專題L6二次根式全章五類必考?jí)狠S題

【浙教版】

必考點(diǎn)1二次根式的雙重非負(fù)性的運(yùn)用

1.已知X、），為實(shí)數(shù)，且y="-2023+V2023-則'+'的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

2.已知后FT7-x|+依-卬=3y-2則2、-1完的值為（）.

A.22B.20C.18D.16

3.已知化簡(jiǎn)J。+—4+,4的結(jié)果為

4.若實(shí)數(shù)小兒c滿足關(guān)系式“二199+"99-。=曲+廠C+、口,則,=.

5.已知整數(shù)人），滿足3+720221-J2022y+〃022孫=2Q22則”?-3T的最小值為.

6.已知實(shí)數(shù)“，＞而滿足等式J3"5y=3f+（2x+3y一石=斤戶-產(chǎn)=5,求VE

的值.

必考點(diǎn)2'二次根式的規(guī)律探究

［若+打打小+?打小?齊齊???+小+含+苴,則⑷=（）（其中⑶表示

不超過(guò)人的最大整數(shù)）

A.2019B.2020C.2021D.2022

口=最+

J1+1==，其中”為正整數(shù).設(shè)*n+口+…+，

則5”森值是

）

2。22斐2023.2022高D.2。23點(diǎn)

A.B.&閆C.

3,將-組數(shù)據(jù)",3,2回用3內(nèi)，按下面的方法進(jìn)行排列：H,四3,26,8

3sVTi2〃3VlV52

，，，，；

若26的位置記為（L,）,2遍的位置記為（2'3）,則這組數(shù)中面的位置記為（）

A.?可B.?勺c,6,2）口.（6,9

4.觀察卜.列各式：

"7拜…焉

y/1+熱3，+f>1+閂,x4........③

請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題:

獻(xiàn)'"[1____________(”為正整數(shù))；

11+：+：+J1+J+.++J+"+…+11+=

(2)計(jì)算VP27V2*3*<V202”203Jz

（3）如果戶熱+.打…4+就那么"

/?二

5.觀察卜面的式子：Sj=l+-,S2=1+"，S3=l+...Sn=l+

（l）計(jì)算：底，艮:猜想質(zhì);（用n的代數(shù)式表示）；

⑵計(jì)算：S=百+店+醫(yī)+“.+底（用n的代數(shù)式表示）.

必考點(diǎn)3N復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)

Vo+2y[b(a>0b>Qa+2<b>01m

1.材料：如何將雙重二次根式一,,?化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)，

n(m>0n>0),使得(師>+(何'a,即m+n”且使標(biāo).訴="即…心那么

a±2乃=(師產(chǎn)+(何工±2而??=(師士阿.?.、匕±2后=|標(biāo)士向，雙重二次根式得以化簡(jiǎn).

V3±2V2

例如化簡(jiǎn)：工

因?yàn)?=1+2且2=1M2：

/.3±2V2=(VI)2+(V2)2±2VIxV2??.y/3±2yf2=|1±V2|

由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成、°±2"的形式，且能找到m,n(m>0,”>0)使得

m+n=a,且叱。=力，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡(jiǎn)為一個(gè)二次根式.

請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：

15±2避V12±2V53

(I)填空：=,=；

內(nèi)士60

⑵比簡(jiǎn)：；

、…43-顯W

⑶計(jì)算：+.

2.閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如

3+2V2=(l+V2)：

,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:

a+=(m+nV?)-=m?+2n2+2mnV20匕m力a=m2+2n2

若設(shè)'7(其中°、“、叫”均為整數(shù))，則有0m+zn

b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解

決下列問(wèn)題:

。+

⑴若by/7=(m+nVT),，當(dāng)Q、b、tn、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示Q、b，得：a—

b=

__?

⑵若a+6V5=,(m+。且Q"、n叫]n71均為正整數(shù)，求。Q的值；

(3)比簡(jiǎn)下列格式：

々5+2、后

入17-2依

②

③，4-J10+2V5+(4+J1O+2V5

內(nèi)一2〃

3.小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，消到了比較復(fù)雜的二次根式,通過(guò)資料的杳詢?他得到了該二次

根式的化簡(jiǎn)過(guò)程如下

《5-2V8=(2-2x&xG+3

_((&)"-2x&xVJ.(、與“

J(V2-V3)2

(1)結(jié)合以上化簡(jiǎn)過(guò)程，請(qǐng)你動(dòng)手嘗試化簡(jiǎn)4-2百.

(2)善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a,兒機(jī)，〃為正整數(shù)時(shí)，若"26=(師+囪，則

a+2V5=(m+n)+24mn=m+n,h=mn斐a+2VI7=(標(biāo)+⑸

，以，右,且a,m，〃為正整數(shù),

tn>n.MH

；求xa,in,〃的色.

