中（圖4）；

（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于

?點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5）.

6、梯形與四邊形的關(guān)系

一組對(duì)邊平行

廣?■、另一蛆對(duì)邊不平行兩腰相等土/\

昌薪毒，卷腰梯形

2一一組對(duì)邊平行,

且不相等

二、典型例題講解

例1、如圖，在梯形ABCD中,已知AB〃CD,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),設(shè)4DEA的面積

為二1,梯形ABCD的面枳為多，則G與號(hào)的關(guān)系為.

分析：

由E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，故可聯(lián)想延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線相交，可得4DCE四△FBE,

所以梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化成三角形DAF的面枳.

答案:

點(diǎn)評(píng):

將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形是尋求解題思路，探求解題方法的重要途徑，注意適當(dāng)?shù)?/p>

作出輔助線，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

例2、如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=70°,ZC=40°,AD=6cm,BC=15cm.求

CD的長(zhǎng).

分析：

設(shè)法把已知中所給的條件都移到一個(gè)三角形中，于是便可以通過(guò)平移腰，便可以解

決問(wèn)題.

解：

過(guò)點(diǎn)A作AE//DC交BC于E,

???AD〃BC,J.四邊形AECD是平行四邊形，

ZAEB=ZC=40°,又NB=70。，

.??ZBAE=180o-40°-70o=70°,

?'△ABE是等腰三角形，EA=EB,

因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm.

例3、如圖，已知四邊形ABCD中,AB=DC,AC=DB,ADrBC.求證:四邊形ABCD

是等腰梯形.

證明:

過(guò)點(diǎn)A作AE〃DC交BC邊丁點(diǎn)E.

VAB=CD,AC=DB,BC=CB,

AAABC^ADCB,AZABC=ZDCB.

又AE〃DC,AZAEB=ZDCB.

AZABC=ZAEB,AAB=AE,J&S

???四邊形AECD是平行四邊形.???AD〃BC.

又AB=DC,且ADrBC,

???四邊形ABCD為等腰梯形.

點(diǎn)評(píng)：

判定?個(gè)任意四邊形為等腰梯形，如果不能直接運(yùn)用等腰梯形的判定定理，?般的

方法是通過(guò)作輔助線，將此四邊形分解為熟悉的多邊形，此例就是通過(guò)作平行線，將四

邊形分解成為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等腰三角形.

例4、如圖，等腰梯形ABCD的面積為100#,AB/7CD,AD=BC,AC1BD,求

梯形的高.

分析：

因?yàn)锳C_LBD,若把BD向外平移，過(guò)C作CE〃BD交AB的延長(zhǎng)線于E,則梯形

就轉(zhuǎn)化為平行四邊形DBEC和RtAACE,而4ACE的面積等于梯形的面積，AE邊上

的高就是梯形的高.

解：

過(guò)C作CE〃BD,交AB的延長(zhǎng)線于E,作CF_LAB于F.

VCE/7BD,AB/7CD,

四邊形DBEC是平行四邊形，.?.DC=BE,DB=CE.

JAE=AB+BE=AB+CD,

?.*AD=BC,:.BD=AC./.CE=AC.

VAC1BD,CE〃BD,

AAC±CE,???△ACE為等腰直角三角形.mCF±AF,

SjG==lx2CF^7F=GFa=100.

:.MB22

CF=10cm,即梯形的高為1Ocm.

點(diǎn)評(píng)：

解決有對(duì)角線夾角的有關(guān)問(wèn)題，一般是把其中一條對(duì)角線向外平移，平移后梯形轉(zhuǎn)

化為平行四邊形和特殊的三角形問(wèn)題，運(yùn)用各自的性質(zhì)解題.

例5、如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AD〃BC.

(1)若AD=5,BC=U,梯形的高是4,求梯形的周長(zhǎng);

(2)若AD=a,BC=b,梯形的高是h,梯形的周長(zhǎng)為C,則C=；(請(qǐng)用含a,b,

h的代數(shù)式表示：答案直接寫(xiě)在橫線上，不要求證明)

⑶若AD=3,BC=7,即■/,求證：AC1BD.

解:

(1)分別過(guò)點(diǎn)A、D作AE_LBC,DF_LBC,垂足分別為E、F,

Bff-Q.1一3

又AE=DF=4,:.5

二梯形的周長(zhǎng)為5+11+2x5=26.

(3)過(guò)點(diǎn)D作DG〃AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖.

???AD〃BG,???四邊形ACGD是平行四邊形.

;.DG-XC-BD-5^

而B(niǎo)G=BC+CG=BC+AD=7+3=10,

221:22

V(5j1)*C5ifi)-lO,/.BD+DG=BG.

ABDIDG.ABDIAC.

點(diǎn)評(píng)：

(1)是作等腰梯形的西條高，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求腰長(zhǎng)；由(3)知在等

腰梯形中，已知對(duì)角線互相垂直或要證對(duì)角線互相垂直，?般的方法就是平移?腰.

