第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《圖形的相似中旋轉問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．四邊形中，，，，，，動點P從B到C沿運動，點P運動的路程為x．(1)求的最小值；(2)線段繞點P順時針方向旋轉，得到線段．①若點Q恰好落在邊上，求x的值；②連接，若，求的值．2．數(shù)學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，，旋轉角為（)．【初步感知】（1）如圖1，將三角形紙片繞點B旋轉，連接，，求的值；【深入探究】（2）如圖2，在三角形紙片繞點B旋轉過程中，當點D恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點G，求的長；【拓展延伸】（3）在三角形紙片繞點B旋轉過程中，試探究A，D，E三點，能否構成以為直角邊的直角三角形．若能，求線段的長度；若不能，請說明理由．3．如圖，在中，，繞點C按順時針方向旋轉得到與交于點D．(1)如圖1，當時，過點B作，垂足為E，連接．①求證：；②求的值；(2)如圖2，當時，過點D作，交于點N，交的延長線于點M，求的值．4．綜合與探究問題情境：在數(shù)學活動課上，同學們用兩個全等的矩形紙片和探究旋轉的性質，將矩形紙片繞點逆時針旋轉，其中．初步探究：（1）如圖1，連接，在矩形紙片旋轉的過程中，的值為___________；問題解決：（2）如圖2，連接，當點恰好落在上（不與點重合）時，與邊交于點，延長交邊于點，求的長；（3）連接，當時，請直接寫出的面積．5．如圖1，在等腰中，，，點M、N分別是、的中點，連接．將繞點B逆時針旋轉，射線、相交于點Q．(1)如圖2，在旋轉過程中，的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？若改變，請說明理由，若不變，請求出度數(shù)；(2)當點N在直線上方時，①如圖3，當時，求的長；②連接，當線段的長度最小時，求的值．6．如圖，正方形和正方形，連接，．易得線段（數(shù)量關系），（位置關系）．(1)[發(fā)現(xiàn)]：當正方形繞點旋轉，如圖，線段與之間的數(shù)量關系是；位置關系是；(2)[探究]：如圖，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由．7．如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉，交直線于點F．(1)當，時，①求證：；②連結，，若，求的值；(2)當時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結，，若，，則當為何值時，是等腰三角形．8．如圖1，矩形中，，相交于點O，過點O作于點E，于點F．(1)求的值；(2)如圖2，當旋轉，且時，求的值；(3)如圖3，當時，過點O作，交的延長線于點E，交的延長線于點F，此時的值是否變化？證明你的結論．9．如圖1，已知點在正方形的對角線上，，垂足為，垂足為．(1)求證：四邊形是正方形；(2)探究與證明：如圖2，將正方形繞點順時針方向旋轉，試探究線段與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展與運用：如圖3，正方形繞點C沿順時針方向旋轉角，當三點在同一條直線上時，延長交于點，若，求的長．10．如圖1，在中，，，點D、E分別在邊、上，且，將繞點C按逆時針方向旋轉，記旋轉角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當時，______；②當時，______；(2)拓展探究試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當，旋轉至A，D，C三點共線時，直接寫出線段AD的長．11．如圖1，在和中，，，，連接，．(1)如圖2，當、時，，的位置關系為：________．(2)如圖1，當、時，求直線與相交所成銳角的大小．（用表示）(3)當，，，時，將繞點旋轉，使，，三點恰好在同一直線上，求的長．12．如圖（1）矩形中，．將繞點從處開始按順時針方向旋轉，交（或）于點，交邊（或）于點，當旋轉至處時，的旋轉隨即停止．(1)特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當過點時，也恰好過點，此時，__________（填：“”或“”）(2)類比探究：如圖（3）在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；(3)拓展延伸：設面積為，試確定關于的函數(shù)關系式；當時，求出所對應的t的值．13．在數(shù)學綜合與實踐活動課上，興趣小組的同學們用兩張長、寬比相同（即）的長方形紙片和展開探究活動，其中．【思考嘗試】(1)小明同學把兩張長方形紙片按如圖1放置，連接、、，興趣小組在探究過程中，發(fā)現(xiàn)小長方形紙片在繞著點C的旋轉過程中，線段和之間的數(shù)量關系不變，請你猜想這個數(shù)量關系，并說明理由．【實踐探究】(2)小睿同學受此問題的啟發(fā)，思考并提出新的問題：將小長方形紙片繞點C旋轉至如圖2所示位置，此時A、G、E共線，且交于點M．若，，求的長．【拓展遷移】(3)小聰同學深入研究小睿提出的問題，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3所示，在圖2的基礎上延長交于點H，若，，求的長．14．定義：有一個公共頂點的三角形，將其中一個三角形繞公共點旋轉一定角度，能與另一個三角形構成相似圖形，我們稱這兩個三角形互為“旋轉相似圖形”．