絕密★考試結(jié)束前

20222023學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（B卷）

（人教A版2019）

數(shù)學(xué)

注意事項：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡I.對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.三楂錐0A8C中，OA=a,OB=b,OC=c?點G是*A8C的重心，則OG等于（）

A.a+b-cB.a+b+c

C.D.-(￡Z+Z?+c)

【答案】D

【詳解】延長AG,交BC于D,由于點G是.MAC的重心，所以。是3C的中點,

2

所以O(shè)G=QA+AG=Q4+：4D

Q11

=OA+-x-^AB+AC)=OA+-(OB-OA+OC-OA)

323

=-OA+-OB+-OC=-(a+b+c).

3333、J

故選:D

o

=l-j，則々2022=（）

2.已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,。向

A.1B.2C.-1D.1.5

【答案】C

【詳解】生=號號必二號1，%=」=2,

6

所以數(shù)列｛q｝是周期為3的周期數(shù)列，

所以。2022=474x3=%=T?

故選：c

3.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔?致.如下圖

是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個錨的間比

I單3,…,9）約為4.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距14AM（i=1,2,3,…,9）均為16m.最短拉索的錨

P,,A滿足|OR|=57m,|OA|=86m,則最長拉索所在直線的斜率為（）

【答案】B

【詳解】解：如圖，以。為原點是系,

根據(jù)題意，最短拉索的錨匕，A滿足用=57m,川=X6m,

且|*/(i=123,L,9)均為4.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|44/(i=l,Z3,L,9)均為16m,

則QAO|=QA|+1AAo|=86+9X16=230m,即點A。(230,0),

同理4。（—230,0）,

又|。制二|O用+忸闈=57+9x4.4=96.6,即點兒(0,96.6),

…96.6-0?..…篝＞2

所以p=-----------=-0.42,

4島0-230

即最長拉索所在直線的斜率為±0.42.

故選:B.

修。

上J

8]。B[0A\A]Qx

2

X\，2

4.已知雙曲線一.廣（。川，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.（（）,6）

C.（72,75]D.[技+8）

【答案】c

[詳解】

a>\,故:+le（l,2],故

故選:C

5.如圖，在正四棱錐P-A8C。中，P/l=A8=l,點Q,R分別在棱/W,PC上運動，當(dāng)QR取得最小值時,

三棱錐Q-ACH的體積為（）

P

QB

A.無B.包C.也D,包

2748916

【答案】A

【詳解】連接8。，與AC相交于點0,連接P。，則AC_L8。，

因為四棱錐P-A8CD為止四棱錐，所以O(shè)P_L底面A8CQ,

以。為坐標(biāo)原點，OA,08,OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸1,建立空間直角坐標(biāo)系,

正方形A8CO的邊長為1,則A0=30="，

2

附=,四2一四2=jpc『—12,要使S,%C8=，2|PA|.|AC|最小，需使|PC|min="，故

7,設(shè)橢圓。：*+￡=1（。＞匕＞。）的左、右頂點為A、4,左、右焦點為6、尸2,上、下頂點為4、%,

關(guān)于該橢圓，有下列四個命題:

甲：|A周=1；乙：離心率為泉丙：|4用=4；T：四邊形AB6層的面積為36.

如果只有一個假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.7

【答案】C

￡2

a2

%"|=〃+c=4

【詳解】若命題甲為假命題,則該方程組無解，故命題甲不為假命題;

S四邊形A46B=；（〃+c）x2匕=36

b=yja1-c1

|A閭=〃-c=l

|A㈤="+c=4

若命題乙為假命題,則該方程組無解，故命題乙不是假命題;

Sf?i邊形=Z（"+c）x?=30

b=\la2-c2

|AK|=a-c=l

c1

e=—=—a=2

a2

若命題丙是假命題，則,解得沙=G,此時Id耳I=a+c=3合乎題意;

S|n|邊形人與尸四=5（4+C）X%=3Gc=1

b=\Ja2-c

同用=a-c=1

2K|=a+c=4

若命題內(nèi)為假命題，則cI,該方程組無解，故命題丙不為假命題.

a2

b=\]a2-c

故選：C.