例6、在梯形ABCD中，AD〃BC,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，且NB+NC=90。，

求：EF:(BC-AD)的值.

分析：

通過(guò)作平移交換，將BA、CD平移使點(diǎn)A、D都與點(diǎn)E重合，可將BC—AD表示

出來(lái)，再找EF與BC—AD之間的關(guān)系.

解：

過(guò)點(diǎn)E分別作EG〃AB,EH〃DC,交BC于G、H.

/.NEGH=NB,ZEHG=ZC.

*/NB+NC=90。,???ZGEH=90°

,:AD〃BC,:.AE=BG,HC=DE.

E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，

???AE=DE,BF=CF,

，GF=HF,

???EF=2GH=2-(BC-AD),

，EF:(BC-AD)=1：2.

點(diǎn)評(píng)：平移腰是解決梯形問(wèn)題的重要方法.

中考解析

例、(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)),如圖，小明剪了一個(gè)等腰梯形ABCD,其中AD/7BC,AB=DC；

又剪了?個(gè)等邊△EFG,同座位的小華拿過(guò)來(lái)拼成如圖(2)的形狀，她發(fā)現(xiàn)AD與FG恰

好完全重合，于是她用透明膠帶將梯形ABCDA/AEFG粘在一起，并沿EB,EC剪下.小

華得到的4EBC是什么三角形？請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由.

證明：

小華得到的AEBC是等腰三角形.證明如下：

???△EFG為等邊三角形，??.NEFG=NEGF,EF=EG.

???梯形ABCD為等腰梯形，.\ZBAD=ZCDA,AB=DC.

???ZEFG+ZBAD=ZEGF+ZCDA,即ZEAB=ZEDC.

Al.皿

AB.DC.

ffiAEAB^lAEDC'l?,

AAEAB^AEDC.??.EB=EC,即aEBC為等腰三角形.

點(diǎn)評(píng)：

弄清問(wèn)題的操作過(guò)程，就是分析問(wèn)題的已知條件，其實(shí)本題的圖形是由兩個(gè)軸對(duì)稱

圖形組合在一起，組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，從直觀上很易判定AEBC是等腰三角形.

課外拓展

例、在四邊形ABCD中，AD/7BC,AB=DC,AC與BD相交于O,ZBOC=120°,AD=7,

BD=10,求四邊形ABCD的面積.

分析：

在四邊形ABCD中，已知一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，因此四邊形的形狀不

確定，要分兩種情況討論計(jì)算.

解：

⑴當(dāng)AD=BC時(shí)，如圖，四邊形ABCD為平行四邊形.

ABC=AD=7,BO=5.

過(guò)B作BEJ_AC于E,ZBOE=60°

aj-cr-or-----3

22

I)

(2)當(dāng)AHBC時(shí)，如圖，四邊形ABCD為等腰梯形.過(guò)D作DE〃AC交BC的延

長(zhǎng)線于E,作DF_LBE于F.

則NBDE=/BOC=120。，ZDBE=ZE=30°,

，DF=5,，融萬(wàn)

而四邊形ACED為平行四邊形，JAD=CE.

故：綜合⑴⑵及四邊形ABCD的面積為玳2".

(五)中位線定理

知識(shí)強(qiáng)化

一、知識(shí)概述

1、三角形中位線

(1)定義：連接三角彩兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

如圖，在aABC中，點(diǎn)E,F分別是AB、AC的中點(diǎn)，則線段EF就是AABC的一

條中位線.

（2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的?半.

BF=-BC

用符號(hào)語(yǔ)言表述為：EF/7BC,并且一萬(wàn).

2、梯形中位線：

（1）定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段，叫做梯形的中位線.

如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是腰AB、DC的中點(diǎn)，則線段EF是梯形

ABCD的中位線.

（2）梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并口等于兩底和的一半.

用符號(hào)語(yǔ)言表述為：EF〃AD〃BC,且2

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)知識(shí)

1、三角形的中位線與三角形的中線是兩個(gè)不同的概念，三角形的中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)

與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段.一個(gè)三角形有三

條中位線和三條中線.三條中線交于一點(diǎn).

2、三角形中位線定理是證明兩線段平行和線段的倍數(shù)關(guān)系的?個(gè)重要理論依據(jù).這也即

是二角形中位線定理的作用，它說(shuō)明二角形中位線與第匚邊的位置和大小關(guān)系.也是我

們將來(lái)解決線與線之間平行關(guān)系和倍分關(guān)系的一種重要方法.一般地，若已知三角形的

中點(diǎn)，就要聯(lián)想運(yùn)用三角形的中位線定理，在應(yīng)用該定理時(shí)，應(yīng)找出符合定理?xiàng)l件的基

本圖形.

