新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教案

倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,

可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降事的變化。一起看看新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教案!

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新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教案1

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

（一）兩角和與差公式

（二）倍角公式

2cos2a=l+cos2a2sin2a=l-cos2a

留意：倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)的運(yùn)算

規(guī)律，可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降幕的變化。

注：（1）兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型：

求值題，化簡題，證明題。

⑵對公式會〃正用〃，〃逆用〃，〃變形使用〃；

⑶把握〃角的演化”規(guī)律,

（4）將公式和其它學(xué)問連接起來使用。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：兒組三角恒等式的應(yīng)用

難點(diǎn)：敏捷應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡、求值、證

明恒等式

【精典范例】

1

例1已知

求證：

例2已知求的取值范圍

分析難以直接用的式子來表達(dá)，因此設(shè)，并找出應(yīng)滿意的等

式，從而求出的取值范圍.

例3求函數(shù)的值域.

例4已知

且、、均為鈍角，求角的值.

分析僅由，不能確定角的值，還必需找出角的范圍，才能推

斷的值.由單位圓中的余弦線可以看出，若使的角為或若則

或

【選修延長】

例5已知

求的值.

例6已知，

求的值.

例7已知

求的值.

例8求值：⑴⑵

【追蹤訓(xùn)練】

1.等于（）

A.B.C,D.

2

2.已知，且

,則的值等于()

A.B.C.D.

3.求值：=.

4.求證：⑴

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教案2

一、教學(xué)目標(biāo)

⑴了解含有〃或〃、“且〃、〃非〃復(fù)合命題的概念及其構(gòu)成形式；

⑵理解規(guī)律聯(lián)結(jié)詞〃或〃〃且〃〃非〃的含義；

(3)能用規(guī)律聯(lián)結(jié)詞和簡潔命題構(gòu)成不同形式的復(fù)合命題；

(4)能識別復(fù)合命題中所用的規(guī)律聯(lián)結(jié)詞及其聯(lián)結(jié)的簡潔命題；

⑸會用真值表推斷相應(yīng)的復(fù)合命題的真假；

⑹在學(xué)問學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，培育同學(xué)簡潔推理的技能.

二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)是推斷復(fù)合命題真假的方法;難點(diǎn)是對''或〃的含義的理解.

三、教學(xué)過程

1.新課導(dǎo)入

在當(dāng)今社會中，人們從事任何工作、學(xué)習(xí)，都離不開規(guī)律.具有

肯定規(guī)律學(xué)問是構(gòu)成一個公民的文化素養(yǎng)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是

規(guī)律性強(qiáng)，特殊是進(jìn)入高中以后，所學(xué)的教學(xué)比學(xué)校更強(qiáng)調(diào)規(guī)律性.

假如不學(xué)習(xí)肯定的規(guī)律學(xué)問，將會在我們學(xué)習(xí)的過程中不知不覺地常

常犯規(guī)律性的錯誤.其實(shí)，同學(xué)們在學(xué)校已經(jīng)開頭接觸一些簡易規(guī)律

3

的學(xué)問.

初一平面幾何中曾學(xué)過命題，請同學(xué)們舉一個命題的例子.（板書:

命題.）

（從學(xué)校接觸過的''命題〃入手，提出問題，進(jìn)而學(xué)習(xí)規(guī)律的有關(guān)學(xué)

問.）

同學(xué)舉例：平行四邊形的對角線相互平,……（1）

兩直線平行，同位角相等......（2）

老師提問：”……相等的角是對頂角〃是不是命題?……（3）

（同學(xué)談?wù)摻Y(jié)果，答案是確定的.）

老師提問：什么是命題？

（同學(xué)進(jìn)行回憶、思索.）

概念總結(jié)：對一件事情作出了推斷的語句叫做命題.

（老師確定了同學(xué)的回答，并作板書.）

由于推斷有正確與錯誤之分，所以命題有真假之分，命題（1）、（2）

是真命題，而⑶是假命題.

（老師利用投影片，和同學(xué)爭論以下問題.）

例1推斷以下各語句是不是命題，若是，推斷其真假：

命題肯定要對一件事情作出推斷，（3）、（4）沒有對一件事情作出

推斷，所以它們不是命題.