8.艾薩克牛頓英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”

X"+i=x"一務(wù)4,我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)

的方法求函數(shù)/（x）零點時給出一個數(shù)列｛x｝：

n?。?/p>

x—2

/。）=?2+法+°（4>0）有兩個零點i,2,數(shù)列｛乙｝為牛頓數(shù)列.設(shè)勺=小七］已知q=1,x?>2,｛an｝

的前〃項和為則S值+1等于（）

A.2022B.2023D.2的

【答案】D

【詳解】/（切=加*+加+。（。>0）有兩個零點1,2,

a+b+c=0

則2+c5解之得

則f(x)="2-3or+Z7(4>0),則//(x)=2ax-3a(a>0)

叫23嗎+2°_與22

則加

MfM~n孫,一3。2工一3

V-22

J-2_2x”-3_一4\二4_{x“—2

則

x”+|TV-2ix:-2x”+l1乙一1

二7

Fh%=ln上。，可得勺7=in%==ln-2

=2Infl=2af,l

%一1

故q川=2%,乂q=l,則數(shù)列｛4｝是首項為1公比為2的等比數(shù)列

則通項公式=2”T,前〃項和S“=—=2"-1

1—2

貝lj$21=2*1+1=2的

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，表示直線點>=6+）與?。?，=麻-。的圖象可能是（）

【答案】AC

【詳解】A選項：由乙的圖象可知a>(),〃<0,乙經(jīng)過一、三、四象限，則乙需經(jīng)過二、三、四象限，故A

選項正確；

B選項：由4的圖象可知。>0,占>0,4經(jīng)過一、二、三象限，則/，需經(jīng)過一、三、四象限，故B選項錯

誤；

C選項：由乙的圖象可知a<0,人>0,乙經(jīng)過一、二、四象限，則&需經(jīng)過一、二、三象限，故C選項正確；

D選項：由4的圖象可知〃<0,8<0,乙經(jīng)過二、三、四象限，則需經(jīng)過一、二、四象限，故D選項錯誤；

故選：AC.

10.已知等差數(shù)列｛q｝的公差為d,前〃項和為S。，且￡=￡。<如，則()

A.d<()B.4。=0C.、8<0D.S,>S.

【答案】BCD

【詳解】由于59=5。=Sg+%)，所以%=0,B選項正確.

由于S10vS”=$o+4],所以為>0,所以”>(),A選項錯誤.

由于4>(),〃=0,所以當(dāng)lW〃49,〃eN"時，%<0,所以Sg>S。=怎+%,D選項正確.

心=巧組x18=9(佝+4。)=9%<。，C選項正確.

故選：BCD

22

11.設(shè)橢圓+=1的右焦點為尸，直線)，=〃?(0<〃?<石)與橢圓交于人，B兩點,貝I」()

A.|/1刁+忸F|為定值B.產(chǎn)的周長的取值范圍是(6/2)

C.當(dāng)〃?=@時，ZXAB/為直角三角形D.當(dāng)〃?=1時，AAB尸的面積為不

2

【答案】AB

【詳解】解：設(shè)橢圓的左焦點為耳，連接AK，由橢圓的對稱性得|明|=忸3，

所以|AF|+忸可=|"j+|伍1=6為定值,A正確;

△AB產(chǎn)的周長為IABI+IAFI+IMI,因為14用+1B/|為定值6,

所以|AB|的范圍是(0,6),所以A4B尸的周長的范圍是(6,12),B正確;

將),=亭與橢圓方程聯(lián)立，可解得A1-乎，告｝彳孚,*),又因為尸(2,0),

所以,所加(一挈一2)(乎.2)+凈=一|<0,即加為鈍角,

所以AAA/為鈍角三角形，C錯誤;

將y=l與橢圓方程聯(lián)立，解得A(-苧,1'］苧,11所以S謝=夫竽乂1=竽，D錯誤.

故選：AB

12.如圖，在長力體ABCD—A5CR中，AD=2A6=2AA=4：七尸,“分別是棱人。,坊6,8。的中點，點

夕在側(cè)面AAOQ內(nèi)，且8〃=xBE+yB/(蒼ytR),則()

B.A.HIBP

C.三棱錐夕-人8廠的體積是定值

D.三棱錐尸-仍尸的外接球表面積的取值范圍是［12兀44可

【答案】BCD

【詳解】解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0),5(4,2,0),石(2,0,0),尸(2,2,2),"(2,2,0),4(4,0,2),〃(0,0,2),