(1)知識理解：①如圖1，，都是等邊三角形，則的“旋轉相似圖形”（填“是”或“不是”）；②如圖2，若與互為“旋轉相似圖形”，，，則；③如圖2，若與互為“旋轉相似圖形”，若，則，若連接，則．(2)知識運用：如圖3，在四邊形中，，于E，，求證：和互為“旋轉相似圖形”；(3)拓展提高：如圖4，為等腰直角三角形，點G為的中點，點F是上一點，D是延長線上一點，點E在線段上，且與互為“旋轉相似圖形”，若，求和的長．15．數(shù)學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，在紙片繞點旋轉過程中，試證明，并求出的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究三點能否構成以為直角邊的直角三角形．若能，直接寫出滿足條件的所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．參考答案1．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，當時，取最小值，此時證明四邊形為矩形，進而解得，的值，然后由勾股定理求解即可；（2）①當點恰好落在邊上時，過點作于點，證明，由全等三角形的性質可得，進而可得，即可獲得答案；②過點作于點，過點作于點，證明，得，，再證明，由相似三角形的性質可解得，證明為等腰直角三角形，可解得，的值，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】（1）解：（1）根據(jù)題意，當時，取最小值，如圖，∵，，，，當時，有，四邊形為矩形，，，，，在中，，的最小值是6．（2）解：①當點恰好落在邊上時，過點作于點，如圖，，，，又，，，由（1）可知，此時，，，，即的值為8；②過點作于點，過點作于點，如圖，，，，又，，，，，，，，，即，解得，在中，，，，即為等腰直角三角形，，，．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．2．（1）

（2）

（3）或【分析】（1）證明即可解答；（2）如圖，通過延長交于點，連接，得到四邊形為矩形，設，先根據(jù)相似得，再證明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；（3）分兩種情況：如圖和圖，分別根據(jù)相似三角形和勾股定理即可解答．【詳解】解：（1）∴，由旋轉得：，，，∴；（2）如圖2，延長交于，連接交于，由（1）知：，∴，∵是中線，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形，∴，，∵，∴，設，∵，，∴，，，，，∴，，由勾股定理得：，即解得，；（3）分兩種情況：①如圖3，，過點作于，過點作于，，∴四邊形是矩形，，設，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，中，，，解得：(負值舍)，∵，即，；②如圖，，過點作于，，∴四邊形是矩形，，，，由勾股定理得：；綜上，的長是或．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，矩形的判定和性質等知識，熟練掌握相關的性質是本題的關鍵．3．(1)①見解析；②(2)3【分析】（1）①根據(jù)旋轉性質可知，根據(jù)平行線的性質可知，得到，推出，再由等角的余角相等可得，推出，最后推出結論；②過點E作于M，證明，，根據(jù)相似三角形的判定和性質求出的長，則可求出，即可求得，進而求得答案；（2）根據(jù)勾股定理求出長，根據(jù)三角形面積相等求出，由相似三角形的判定可知，推出，求得的值，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知，求出，由得出的值，進而求得的值即可．【詳解】（1）①證明：∵繞點C按順時針方向旋轉得到，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴∴∴，②解：過點E作于M，∵∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴∵∴設，在中，，則解得即，同理可得：∴∴（2）解：在中，，則∴解得：∵∴∴即解得：∵∴∴∴，即∵∴∴∴∴【點睛】本題考查是三角形旋轉綜合題，涉及到旋轉的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理、三角形的面積、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握并靈活運用這些知識是解題的關鍵．4．（1）；（2）；（3）16或64【分析】（1）根據(jù)矩形的性質，從而有，又，得到，根據(jù)相似三角形的性質即可解答；（2）連接，交于點H，證明，得到，根據(jù)“三線合一”得到，，進而根據(jù)，，得到，通過解直角三角形得到，，，進而，，因此在中，，在中，，因此有，，根據(jù)，即可求出，從而即可解答；（3）分兩種情況討論，均證明點A，E，C在同一直線上，得到或，根據(jù)三角形的面積即可求解．【詳解】解：∵四邊形，是矩形，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．故答案為：（2）連接，交于點H，∵在矩形和矩形中，，∴，∴在和中，∴，∴，∵，∴，，∴∵，∴，∵在矩形中，，，∴，∴，，∴，，∴在中，，在中，，∴，，∴，∵在矩形中，，∴，∴，即，∴，∴．（3）分兩種情況討論：①如圖，若，∵，∴，∴點A，E，C在同一直線上，∴在中，，∴，∵在矩形中，，∴．②如圖，若，∵在矩形中，，∴與重合，∴，∴．綜上所述，當時，的面積為16或64．