《現(xiàn)代控制理論》第1章習(xí)題解答

1.1級性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的區(qū)別何在？

答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

JC=Av+Bn

），=Cr+Du

線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的區(qū)別在?。簩ω【€性定常系統(tǒng)，上述狀態(tài)空間模型中的系數(shù)

矩陣4,B,。和。中的各分量均為常數(shù)，而對線性時變系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣A,B,。和

。中有時變的元素。線性定常系統(tǒng)在物理上代表結(jié)構(gòu)和參數(shù)都不隨時間變化的一類系統(tǒng)，

而線性時變系統(tǒng)的參數(shù)則道時間的變化而變化。

1.2現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間模型與經(jīng)典控制理論中的傳遞函數(shù)有什么區(qū)別？

答：傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型的主要區(qū)別如下：

傳遞函數(shù)模型（經(jīng)典控制理論）狀態(tài)空間模型（現(xiàn)代控制理論）

僅適用于線性定常系統(tǒng)適用于線性、非線性和時變系統(tǒng)

用于系統(tǒng)的外部描述用于系統(tǒng)的內(nèi)部描述

基于頻域分析基于時域分析

1.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型有哪幾種標(biāo)準(zhǔn)形式？它們分別具有什么特點(diǎn)？

答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型標(biāo)準(zhǔn)形式有能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對角線標(biāo)準(zhǔn)型。對于〃

階傳遞函數(shù)

插”-以

G(S)=2t-r〃一/2+...+/2.S+u

/t.1+d,

s”+4[S+???+ci.s+4、

分別有

-010...0'O'

001…00

x=x+u

（1）能控標(biāo)準(zhǔn)型：,

000...10

一。1

一q—ci2"1_

也）

b吁22.Jx-d”

、y=b\

-00???()-4%

10???0_q伉

*

0I0-a2x+u

（2）能觀標(biāo)準(zhǔn)型：＜

?4-2

????n-l.

001-a“n-I.」

產(chǎn)[()0???0\]x+du

Pi0...()]rf

.°Pi...01

X=....x+,u

(3)對角線標(biāo)準(zhǔn)型:????

1

00--Pn\L.

。

y=[q2??cn]x+du

式中的,“2,…，P〃和J，…，Cn可由下式給出,

GG)=Y+鼠M+…+加+d+"='

S+,,,+6Z|s+CZQS—p、S-Pn

能控標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：狀態(tài)矩陣的最后一行由傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式系數(shù)確定，其余部分具有

特定結(jié)構(gòu)，輸出矩陣依賴于分子多項(xiàng)式系數(shù)，輸入矩陣中的元素除了最后一個元素是I外，

其余全為0。

能觀標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：能控標(biāo)準(zhǔn)型的對偶形式。

對角線標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：狀態(tài)矩陣是對角型矩陣。

1.4對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇是否惟一？

答：對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不是惟一的，狀態(tài)變量的不同選擇導(dǎo)致不同的狀態(tài)空

間模型。

1.5單輸入單榆出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在什么情況下，其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)。不等

于零，其參數(shù)如何確定？

答：當(dāng)傳遞函數(shù)G(s)的分母與分子的階次相同時，其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)。不等

于零。

轉(zhuǎn)移項(xiàng)￡)的確定：化簡下述分母與分子階次相同的傳遞函數(shù)

G(s)=?！ǘ?+,??+..+%

s〃i+,??++ci()

可得:

G(s)="一:…+…。+d

s"+a,”s?+…+qs+a。

由此得到的(1就是狀態(tài)空可實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)Do

1.6在例1.2.2處理一般傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)過程中，采用了如圖1.12的串聯(lián)分解,

試問：若將圖1.12中的兩個環(huán)節(jié)前后調(diào)換，則對結(jié)果有何影響？

答：將圖1.12中的兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)方塊圖為:

圖中,

,b(s)=b2s*+b]S+b。。

Q(5)/+//+qs+%

由于相當(dāng)于對y作3次積分，故2=——可用如下的狀態(tài)變量圖表示:

ma(s)