設(shè)P(a,O,〃)(OWaW4,OW〃W2),

則8P=(〃-4,一2力),BE=(-2-2,0),BF=(-2,0,2),

因為8P=xBE+yBF(x,yeR),

x=\

得《a=2-2y,所以a=2-〃,

b=2y

0<2-/?<4

則，,得oy

0<Z?<2

DiP=(aAb-2)=(a,0-a\PE=(2-aA-b)=(2-a90,a-2),

當(dāng)a=2時，PE=。，則RP〃尸石，

當(dāng)aw2時，則4〃二」一尸則RP〃PB,

2-a

綜上，D.P//PE,

所以。,憶七一：點共線，

即點/，的軌跡即為線段。I，

對卜A,AP=yl(a-4)2+b2=V2PTF+4>2,

即AP的最小值是2,故A錯誤：

對于B,4”=(-2,2,-2),8尸=(〃-4,一2力)，

則4，0=一2〃+8-4一處二一2(2-々)+4-2〃=0,

所以故B正確；

對于C,BF=2>/2?則SAM=§x2x2>/^=2\/^為定值，

由點尸的軌跡即為線段石4，

W.ED,=(-2,0,2).BF=(-2,0,2)=ED,,

所以BF〃ED「

又B/u平面4?歹，ERu平面4g產(chǎn)，

所以ED］，平面AM,

所以點P到平面A8尸的距離為定值，即三棱錐A3產(chǎn)的高為定值,

所以三棱錐夕的體積是定值，故C正確；

又寸丁D,設(shè)防的中點為/W,

則在RlBB/中,Rt7外接圓的圓心即為點"，

則三棱錐P-照產(chǎn)的外接球的球心在過點M邑垂直于平面明產(chǎn)的直線上,

設(shè)球心為0,0(3,〃?」)，

則8=08,

即+1)-+〃/+(1-=yj\+(/?-2)-+1,所以m=~,

貝|JO8。=I+(〃7-2)2+l=；Z/+/+3,

因為04〃《2,所以04?3,11],

即三棱錐。-”的外接球的半徑Re[G,而],

所以三棱錐P-BB.F的外接球表面積的取值范圍是[12兀44可，收D正確.

故選：BCD.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列幾｝中，出仆=16,則log?%-咋2。=.

【答案】4

【詳解】因為數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，所以6249=仆生3，

乂42%=16,所以=16,

所以1唱％+1唱%3=4〃23=4，

故答案為：4.

14.已知圓(4+1『+()，-2『=9上存在兩點關(guān)于直線辦-辦+4=0(1>0乃>0)對稱，則/+4//的最小值是

【答案】8

【詳解】圓（x+l『+（y-2）2=9上存在兩點關(guān)于直線奴-辦+4=0（穌0/>0）對稱，

所以直線過圓心，有-a-2力+4=0,即。+2方=4,a2+4b2=a1+（2b）2>2-a-2b=4ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=?,即a=2,b=l時等號成立.

???16=（a+2/?）2=a2+4b2+4ab<a2+4b2+a2+4b2,即a2+4b2>S，

所以a=2,人=1時，/+4從的最小值為義

故答案為：8.

15.如圖，已知四棱柱ABC。-A8GA的底面為平行四邊形，=AF=^-AD,AG=2G\,

DJ

AM

AG與平面EPG交于點M,則丁=.

/'ILxI

【詳解】解：由題設(shè)AM=/MG（O<U<1）,

因為AG=A8+AO+M=3AE+3AF+^AG,

3

所以4W=32AE+3/UF+,

又因為M,E,F,G四點共面，

所以3/t+34+|/l=l,

2

解得%

故答案為：

16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面.上到兩定點A,8的距離之比為常數(shù)4（%>0,/1￥1）的點的軌跡是一

個圓心在直線A8上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體ABC。-A4GA中，A8=24O=2AA=6,

點E在棱A8上，BE=2AE,動點P滿足=若點P在平面48C。內(nèi)運動，則點P對應(yīng)的軌跡的

面積是___________;尸為GQ的中點，則三棱錐P-MCF體積H勺最小值為.

【答案】12兀y-3x/6

【詳解】分別以ABMDe為x,y,z軸建系，設(shè)P(x,y,0),而3(6,(),()),E(2,Q0).4(6,0,3),

。(6,3,0),尸(3,3,3).

一

AEBx

由8P=&E，有J(x—6)2+()，—0產(chǎn)+(0_o)2=6*J(x—2>+(y—0)2+(0-0)2，化簡得〃對應(yīng)的軌跡方程為

f+V=12.所以點P對應(yīng)的軌跡口勺面積是4?(26)2=124.