【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定及性質，銳角三角形函數(shù)解直角三角形，相似三角形的判定及性質，勾股定理等，綜合運用相關知識，正確作出輔助線，掌握分類討論思想是解題的關鍵．5．(1)的度數(shù)為(2)①②【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．（1）設與交于點P，然后根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似得到，即可得到，然后根據(jù)三角形的內角和解題即可；（2）①過點作于點，證明，即可求出和長，然后再根據(jù)等腰直角三角形的性質得到長解題即可；②先得到當Q與M重合時，最小，過點N作于點E，先根據(jù)勾股定理求出長，然后利用等腰直角三角形得到和長，然后求正切解題．【詳解】（1）解：的度數(shù)不變，如圖，設與交于點P，∵，，∴，∵點M、N分別是、的中點，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴的度數(shù)不變；（2）解：①如圖，過點作于點，則，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，又∵，∴，∴；②如圖，∵，∴點Q在以為直徑的圓上移動，連接，則，當最大時，最小，即當Q與M重合時，最小，過點N作于點E，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．6．(1)，(2)，，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形和矩形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）證明得，，又，，得，所以，既可求解；（2）延長交于，交于，證明得，，所以，結合，可得，所以，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長交于，交于，四邊形和四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：如圖，延長交于，交于，四邊形與四邊形都為矩形，，，即，，，，，，，，，，，，，．7．(1)①見解析；②(2)的長為3或或．【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質，證明，根據(jù)對應邊相等可得；②連接，證明，得出，可得，設，則，勾股定理得到，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．（2）連接，證明，則，是等腰三角形有三種情況：①當時，②當時，③當時，根據(jù)相似三角形的性質與判定進行計算即可求解．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，由①知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，設，則，∴，∵，，，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖：連接，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理：，∴，∴，是等腰三角形有三種情況：①當時，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②當時，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；③當時，則，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；綜上所述，的長為3或或．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．8．(1)(2)(3)變化，【分析】本題是相似形的綜合題，考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意得到，，證明，，；（2）過點作，垂足分別為，證明，根據(jù)相似三角形的性質定理即可得到結論；（3）過點作，垂足分別為，證明，根據(jù)相似三角形的性質定理即可得到結論．【詳解】（1）解：∵矩形，，，，∴，，∴，，又∵是的中點，∴，，∴，∴；（2）解：過點作，垂足分別為．由（1）得．∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：的值有變化．過點作，垂足分別為．同理，∴，∵，∴，，∴．9．(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）由，，結合可得四邊形是矩形，再由，即可得證；（2）連接，只需證即可得；（3）證得，設，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值．【詳解】（1）證明∵四邊形是正方形，，，，，，∴四邊形是矩形，∵，，∴為等腰直角三角形，，∴四邊形是正方形；（2）解：，理由如下：如圖，連接，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，則，，，，，則，，，，，；（3）解：∵四邊形是正方形，∴，，點B、E、F三點共線，，，，，，，，設，則，則由，得，，則，，∴由得，解得：，即．【點睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，正方形的判定與性質，旋轉的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識點．10．