3、梯形中位線的作用：①位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；②數(shù)量關(guān)系：可以證明

一線段是另一條線段的2倍或：；

4、梯形的面積公式為,其中L、h分別為梯形的兩底邊的長(zhǎng)，h為梯形的

高，現(xiàn)在有了梯形中位線，這一公式可以簡(jiǎn)化為S=lh,其中1為梯形中位線的長(zhǎng)，h為

梯形的高.

三、典型例題講解

1

例1、AD為AABC的高，ZB=2ZC,M為BC的中點(diǎn).求證：DM=?AB.

分析:

11

由M為BC中點(diǎn)，要證DM=^AB,聯(lián)想利用中位線定理構(gòu)造工AB,即取AC的

中點(diǎn)N,連接MN,DN,只須證明MN=DM,這可由在直角三角形中，斜邊的中線等

于斜邊一半及/B=2/C證得.

證法一：

取AC的中點(diǎn)N,連接MN、DN.

又???M為BC中點(diǎn),

9

AMN//AB,MN-AB,

AZB=ZNMC.

■AD為AABC的高,N為AC的中點(diǎn),

ADN=CN,

:.ZC=ZNDC.

???/NMC=NNDC+NMND,ZB=2ZC,

AZMDN=ZMND,

，MD=MN,

1

ADM=-AB.

證法二：

取AB的中點(diǎn)P,連接DP、MP,則PM為aABC的中位線.

APM//AC,AZC=ZPMB.

XVAD為AABC的BC邊上的高，P為AB的中點(diǎn)，

工

APD=PB=-AB,

AZB=ZPDB.

VZPDB=ZPMB+ZDPM,ZB=2ZC,

AZDPM=ZDMP,

L

APD=DM=-AB.

點(diǎn)撥：

如果題目中有線段倍分并有中點(diǎn)，解題思路經(jīng)常構(gòu)造中位線把問(wèn)題轉(zhuǎn)化；在證線段

倍分時(shí)，也經(jīng)常用到“斜邊上的中線等于斜邊的一半”這i結(jié)論證題.

例2、已知正方形ABCD中，AC、BD交于。點(diǎn)，AE平分NBAC,分別交BC、BO于

1

點(diǎn)E、F,求證：OF=2CE.

分析:

1

注意到圖形中點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，因此取AE的中點(diǎn)G.連接0G,貝i」0G=2CE,

故只須證明OG=OF即可.

證明:

取AE的中點(diǎn)G,連接0G,則0G是4AEC的中位線.由中位線定理，得OG〃CE,

1

OG=2CE.

.?./3=/4.

VZOFG=Z1+Z5,NOGF=N2+N3=N2+N4,而N1=N2,Z4=Z5=45C,

???ZOFG=ZOGF,

AOG=OF,

AOF=-CE.

點(diǎn)撥：

平面幾何中的常用箱助線可以創(chuàng)造出中位線，這就是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的

一種途徑.

例3、如圖，梯形ABCD中，AD//BC,E、F分別為對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn).求證：

1

(1)EF//BC；(2)EF=2(BC-AD).

分析：

EF雖然為連接BO、AC的中點(diǎn)的線段，但并非是三角形或梯形中位線，所以作輔

助線將其轉(zhuǎn)化為三角形的中位線，連接AE并延長(zhǎng)BD于G,只需證明E為AG的中點(diǎn)

即可.

證明：

連接AE并延長(zhǎng)交BC于G.

(1)在梯形ABCD中,AD//BC,

.,.ZADE=ZGBE,DE=BE,ZAED=ZGEB,

AAADE^AGBE,

，AE=GE,AD=GB.

VAF=CF,

AEF//BC,EF=?GC.

(2)VGC=BC-BG=BC-AD,

1

，EF=2(BC-AD).

點(diǎn)撥：

通過(guò)輔助線AG,把線段EF放入AAGC中，然后證明EF為AAGC的中位線，兩

個(gè)結(jié)論一目了然.

例4、如圖，等腰梯形ABCD中，AC1BD,垂足為E,DF1BC,垂足為F,MN是梯

形ABCD的中位線.

求證：DF=MN.

分析：

III于梯形兩條對(duì)角線互相垂直，因此可考慮平移對(duì)角線.

證明：

過(guò)D點(diǎn)作DG〃AC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,貝ijAD=CG,AC=DG.

VAC1BD,AC〃DG,ABD1DG,

又???BD=AC=DG,

???△BDG是等腰直角三半形.

VDF1BG,

ADZ-IJJG-CXt）-皿

VMN是梯形ABCD的口位線.

???DF=MN.

例5、已知：梯形ABCD中AD〃BC,E為AB中點(diǎn)，且AD+BC=DC

求證：DEJ_EC,DE平分NADC,CE平分NBCD.

證法1：

取DC中點(diǎn)F,連結(jié)EF,E為AD中點(diǎn)，則EF為梯