北京市東城區(qū)市級名校2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中真命題的個數(shù)是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．32．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）A． B． C． D．3．在一組樣本數(shù)據(jù)為，，，（，，，，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（）A． B． C．1 D．-14．冪函數(shù)的圖象過點，那么的值為（）A． B．64 C． D．5．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．6．對于復數(shù)，給出下列三個運算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個數(shù)是（）A． B． C． D．7．設集合，分別從集合A和B中隨機抽取數(shù)x和y，確定平面上的一個點，記“點滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．8．若實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知向量，，若，則()A． B．1 C．2 D．10．已知隨機變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，11．已知是定義在上的可導函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．12．若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是________；14．已知，則_______.15．已知平面向量，若，則__________.16．若，則的定義域為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知等差數(shù)列不是常數(shù)列，其前四項和為10，且、、成等比數(shù)列.（1）求通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當時，求的最小值；（Ⅱ）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．21．（12分）設函數(shù)f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜（1）當a＝1時，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t++2對任意t＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．22．（10分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α1

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據(jù)全稱命題與特征命題的否定關(guān)系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應選答案B．2、D【解析】由題意可知：直角三角向斜邊長為17，由等面積，可得內(nèi)切圓的半徑為：落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率為，故落在圓外的概率為3、D【解析】

根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù)．【詳解】根據(jù)回歸直線方程是yx+2，可得這兩個變量是負相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關(guān)系數(shù)r＝﹣1．故選D．本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】

設冪函數(shù)的解析式為∵冪函數(shù)的圖象過點.選A5、B【解析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.6、D【解析】分析：根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得（1）正確；根據(jù)復數(shù)模的公式計算可得到（2）正確；根據(jù)復數(shù)乘法運算法則可判斷（3）正確，從而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)復數(shù)的幾何意義，由三角形兩邊之和大于第三邊可得，（1）正確；設，則，，（2）正確；根據(jù)復數(shù)乘法的運算法則可知，（3）正確，即正確命題的個數(shù)是，故選D.點睛：本題主要考查復數(shù)模的公式、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)乘法的運算法則，意在考查基礎知識掌握的熟練程度，以及綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于難題.7、A【解析】

求出從集合A和B中隨機各取一個數(shù)x，y的基本事件總數(shù)，和滿足點P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機各取一個數(shù)x，y，確定平面上的一個點P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個，∴C的概率P（C），故選A．本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，考查了列舉法計算基本事件的個數(shù)，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．8、B【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設得，平移直線，由圖象可知當直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，即，代入目標函數(shù)得．即目標函數(shù)的最大值為1．故選B．本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．9、B【解析】

由，，表示出，再由，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，又，所以，即，解得.故選B本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.10、C【解析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法，考查運算求解能力，是中檔題．11、B【解析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.12、B【解析】

由題意可得,,故.設,則.

關(guān)于

對稱,故

在上是增函數(shù),當時有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形?！驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數(shù)圖象相切時，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題時用數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數(shù)圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結(jié)論．14、【解析】

先對函數(shù)求導，然后求出，進而求出答案?！驹斀狻坑深}可得，令，則，解得，所以，則本題考查導函數(shù)，解題的關(guān)鍵是先求出，屬于一般題。15、5【解析】

由向量平行關(guān)系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【詳解】因為，所以，解得，則，故．本題考查向量平行以及向量模的計算公式，屬于基礎題．16、【解析】

根據(jù)冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】由題解得本題考查函數(shù)定義域，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).（2）.【解析】試題分析：(1)設的公比為q，依題意得方程組，解得，即可寫出通項公式.（2）因為，利用等差數(shù)列的求和公式即得.試題解析：(1)設的公比為q，依題意得，解得，因此，.（2）因為，所以數(shù)列的前n項和.考點：等比數(shù)列、等差數(shù)列.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組，根據(jù)首項和公差求通項公式；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項求和公式求解.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差，解得：；（2），，是公比為8，首項為的等比數(shù)列，.本題考查等差和等比數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題型，只需熟記公式.19、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，求出，利用導數(shù)值判斷的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題求得，對進行分類討論，判斷在處取得極大值時的范圍即可.【詳解】（1）由題意，當時，，所以，令，解得，，，解得；，解得，；所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由題意，，①當時，，，解得；，解得，；所以在處取極大值；當時，令，得，，②當時，即，或時，，解得；，解得，；所以在處取極大值；③當，即時，，解得，，解得，，或；所以在處取極大值；④當，即時，，故不存在極值；⑤當時，即時，，解得，；，解得，，或；所以在處取極小值；綜上，當在處取得極大值時，.本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.20、（Ⅰ）0；（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的最小值；（Ⅱ）對函數(shù)求導得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）當時，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．故當時，．（Ⅱ）由可知，．當時，設，則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．又故存在唯一，使得．當時，．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，此時．當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．又因為故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點．所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理的應用，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）解法一：利用分類討論法去掉絕對值，解對應的不等式即可；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x），作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，利用圖象求出不等式的解集；（2）由題意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用絕對值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，再列不等式求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解法一：當a＝1時，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；當x時，不等式f（x）≤3可化為：﹣2x+1﹣2x+3≤3，解得x，此時x；當x時，不等式f（x）≤3可化為為：2x﹣1﹣2x+3≤3，此不等式恒成立，此時得x；當x時，不等式f（x）≤3可化為：2x﹣1+2x﹣3≤3，解得得x，此時x，綜上知，x，即不等式的解集為[，]；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x）；作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，如圖所示：由f（x）＝3解得：x或x，由圖象可得不等式的解集為[，]；（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，即f（x）的最小值為|a﹣3|，由