因?yàn)橐弧ㄏ喈?dāng)于對人作2次微分，故一=伙5)可用如下的狀態(tài)變量圖表示:

因此，兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為

進(jìn)一步簡化，可得系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為

取〉二七，y=x2fy=xit可以得到兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

-

00一。0為

X=10X+U

一q4

01一。2A

y=100l]x

兩個環(huán)節(jié)調(diào)換前的狀態(tài)空間模型是:

0100

00iA十0

~ao一q一%

y=[b0b]b2]x

顯然，調(diào)換前后的狀態(tài)空句實(shí)現(xiàn)是互為對偶的。

1.7已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

y（$）_.y+6

U(s)S2+5S+6

試求其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形。

答：系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形為:

系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)形為:

1.8考慮由下圖描述的二階水槽裝置,

該裝置可以看成是由兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，它的方塊圖是:

圖1.19二階水槽系統(tǒng)的方塊圖

試確定其狀態(tài)空間模型。

答：圖1.19中兩個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

*2=~^2X2+。2〃2和X=_%內(nèi)+2"

)，2=々\y=

又因?yàn)椤?%+X2,所以

X)=-atxt+b}x2+biui

x2=-a2x2+b2u2

進(jìn)一步將其寫成向量矩陣的形式，可得：

/2jL°-的！々1L0與1周

1.9考慮以下單輸入單輸出系統(tǒng)：

y+6j+l1j+6j=6?

試求該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標(biāo)準(zhǔn)形。

答：由微分方程可得:

66GIQ|。3

G(s)=F,-

$3+6/+11.S+6(5+1)(5+2)(.V+3)S+I5+25+3

其中,

c.=lim-----------=3

it(s+2)(s+3)

c=lim----------=-6

2->-2(5+1)(5+3)

c,=lim----------=3

ST-3(s+l)(s+2)

故該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標(biāo)準(zhǔn)形為:

1.10已知單輸入單輸出時不變系統(tǒng)的微分方程為：

y(t)+4j(0+3y(t)=w(O+6?(O+8w(O

試求：(1)建立此系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標(biāo)灌形；

(2)根據(jù)所建立的對角線標(biāo)準(zhǔn)形求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

答:(1)由微分方程可得:

、s"+6s+82s+5

G(s)=-.................=1+--------------

s-+4s+3s+4s+3

記

廠,、2s+52s+35c,c->

G](s)=—..............=------------------=——+—

u+4s+3(5+1)(.?4-3)5+1s+3

其中,

r2s+53].2s+51

=lim---------=—,=lim---------=—

s"s+32-2-3s+12

從輸入通道直接到輸出通道上的放大系數(shù)4=1,由此可得:

-10

(2)由于4=因此

0-3

G(s)=C(s/-A)-'B+D

301

3+1

(s+1)(5+2)12t;s+l1

1.50.5,

------+-------+1

S+15+3

1.11已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

?、2s+5

G(s)=--------------------

(s+3)(s+5)

(1)采用串聯(lián)分解方式,給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖；

(2)采用并聯(lián)分解方式,給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖。

答：(1)將G(s)重新寫成下述形式:

I2s+5

G(s)=

s+3s+5

每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:

X1=-32+〃x=-5七+%

和.2

x

二\y=-5X2+2%

又因?yàn)閥=%,所以

X1=-3西+u

x2=X]-5X2

y=2.X]—5r2

因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

?Vt「-3/0H]"o]「1

_X2.

y

對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

-------^1——

二1&f*2

nL-OQfJj—r>5

(2)將G(s)重新寫成下述形式：

?、-0.52.5

G(s)=-----+------

s+3s+5

每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為

X=-3x]-0.5w

x2=-5X2+2.5〃

。2=巧

又由于

i1=-3x,-0.5M

<

x2=—Sx2+2.5〃

丁=,+力=玉+工2

因此，若采用并聯(lián)分解方式,則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

-30T^ir-0.51

兀-0-5x,+2.5”

.一」J」L_IM.