學(xué)校所學(xué)的命題概念涉及規(guī)律學(xué)問，我們今日開頭要在學(xué)校學(xué)習(xí)

的基礎(chǔ)上，介紹簡易規(guī)律的學(xué)問.

2.講授新課

4

大家看課本（人教版，試驗(yàn)修訂本，第一冊（上））從第25頁至26

頁例1前，并歸納一下這段內(nèi)容主要講了哪些問題？

（片刻后請同學(xué)舉手回答，一共講了四個問題.師生一道歸納如下.）

（1）什么叫做命題？

可以推斷真假的語句叫做命題.

推斷一個語句是不是命題，關(guān)鍵看這語句有沒有對一件事情作出

了推斷，疑問句、祈使句都不是命題.有些語句中含有變量，如中含

有變量，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假（這種

含有變量的語句叫做〃開語句〃）.

（2）介紹規(guī)律聯(lián)結(jié)詞〃或〃、〃且〃、〃非〃.

〃或〃、〃且〃、〃非〃這些詞叫做規(guī)律聯(lián)結(jié)詞.規(guī)律聯(lián)結(jié)詞除這三種形

式外，還有〃若…則…〃和〃當(dāng)且僅當(dāng)〃兩種形式.

對〃或"的理解，可聯(lián)想到集合中”并集〃的概念.中的〃或〃，它是

指〃〃、〃〃中至少一個是成立的，即且；也可以且；也可以且.這與

生活中〃或〃的含義不同，例如''你去或我去〃，理解上是排斥你我都去

這種可能.

對〃且〃的理解，可聯(lián)想到集合中〃交集〃的概念中的〃且〃，是指〃〃、

〃這兩個條件都要滿意的意思.

對〃非〃的理解，可聯(lián)想到集合中的〃補(bǔ)集〃概念，若命題對應(yīng)于

集合，則命題非就對應(yīng)著集合在全集中的補(bǔ)集.

命題可分為簡潔命題和復(fù)合命題.

不含規(guī)律聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡潔命題.簡潔命題是不含其他命題

5

作為其組成部分(在結(jié)構(gòu)上不能再分解成其他命題)的命題.

由簡潔命題和規(guī)律聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題，如〃6是自

然數(shù)且是偶數(shù)〃就是由簡潔命題〃6是自然數(shù)〃和〃6是偶數(shù)〃由規(guī)律聯(lián)結(jié)

詞〃且〃構(gòu)成的復(fù)合命題.

(4)命題的表示：用，，，，……來表示.

(老師依據(jù)同學(xué)回答的狀況作補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào)，特殊是對復(fù)合命題的

概念作出分析和綻開.)

我們接觸的復(fù)合命題一般有〃或〃、〃且〃、〃非〃、喏則〃等

形式.

給出一個含有〃或〃、〃且〃、〃非〃的復(fù)合命題，應(yīng)能說出構(gòu)成它的

簡潔命題和弄清它所用的規(guī)律聯(lián)結(jié)詞;應(yīng)能依據(jù)所給出的兩個簡潔命

題，寫出含有規(guī)律聯(lián)結(jié)詞〃或〃、〃且〃、〃非〃的復(fù)合命題.

對于給出〃若則〃形式的復(fù)合命題，應(yīng)能找到條件和結(jié)論.

在推斷一個命題是簡潔命題還是復(fù)合命題時(shí)，不能只從字面上來

看有沒有〃或〃、〃且"、〃非〃,例如命題〃等腰三角形的頂角平分線、底

邊上的高、底邊上的中線相互重合〃，此命題字面上無〃且〃;命題〃5的

倍數(shù)的末位數(shù)字不是0就是5〃的字面上無“或〃，但它們都是復(fù)合命題.

3.鞏固新課

例2推斷下列命題，哪些是簡潔命題，哪些是復(fù)合命題.假如是

復(fù)合命題，指出它的構(gòu)成形式以及構(gòu)成它的簡潔命題.