4.閱讀材料：

材料一:數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)乂帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層(或多層)根

號(hào)如，(4產(chǎn)+(V5)2-2xVixV2=J(VI-V2)2=|VI-V2|=V2-1

材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式，利

用完全平方式來(lái)解決問(wèn)題，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到.

如x2?2&X+3=x2+2&x+(V2)2+1=("&)2+1

..(、+v2)2>C.(x+V2)2+1>1即必+2、2X+3>1

?9??9U|J

...f缶'3的最小值為1

閱讀上述材料解決下面問(wèn)題：

一2V3=45+2vs=

(1),；

⑵求的最值；

X=13一，13-^(4+2>/3)x2r+(V5+l)x)f-5

<3)己知<S'求4的最值.

5.閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,

3+272=(1+V2)

如:,善于思考的康康進(jìn)行「以下探索:

設(shè)n+*4?(?+哂(其中qb加〃均為正整數(shù))，

則有0+人立=+2M^2mn<l(有理數(shù)和無(wú)理數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等)，

.o=m2+2n-b^2mr這樣康康就找到了一種把式子0?入々化為平方式的方法.

請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問(wèn)題：

a+=(c+dG)?cda

⑴當(dāng)a、氏小、〃均為正整數(shù)時(shí)，若'),用含.0的式子分別表示〃、仇得：。

b—

7-4V3=(。一/VJ)€f7-

(2)若"且、'均為正整數(shù)，試化簡(jiǎn)：

⑶比簡(jiǎn)47+年畫

必考點(diǎn)4N二次根式運(yùn)算與求值技巧

[l9y小a

i.已知a(a一加=3.(5.一田)，求”而f

2.已知"一汨，,一湎1.

⑴求八2孫.?的值.

752TLs_、(y?+2y?力

(2)求"L2)—-值

9-1.b41

3.已/=g

(I)求/—必+標(biāo)的值;

(2)若，小數(shù)部分為,〃，，小數(shù)部分為〃，求(m+0(m-n)的值.

、=上了=業(yè)m=i--打=工+2

4.已知2,>2,<

(I)求m'”的值;

(2)若代■的=月+2,求歷+”的值.

5正數(shù)mm滿足m+4、麗南—2師—4百+4n=3,求而卬記S5的值

必考點(diǎn)5a分母有理化o

2G1

1.在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到形如“，5,"3的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn):

2_」得_N!

S.①

g=解嚀;②

Lx(vl-l)

757—修<T(vJ)-阿川=顯一\

；③

對(duì)干以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化,7571?還可以用以卜.的方法化簡(jiǎn);

V2-1

V2+1;④

2

⑴請(qǐng)參照方法④化簡(jiǎn)："E：

5+P

⑵化簡(jiǎn)：不山

(3)比簡(jiǎn)：而‘石耳+下?際I?、外("為正整數(shù))

2.閱讀材料，回答問(wèn)題：

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因

式.例如:因?yàn)榭冢究?°,("+D(e7=1,所以“與四々+1與后】互為有理化因式.進(jìn)

行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào).

I/3^2_

(1)b—2的有理化因式是_______；化簡(jiǎn)：75三一

i_+J4++......

(2)比簡(jiǎn)：小】標(biāo)5標(biāo)T

⑶拓展應(yīng)用：己知，”癡而.師/=領(lǐng)-頻，,=曲.頻

試比較小b,。的大小，并說(shuō)明理由.

3.先閱讀下面的材料，再解答問(wèn)題.

(0+歷)(、怎—V5)=(v,a)'-(VF)*=a-￡

因?yàn)関

所以°一白=(祗+、同(C-網(wǎng)

特別地，

?7^.c—V14+VT3

所以也m

當(dāng)然，也可以利用得1=1"",

i_14-13(vn)'-(G，

所以/nit—vn-vri<iwn

.(vFvTlX/n-、!!)

―v14-vT3

9

=vT?+vT3

,

這種變形也是將分母有理化.

利用上述的思路方法，計(jì)算：

(^T+37vI+=+〃至二2451)(0023+1)

(1):

3_______6____2

34Vl

(ZJ?

4.【材料閱讀】

2

材料一：在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到形如門?［的式子，可以通過(guò)分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)

算.如化簡(jiǎn)：而.具體方法如下:

2(、I)

門-(、丁

方法一:1+1)(b-1)

2_3T_(VT)"--_(—■1)(W.l)_fs

vA1—、*ivi+i4+i-v

方法二:

_把把_t

材料二:我們?cè)趯W(xué)習(xí)分式時(shí)知道，對(duì)于公式°可以逆用.即：°

【問(wèn)題解決】

（1）化簡(jiǎn):

+(75W2-^4Vj)+…+(!?*、叼-、而ITTO)

（2）計(jì)算:

___+_____+_____+…+......-!

2-K1人？4127，桿55而同

（3）計(jì)算:

5.閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：

在誑行類似于二次根式門?門的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其化簡(jiǎn)；

J=―-="I=口一o

方法（、-2y（以上化簡(jiǎn)的步驟叫分母有理化）；