PAGEPAGE1第4章平面對(duì)量第1講A組基礎(chǔ)關(guān)1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a答案B解析因?yàn)棣恕?，所以λ2>0，所以λ2a與a方向相同，故B正確；A錯(cuò)誤，當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa方向相同；C錯(cuò)誤，當(dāng)|λ|∈(0,1)時(shí)，|－λa|<|a|；D錯(cuò)誤，|－λa|是實(shí)數(shù)，|λ|a是向量，不能比大?。?．下列四項(xiàng)中不能化簡(jiǎn)為eq\o(AD,\s\up16(→))的是()A.eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(BM,\s\up16(→))B．(eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→)))C．(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋eq\o(BC,\s\up16(→))D.eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))答案A解析A不能，eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝2eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))；B能，(eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→)))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))；C能，(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))；D能，eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).3．(2024·威海模擬)設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up16(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b.若A，B，D三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(BD,\s\up16(→))，所以存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up16(→))＝λeq\o(BD,\s\up16(→))，即2a＋pb＝λ(2a－b)．又因?yàn)閍，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2，,－λ＝p，))解得p＝－1.4．已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2eq\o(OP,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D．點(diǎn)P不在直線AB上答案B解析因?yàn)?eq\o(OP,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))，所以2eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，故選B.5．已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，則eq\o(AP,\s\up16(→))＝()A．λ(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))，λ∈(0,1)B．λ(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．λ(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))，λ∈(0,1)D．λ(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案A解析依據(jù)向量的平行四邊形法則，得eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)).因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，所以eq\o(AP,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))共線，所以eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))，λ∈(0,1)，故選A.6．如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(EC,\s\up16(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up16(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up16(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up16(→))答案C解析eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(CE,\s\up16(→))))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(CB,\s\up16(→))))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→)).7．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋2eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3B．4C．5D．6答案B解析∵D為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))，又eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋2eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OC,\s\up16(→))，∴O為CD的中點(diǎn)．又∵D為AB的中點(diǎn)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.8．給出下列四個(gè)命題：①若a＋b與a－b是共線向量，則a與b也是共線向量；②若|a|－|b|＝|a－b|，則a與b是共線向量；③若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b是共線向量；④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，則b與任何向量都共線．其中為真命題的有________(填上序號(hào))．答案①②③解析①由向量的平行四邊形法則可知，若a＋b與a－b是共線向量，則必有a與b也是共線向量，所以①是真命題；②若|a|－|b|＝|a－b|，則a與b同向，或b是零向量，或a，b均為零向量，所以a與b是共線向量，所以②是真命題；③若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b方向相反，或a，b中至少有一個(gè)零向量，所以a與b是共線向量，所以③是真命題；④當(dāng)a是零向量，b是非零向量時(shí)，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能與任何向量都共線，所以④是假命題．9．(2024·青島質(zhì)檢)已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up16(→))＝a，eq\o(CA,\s\up16(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up16(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0.其中正確命題的序號(hào)為________．答案②③④解析eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)a－b，所以①錯(cuò)誤；eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；綜上知eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)a－b)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＝0，故④正確．10．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ＝________.答案－eq\f(1,2)解析由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).B組實(shí)力關(guān)1．已知點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案A解析因?yàn)閑q\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)).所以四邊形OACB是平行四邊形，又因?yàn)閨eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OC,\s\up16(→))|，所以四邊形OACB是菱形，△OAC是等邊三角形．所以∠BAC＝eq\f(1,2)∠OAC＝30°.2．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))答案D解析設(shè)eq\o(CO,\s\up16(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up16(→))，∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋yeq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋y(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up16(→)).∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).3．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up16(→))＝2eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→))＝2eq\o(EA,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝2eq\o(FB,\s\up16(→))，則eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直答案A解析因?yàn)閑q\o(DC,\s\up16(→))＝2eq\o(BD,\s\up16(→))，所以eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))，同理eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))，即eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))反向平行，故選A.4．如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K，其中，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AK,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))，則λ的值為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案A解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝2eq\o(AF,\s\up16(→))，由向量加法的平行四邊形法則可知eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AK,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up16(→))＋2\o(AF,\s\up16(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up16(→))＋2λeq\o(AF,\s\up16(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可