(1)；

(2)0.5非整數(shù)；

6

(3)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

(4)菱形的對角線相互垂直且平分；

(5)平行線不相交；

(6)若，則.

(讓同學(xué)有充分的時(shí)間進(jìn)行辨析.教材中對〃若…則…〃不作要求，老

師可以依據(jù)同學(xué)的狀況作些補(bǔ)充.)

例3寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來).

若給定語為

等于

大于

是

都是

至多有一個

至少有一個

至多有個

其否定語分別為

分析：〃等于〃的否定語是“不等于〃；

〃大于〃的否定語是〃小于或者等于〃；

〃是〃的否定語是〃不是〃;

〃都是〃的否定語是〃不都是〃；

〃至多有一個〃的否定語是〃至少有兩個〃；

〃至少有一個〃的否定語是〃一個都沒有〃；

7

〃至多有個〃的否定語是〃至少有個〃.

(假如時(shí)間富裕，可讓同學(xué)爭論后得出結(jié)論.)

置疑：〃或〃、〃且〃的否定是什么？(視同學(xué)的狀況、課堂時(shí)間作適

當(dāng)?shù)谋嫖雠c綻開.)

4.課堂練習(xí)：第26頁練習(xí)1,2.

5.課外作業(yè)：第29頁習(xí)題1.61,2.

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教案3

教學(xué)目標(biāo)

⑴把握一元二次不等式的解法；

(2)知道一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組；

(3)了解簡潔的分式不等式的解法；

(4)能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解

它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；

⑸能夠進(jìn)行較簡潔的分類爭論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡潔的

含字母的一元二次不等式；

(6)通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培育

同學(xué)的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

(7)通過討論函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使同學(xué)熟悉到

事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辨證的世界觀.

教學(xué)重點(diǎn)：一元二次不等式的解法；

教學(xué)難點(diǎn)：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)

系.

8

教與學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一課時(shí)

固設(shè)置情境

問題：

①解方程

②作函數(shù)的圖像

③解不等式

【置疑】在解決上述三問題的基礎(chǔ)上分析，一元一次函數(shù)、一元

一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系。能通過觀看一次函數(shù)的圖像

求得一元一次不等式的解集嗎？

【回答】函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的

解集為函數(shù)圖像落在X軸上方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)。能。

通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀看一

次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。留意顏色或彩色粉筆的運(yùn)

用

在這里我們發(fā)覺一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間

有著親密的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖像上!）

我們可以快速精確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我

們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來爭論

找到其求解方法呢？

團(tuán).探究與討論

我們現(xiàn)在就結(jié)合不等式的求解來試一試。（師生共同活動用〃特

9

另IJ點(diǎn)法〃而非課本上的〃列表描點(diǎn)〃的方法作出的圖像，然后請一位程

度中下的同學(xué)寫出相應(yīng)一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

【答】方程的解集為

不等式的解集為

【置疑】哪位同學(xué)還能寫出的解法?（請一程度差的同學(xué)回答）

【答】不等式的解集為

我們通過二次函數(shù)的圖像，不僅求得了開頭上課時(shí)我們還不知

如何求解的那個第⑸小題的解集，還求出了的解集，可見利用二次

函數(shù)的圖像來解一元二次不等式是個非常有效的方法。

下面我們再對一般的一元二次不等式與來進(jìn)行爭論。為簡便起

見，暫只考慮的情形。請同學(xué)們思索下列問題：

假如相應(yīng)的一元二次方程分別有兩實(shí)根、惟一實(shí)根，無實(shí)根的

話，其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與X軸的位置關(guān)系如何?（提問程度較

好的同學(xué)）

【答】二次函數(shù)的圖像開口向上且分別與X軸交于兩點(diǎn)，一點(diǎn)

及無交點(diǎn)。

現(xiàn)在請同學(xué)們觀看表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應(yīng)一元二次不等

式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

【答】的解集依次是

的解集依次是

它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應(yīng)盡快將表中的

結(jié)果記住。其關(guān)鍵就是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。

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課本第19頁上的例1.例2.例3.它們均是求解二次項(xiàng)系數(shù)的一元

二次不等式，卻都沒有給出相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。其解答過程雖很簡

練，卻不太直觀?，F(xiàn)在我們在課本預(yù)留的位置上分別給它們補(bǔ)上相應(yīng)

二次函數(shù)圖像。

(老帥巡察，重點(diǎn)關(guān)注程度稍差的同學(xué)。)

同演練反饋

1.解下列不等式：

(1)(2)

(3)(4)

2.若代數(shù)式的值恒取非負(fù)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是。

3.解不等式

⑴⑵

參考答案：

1.⑴;⑵;⑶;⑷R

2.