(1)①2；②2(2)當時，的大小無變化，見解析(3)10或6【分析】本題考查的主要內容是圖形的旋轉，三角形的相似、中位線等，勾股定理等知識的綜合，通過畫圖是弄清楚旋轉后圖形的位置關系是解題的關鍵．（1）①當時，證明，得到，②當時，如圖所示：同理①可得；（2）如圖2所示，旋轉過程中，、、、長度不變，故：，，的大小無變化；（3）當旋轉右側，，由，得：；當在左側，此時，，是的中位線，，由勾股定理的即可求解．【詳解】（1）解：①當時，，，，，即，；故答案為：2；②當時，如圖所示：則三點共線，，，，，，即，；故答案為：2；（2）如圖2所示，旋轉過程中，、、、長度不變，即：，而，，，故：當時，的大小無變化；（3）當旋轉到如圖位置，，三點共線時右側），由題意得：，由，得：，由勾股定理得：，，當旋轉到如圖位置，，三點共線時左側），此時，，是的中位線，，由勾股定理得：，，故線段的長為10或6．11．(1)(2)直線與相交所成銳角的大小為(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結論；（2）延長交于點．證明，得出，根據(jù)三角形內角和定理即可得出；（3）分兩種情況：當D在線段上時，當E在線段上時，同理可得：，根據(jù)相似三角形的性質，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長交于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：延長交于點，交于O．，，，，，∵，，，即直線與相交所成銳角的大小為；（3）當繞點逆時針旋轉使得、、在同一條直線上時．，，∴，，則，由（2）知，，則，，在中，，解得：（舍去），，當繞點順時針旋轉使得、、在同一條直線上時．同理可得：，，，則，，即在中，，解得：（舍去），綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，勾股定理，銳角三角函數(shù)、一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論．12．(1)(2)在旋轉過程中，的值為定值．理由見解析(3)當點在上時，，當時，；當點在上時，；當時，【分析】本題考查矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，利用相似三角形的性質求解以及分類討論是解答的關鍵．（1）根據(jù)矩形的性質和等角的余角相等得到，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得結論；（2）當點在上時，過點作，垂足為，同（1）方法可證得到，證明四邊形是矩形得到，進而可得，當點在上時，同理可求解；（3）當點在上時，由（2）得，由題意可得，，，，進而得到，當時解一元二次方程即可求解，當點在上時，同理可求解．【詳解】（1）解：矩形中，，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：在旋轉過程中，的值為定值．理由：當點在上時，如圖，過點作，垂足為，類比（1）可得：，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴；當點在上時，點在邊上，如圖，過E作于Q，，則四邊形是矩形，∴，同理可證明，∴，綜上，在旋轉過程中，的值為定值；（3）解：當點在上時，點在邊上，由（2）知，∴，又∵，∴，且，∴，∴，∴，即，當時，，解得：，（不合題意，舍去），∴；當點在上時，點在邊上，如圖，則，，，且，∴，由（2）知，∴，則，∴,∴，即，當時，，解得：，（不合題意，舍去），∴，綜上，當點在上時，，當時，；當點在上時，；當時，．13．(1)，理由見解析(2)(3)【分析】（1）連接，利用三角函數(shù)的知識得到；先證明得到，，進而推出，得到，即可得出結論；（2）利用勾股定理求出，利用線段比例關系得出的長，再通過證明得到，代入數(shù)據(jù)得到、的長，進而得到、的長，再利用即可求解；（3）結合（1）和（2）中的結論可證出，得到，設，利用線段比例關系得出，則有，利用勾股定理求出，再利用列出方程解出的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，連接，長方形紙片和，，，在中，，，，，，，，，，，，，．（2）解：，，在中，，，，，，，，，，，，，．（3）解：由（1）得，，，由（2）得，，，，即，，又，，，設，則，，，，，，解得：，，在中，，，，解得：，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定、特殊角的三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的計算，熟練掌握相關知識點，結合圖形找到合適的相似三角形是解題的關鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的幾何推理論證能力，適合有能力解決難題的學生．14．(1)①是；②50，③10，(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知識點，掌握“旋轉相似圖形”的定義是解題的關鍵．（1）①根據(jù)“旋轉相似圖形”的定義判斷即可；②根據(jù)“旋轉相似圖形”可得即，再根據(jù)三角形內角和定理求解即可；③根據(jù)“旋轉相似圖形”可得，根據(jù)相似三角形的性質列比例式求解即可，進而證明，再根據(jù)相似三角形的性質列比例式求解即可．（2）先證明可得，再先后證明、，最后根據(jù)“旋轉相似圖形”的定義即可證明結論；（3）如圖：如圖，過E作于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質易得，再根據(jù)“旋轉相似圖形”的定義可得可得，再解直角三角形可得、，然后說明，最后運用勾股定