易得△gC”的三個邊B}C=BF=CF=3丘

即△BQ/是邊長為為3丘的等邊一:角形，其面積為竽，

CB,=(0,-3,3),CF=(-3,0,3),設(shè)平面瓦。尸的?個法向量為〃=(x,y,z),

則有{2C可取平面與CF的一個法向量為”=(山)，

根據(jù)點P的軌跡，可設(shè)尸(26COS8,2Gsine,O),

CP=(26cos6-6,2百sin6-3,0),CPn=2y/3cos0+2石sin6一9,

I2\/6s\v\o{0+——9t—

所以點P到平面B.CF的距離d_|C尸叫_II9-246,

H-G-73

所以y=』S/?=1S〃之幺一3幾.

332

故答案為：124；y-376

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步果。

17.如圖，在楂長為1的正方體A8CQ-A4CQ中，￡為線段。。的中點，尸為線段84的中點.

(1)求直線FC、與直線四石的所成角的余弦值;

(2)求點尸到平面A3盧的距離.

【答案】(1)4

【洋解】(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

\**/\/

設(shè)直線FC,與直線同E的所成角為巴

FG%E

所以cos。=

|明|?屏——X—

22

(2)/(1,1g),片(1，1),尸耳=(0.0,1,

2

4(1,0,0),￡^0,0,11^=[-1,0^1^,=(0,1,1),

設(shè)平面AB|E的法向量為〃=(x,y,2),

AZ-AE=-x+—z=0

2故可設(shè)〃=。,-2,2).

nA3[=y+z=0

設(shè)F到平面48道的距離為d,

G

18.古希臘時期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比

為定值M歸0且埠1)的點所形成的圖形是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.己知點4(0,6),8(0,3)、

動點M滿足犒=3，記動點M的軌跡為曲線C

(1)求曲線C的方程；

(2)過點M。、4)的直線/與曲線C交于P,Q兩點,若尸為線段NQ的中點，求直線/的方程.

【答案】⑴/+()」7)2=4

二4

(2)y=±

3

/、41MAi1Jx2+(y-6)2|

【詳解】(1)設(shè)例(尤丁)，由點A(0，6),8(0,3)、動點M滿足=彳得/,=彳，兩邊平方

\MB\2次+()，-3)22

化簡得:x2+y2-14y+45=0,

故曲線C的方程/+()，—7『=4

(2)當(dāng)首線/無斜率時：此時百.線與圓相交P,。兩點,則尸((\5).Q(0⑼或者Q(().5),尸(0.9).均不符合尸

為線段NQ的中點，

當(dāng)直線/有斜率時；設(shè)/.?、=依+4,

y=kx+4

聯(lián)立直線與圓的方程,化簡得(1+&2卜2—6辰+5=0,

x2+(y-7)2=4

△二36公一20(1+公)=16公一20>0,故/

ALS

設(shè)。(/)。。(七,必)，則占+內(nèi)=1^,'-①

1I入i十t\

x,+0

"2k2_5

若P為線段NQ的中點，則,，所以W=2?,將其代入①中得：^=7-7%"2(")進而

V,+4I+K

滿足小,

所以％=±半，因此/的方程為）:=±半1+4

19.已知橢圓。:=+與=1（4>〃>0）的焦距為26，設(shè)橢圓的上頂點為8,左右焦點分別為￡、入，且.耳叫

crb-

是頂角為120的等腰三角形.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知M,N是橢圓。上的兩點，以橢圓中心。為圓心的圓的半徑為半，旦直線MN與此圓相切.證明：以

M/V為直徑的圓過定點0.

【答案】（1）《+），=1

4

（2）證明見解析

2c=26

【詳解】（1）由題意可知|&=tan30=￡,

c3

a2=b2+c2

解得a=2,2=1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程—+/=1.

4

（2）①當(dāng)直線MN垂直于x軸時，不妨設(shè)M=-，=-，NE-，一=-

V7k

此時QWON=0，

:.OMLON,

故以MV直徑的圓過定點。；

②當(dāng)直線MN不垂直于x軸時，

設(shè)直線MN的方程為），=京+"1,M（x,,y）N（電,/），

因為直線與圓。相切,

所以。到直線MN的距離-}===竺

即5評一4,2—4=0,

y=kx+m

由正,可得（軟2+1卜2+8,,依+4〃Z2-4=°，

-4+V=

-8mk_4"尸-4

所以為+占=必2+1'**2-4公+1

OMON=.￡上+ytyz=.rrv2+（上。+，，）（左q+

(F+1)x}x2+k/n(%+多)+

(「(4m1-4]<—8mk、

A+km+"

W+L

3、4m2-4]'—8mk、

+km+〃廠

<4^+1；

5ni2-4k2-4八

=--------；--------=C

4產(chǎn)+1

所以O(shè)MON=0,

即OM_LOM

故以MN為直徑的圓過定點O,

綜上所述：以MN為宜徑的圓過定點0.