3.⑴

⑵當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，O

固總結(jié)提煉

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次不等式的解法，其關(guān)

鍵是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)，再對比課本第39頁上

表格中的結(jié)論給出所求一元二次不等式的解集。

11

（五卜課時(shí)作業(yè)

（P20.練習(xí)等3、4兩題）

（六卜板書設(shè)計(jì)

其次課時(shí)

團(tuán).設(shè)置情境

（通過講評上一節(jié)課課后作業(yè)中消失的問題，復(fù)習(xí)利用“三個二次〃

間的關(guān)系求解一元二次不等式的主要操作過程。）

上節(jié)課我們只爭論了二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次不等式的求解問題。

確定有同學(xué)會問，那么二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次不等式如何來求解？

咱們班上有誰能解答這個疑問呢？

因探究討論

（同學(xué)談?wù)摷娂?有的說仍舊利用二次函數(shù)的圖像，有的說將二次

項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，.……老師分別請持上述見解的同學(xué)代表

進(jìn)一步說明各自的見解.）

生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數(shù)圖像次依關(guān)于x軸

翻轉(zhuǎn)變成開口向下的拋物線，再依據(jù)可得的圖像便可求得二次項(xiàng)系數(shù)

的一元二次不等式的解集.

生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以?1將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后

直接運(yùn)用上節(jié)課所學(xué)的方法求解就可以了.

師：首先，這兩種見解都是合乎規(guī)律和可行的.不過按前一見解

來操作的話，同學(xué)們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各

結(jié)論.這不但加重了記憶負(fù)擔(dān)，而且兩表中的結(jié)論簡單搞混導(dǎo)致錯誤.

12

而按后一種見解來操作時(shí)則不存在這個問題，請同學(xué)們閱讀第19頁

例4.

（待同學(xué)閱讀完畢，老師再簡要講解一遍.）

［學(xué)問運(yùn)用與解題討論］

由此例可知，對于二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次不等式是將其通過同解

變形化為的一元二次不等式來求解的，因此只要把握了上一節(jié)課所

學(xué)過的方法。我們就能求

解任意一個一元二次不等式了，請同學(xué)們求解以下兩不等式.（調(diào)

兩位程度中等的同學(xué)演板）

（1）（2）

（分別為課本P21習(xí)題1.5中1大題（2）、（4）兩小題.老師講評兩位

同學(xué)的解答，留意訂正表述方面存在的問題.）

訓(xùn)練二可化為一元一次不等式組來求解的不等式.

目前我們熟識了利用〃三個二次〃間的關(guān)系求解一元二次不等式

的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但詳細(xì)操作起來還是讓我

們感到有點(diǎn)麻煩,故在求解形如（或）的一元二次不等式時(shí)則依據(jù)（有

理數(shù)）乘（除）運(yùn)算的“符號法則〃化為同學(xué)們更加熟識的一元一次不等

式組來求解.現(xiàn)在清同學(xué)們閱讀課木P20上關(guān)于不等式求解的內(nèi)容并

思索：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集?（待同

學(xué)閱讀完畢，請一程度較好，表達(dá)力量較強(qiáng)的同學(xué)回答該問題.）

【答】由于滿意不等式組或的x都能使原不等式成立，且反

過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并

13

集.

這個回答說明白原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的

并集B是互為子集的關(guān)系，故它們必相等，現(xiàn)在請同學(xué)們求解以下各

不等式.（調(diào)三位程度各異的同學(xué)演板.老師巡察，重點(diǎn)關(guān)注