,X2.

對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

^05_

-----月CX2

―?2.5―>Q—>J

1.12已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為￡=Ax+8〃，y=Cxt寫出該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和傳遞

函數(shù)矩陣。

答：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為del(s/-4),

l

傳遞函數(shù)為G(s)=C(sI-A)-Bo

1.13一個傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是否惟一？由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是否惟

-?

答：一個傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)不惟一；而由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是惟一的。

1.14已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為￡=Ar+8〃，)，=Cx,寫出其對偶狀態(tài)空間模型。

答：其對偶狀態(tài)空間模型為：

JC=ATX+CTU

\y=BTx

1.15兩個對偶狀態(tài)空間模型之間的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)有什么關(guān)系？

答：對于互為對偶的「二AT+8〃與卜"X+C”,它們對應(yīng)的特征多項(xiàng)式分別為

y=Cx[y=BTX

det(.v/-A)和det(s/-A/)，由于一個矩陣和其裝置的特征多項(xiàng)式是相同的，故互為對偶的兩

個狀態(tài)空間模型具有相同的特征多項(xiàng)式。

它們對應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

、jDC(sl-A)^B

GMC3r(-A)

G,(5)=BT(si-)-'Cr=

detisI-AT)

由于dct(5/-Ar)=dct(57-A),(C(s/-AY=Br(s/-A'yCT,故對偶狀態(tài)空間模

型之間的傳遞函數(shù)關(guān)系為G(s)=G?(s)丁，即互為轉(zhuǎn)置。

1.16考慮由以下狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng):

J=Ulb

試求其傳遞函數(shù)。

答：由于

G(s)=C(sl-A)-B+D=C(SI-ALB

I5+5

(si-AV

s(s+5)+6-6

故

-5+5iTo-Cs，+,)=s+l

G(s)=1?d^

s(s+5)4-6--6s1s2+5s+6

1.17給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:

求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。

答：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=C(s/—4尸8。由于

1

-1oTs24-6,V+115+23

(s/-A)T=0s+4-352+2s35

+6s~+1Is+3

115+2-5-1/+4s

因此,

G(s)=C(sf-A)-lB

5-+6s+115+2300

ipo

-3S2+2S3s10

".y3+6?+lLs-t-3L00

」-5-4-5-152+4501

_1[s+23.

53+6r+115+3-5-152+4s

1.18試用MATLAB軟件求出下列傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn):

?、10-+47S+160

G(s)=—：------：----------------

?+14s2+56s+160

答:執(zhí)行以下的m-文件:

num=[01047160];

den=[l1456160];

[A,BzC,D]=tf2ss(num,den)

得到:

-14

A=C=[1047160],0=0

0

由此可知:

-56

0

1

y=[1047160]x2

1.19試用MATLAB軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

答：執(zhí)行以下m-文件：

A=[010;-1-10;100];

B=(0;l;0];

C=[l00];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

可得：

num=001.00000

den=1.00001.00001.00000

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)=—

5+S-+S

1.20試用MATLAB軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

答：執(zhí)行以下的m-文件:

A=[210;020;013];

B=[01;10;01];

C=[001];

D=[00];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)

可得要求的兩個傳遞函數(shù)是

y(s)_$-2

q(s)--7S2+16ST2

y(s)_S2-4S+4

〃2(5)--7s?+16s-12

1.21已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為±=Ax+B〃，y=Cx,取線性變換陣為。，且x=在，

寫出線性變換后的次態(tài)空間模型。

答：把x=尸元代入￡=Av+Bu,y=Cxf得

Px=APx+Bu

y=CPx

因此，線性變換后的等價狀態(tài)空間模型為：

x=P'APx+P{Bu

y=CPx

1.22線性變換是否改變系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和極點(diǎn)？簡單證明之。

答：假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

x=Ax+Bu

y=Cr+Du

經(jīng)過線性變換元=7k后，系統(tǒng)的狀態(tài)模型變?yōu)椋?/p>

工=Al+Bu

y=Cx+Du

其中，___