北京市第一五九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)2．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中中有很多對幾何體體積的研究．已知某囤積糧食的容器是由同底等高的一個圓錐和一個圓柱組成,若圓錐的底面積為、高為,則該容器外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．用秦九韶算法求次多項式，當(dāng)時，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（）A． B． C． D．4．定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，，，…，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A．14個 B．13個 C．15個 D．12個5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－86．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S7．體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,某學(xué)生到該體育場練跑步,則他進(jìn)出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種8．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．9．在三棱柱面，，，，則三棱柱的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)在上有小于的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度12．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項的和為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個數(shù)為________.14．若圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是__________．15．設(shè)函數(shù),，則函數(shù)的遞減區(qū)間是________．16．交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從速度在的汽車中抽取300輛進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則速度在以下的汽車有_____輛.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知橢圓，為右焦點，圓，為橢圓上一點，且位于第一象限，過點作與圓相切于點，使得點，在的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和（結(jié)果需化簡）20．（12分）平面四邊形中，,為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折得到四面體，點分別為的中點.（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；（Ⅱ）當(dāng)平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，求函數(shù)的值域．22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點.（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，故選：D．本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

首先求出外接球的半徑，進(jìn)一步利用球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)已知條件，圓錐的底面積為8π，所以π?r2＝8π，解得圓錐的底面半徑為，由題外接球球心是圓柱上下底面中心連線的中點，設(shè)外接球半徑為R,則，解得所以表面積．故選C．本題考查的知識要點：組合體的外接球的半徑的求法及應(yīng)用，球的表面積公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．3、D【解析】求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即..….這樣,求n次多項式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法故選D.4、A【解析】分析：由新定義可得，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個數(shù)相等，首項為0，末項為1，當(dāng)m=4時，數(shù)列中有四個0和四個1，然后一一列舉得答案．詳解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個數(shù)相等，首項為0，末項為1，若m=4，說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14個．故答案為：A.點睛：本題是新定義題，考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，枚舉時做到不重不漏.5、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.6、C【解析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設(shè)3a8=5a157、D【解析】第一步，他進(jìn)門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得他進(jìn)出門的方案有7×7＝49(種)．8、C【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘除法法則計算出復(fù)數(shù)，再由定義可得．詳解：，虛部為．故選C．點睛：本題考查的運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念，解題時根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化復(fù)數(shù)為簡單形式，可得虛部與實部．9、C【解析】

利用余弦定理可求得，再根據(jù)正弦定理可求得外接圓半徑；由三棱柱特點可知外接球半徑，求得后代入球的表面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】且由正弦定理可得外接圓半徑：三棱柱的外接球半徑：外接球表面積：本題正確選項：本題考查多面體外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確外接球球心的位置，從而利用底面三角形外接圓半徑和三棱柱的高，通過勾股定理求得外接球半徑.10、B【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點等價于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【詳解】由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.12、A【解析】

利用n次二項式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應(yīng)項的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】n次二項式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數(shù)分別為1，2，1，對應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數(shù)字和為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，可得當(dāng)n＝15，在加上第16行的前15項時，所有項的個數(shù)和為135，由于最右側(cè)為2，3，4，5，……，為首項是2公差為1的等差數(shù)列，則第16行的第16項為17，則楊輝三角形的前18項的和為S18＝218﹣1，則此數(shù)列前135項的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，故選：A．本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由分布列先求出，再利用公式計算和即可.【詳解】解：由題意知：，即；綜上，故（1）正確，（2）（3）錯誤，正確的個數(shù)是1.故答案為：1.本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l，由題意r=l，∴考點：本題考查了圓柱展開圖的性質(zhì)點評：掌握圓柱的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題15、【解析】,如圖所示，其遞減區(qū)間是．16、150【解析】

先計算出速度在以下的頻率，然后再計算出車輛的數(shù)量【詳解】因為速度在以下的頻率為，所以速度在以下的汽車有.本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用求解實際問題，先計算出頻率，然后再計算出結(jié)果，較為簡單三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因為，，，且時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，.所以本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬中檔題．18、（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦距及離心率.（Ⅱ）設(shè)（，），先求出四邊形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設(shè)（，），則，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.點睛：本題的關(guān)鍵在于求此的表達(dá)式和化簡，由于四邊形是不規(guī)則的圖形，所以用割補(bǔ)法求其面積，其面積求出來之后，又要利用已知條件將其化簡為，再利用基本不等式求其最小值.19、（1）；（2）；【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式得時，，時，，化簡計算可得所求通項公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．【詳解】（1）可得時，則（2）數(shù)列滿足，可得，即，前項和兩式相減可得化簡可得本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】【試題分析】（1）先運(yùn)用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明，進(jìn)而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據(jù)題設(shè)條件及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式求出平面的一個法向量.進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦值：解：（Ⅰ）∵點分別為的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形.取的中點，連結(jié).∵為等腰直角三角形，為正三角形，∴,∴平面.又∵平面，∴，由且可得，∴四邊形為矩形.（Ⅱ）由平面分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意，設(shè)，則，∴.設(shè)為平面的一個法向量，則有令，則.∴直線與平面所成角的正弦值.點睛：解答本題的第一問時，先運(yùn)用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明，進(jìn)而證明，從而證明四邊形為矩形；解答地二問時先依據(jù)題設(shè)條件平面平面及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系求解．21、（1），]（2）值域為[，]．【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡的解析式，根據(jù)條件，可求出周期和，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，求出，再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的圖象