20.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“.S”=2a”一3〃.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式勺；

4+3,〃為正偶數(shù)

(2)若々=(=4+d+4++%,求%;

2/2-1,〃為正奇數(shù)

⑶記C.=2唾2(等?)+]，若數(shù)列｛%｝中去掉數(shù)列｛4｝中的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列｛4｝,求

4+4++4)0的值.

【答案】⑴凡=32-3

(2)4194531

(3)42522

【詳解】(1)由S。=2勺-3〃,當(dāng)〃=1時，$=4=2q-3,解得4=3,

當(dāng)〃之2時，Srt.1=2^.1-3(n-l),兩式作差得⑸=2〃“—21-3；

即%=2al+3,凡+3=2(%+3),

所以數(shù)列｛q+3｝為等比數(shù)列，公比為列所以勺+3=(q+3>21=32,

所以數(shù)歹U｛4｝的通項公式凡=3⑵-3.

,一優(yōu)+3,〃為正偶數(shù),山(3?2”，〃為正偶數(shù)

2〃-1,〃為止奇數(shù)〃為正奇數(shù)

所以弓=(伉+4++%)+(%+“++%,)

二(1+41)x11+34(1-4)=4"—4+23]=4"+227=4194531；

21-4

(3)%=21og2(^^[+l=2〃+lq=3-(2"T，

因為q=3g=9,%=21,q=45,%=93q=189必=381<c200=401,

所以4+4+…+"200=(0+62++0207)-(4+%++%)

=(3+4⑸x207_g+21=42522.

21-2

21.如圖，已知四棱錐A8co的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形,

⑴求CP與平面ABCD所成角的正弦值；

(2)設(shè)Q為側(cè)楂上一點，四邊形8EQ尸是過江Q兩點的截面，且AC"平面6EQF,是否存在點Q,使得

平面8田2產(chǎn)_L平面A4Q?若存在，求出點Q的位置；若不存在，說明理由.

【答案】(1)手

?

⑵在側(cè)棱P。上存在點。且當(dāng)。。=］。尸時，使得平面BEQFJ_平面PAD.

【詳解】(1)證明：取棱A4長的一半為單位長度.

則在，ABC中，AB=2,BC=4,Z,4fiC=60°,根據(jù)余弦定理，

得AC?=AB2+BC2_2AB?BCcos60。=4+16-16x-=12

2

得AC=2X/5,AB1+AC2=liC1ABVAC.

又P8_LAC,PBCAB=B,尸8u平面PAA,A8u平面出從故AC_L平面PAB.

乂ACu平面4ACO,AC_L平面PAB,則平面人8。。_L平面/MB.

取AB中點H,連接尸”，CH.

因是等邊三角形，則""_LA&又P”u平面PA8,

平面ABCD0平面/MB=A3.平面ABC。J_平面PAB,故P〃_L平面ABCD.

得NPCH是CP與平面/1BCO所成的角.

在直角三角形中，PH=5

CH=yjAH2+AC2=\l\+12=而，此=4.

故sinNPCH=曳=叵,即為所求.

PC4

（2）假設(shè)存在點Q,使得平面BEQF_L平面PAD.

如圖，以A為原點，分別以ABAC為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A（0,0,0）,8（2,0,0）,D（-2,2y/3,0）,P（1,0,石），

AD=（-2,2瓜0卜AP=（1,0,4BD=（-4,20,0）,DP=（3,-2后出）,

設(shè)％=(.%y,zj是平面PA。的法向量，則

fn-,-AD=-2x.+2>/3y.=0((-\

1

'r'，取〃i=&，1,7.

[n}-AP=X]+V3Z]=0''

設(shè)。Q=入DP，其中OW/IW1.

則BQ=BD+DQ=BD+入DP=02-4,243-2區(qū),向)

連接ER因AC〃平面&TQF,ACu平面PAC,T;?PACC\'P?BEQF=EF,

故AC〃石F,則取與EF同向的單位向量J=（0,1,0）.

設(shè)的=（%,%,Z2）是平面BEQ廠的法向量，